Ii hissə YÜKSƏk təRTİBLİ Dİferensial təNLİKLƏR

§7. -tərtibli sabit əmsallı xətti bircins diferensial

tənliyinin inteqrallanması
Tutaq ki, -tərtibli ( ) sabit əmsallı

, (1)

xətti bircins diferensial tənliyi verilmişdir, burada -ədədlərdir. Bu tənliyin ümumi həlli də, ikitərtibli sa­bit əmsallı xətti bircins diferensial tənliyinin ümumi həllinin tapılma­sına oxşar üsulla tapılır.

(1) tənliyinin ümumi həlli də ( -sabit ədəddir) şəklində axtarılır.

(1) tənliyinin xarakteristik tənliyi

(7)

şəklində -tərtibli cəbri tənlik olur. Məlundur ki, bu cəbri tənliyin sayda kökləri (həqiqi və ya kompleks) vardır. Onları ilə işarə edək.

Burada aşağıdakı hallar mümkündür:

I. (7) xarakteristik tənliyinin bütün kökləri həqiqi və müxtəlifdir. Onda funksiyaları (6) tənliyinin fun­damental həllər sistemini təşkil edən xü­susi həlləri olur və buna görə də onun ümumi həlli

(8)

şəklində yazılır.

Misal 1. tənliyini həll etməli.

Həlli. Verilən tənliyin xarakteristik tənliyinin kökləri olduğundan, (8) düsturuna görə

funksiyası onun ümu­mi həlli olur.

II. Xarakteristik tənliyin bütün kökləri həqiqidir, lakin onlardan bəziləri təkrarlananır. Bu halda hər bir sadə kökünə bir xüsusi həlli, dəfə təkrarlanan hər bir kökünə isə sayda xüsusi həlləri uyğun olur.

Misal 2. tənliyini həll etməli.

Həlli. Xarakteristik tənliyi yazıb onun köklərini tapaq:

,

.

Onda verilən tənliyin ümumi həlli aşağıdakı kimi olar:

.

III. (7) tənliyinin kökləri içərisində kompleks qoşma köklər də var­dır. Onda hər cüt sadə kompleks-qoşma kökünə iki və xüsusi həlləri, dəfə təkrarlanan hər cüt kompleks-qoşma kökünə isə sayda

;

.

xüsusi həlləri uyğun olur. Göstərmək olur ki, bu həllər fundamental həllər sistemini təşkil edir.

Misal 3. tənliyini həll etməli.

Həlli. Xarakteristik tənliyi yazıb köklərini tapaq:

,

.

və kompleks qoşma kökləri iki dəfə təkrarlandığına görə ve­rilən tənliyin ümumi həlli aşağıdakı kimi olur:

.