§1. İkitərtibli xətti bircins olmayan diferensial
tənliyin ümumi həllinin quruluşu
İkitərtibli
(1)
xətti bircins olmayan diferensial tənliyinə baxaq. Burada - intervalında verilmiş, kəsilməz funksiyalardır. Bu halda xətti bircinsli diferensial tənlik,
(2)
şəklində olur.
Teorem 1 (ümumi həllin quruluşu). (1) tənliyinin ümumi həlli onun hər hansı xüsusi həlli ilə uyğun bircinsli (2) tənliyinin ümumi həllinin cəminə bərabərdir:
. (3)
(1) tənliyinin xüsusi həllini tapmaq üçün Laqranj üsulundan (ixtiyari sabitlərin variasiyası üsulu) istifadə olunur.
Bu üsulun mahiyyəti belədir: (1) tənliyinə uyğun olan (2) bircinsli tənliyinin ümumi həllində və ixtiyari sabitləri -dən asılı və funksiyaları ilə əvəz edilir və xüsusi həll
(4)
şəklində axtarılır, burada məchul funksiyalardır və onlar
(5)
tənliklər sistemindən tapılır. (5) sisteminin determinantı (2) tənliyinin fundamental həllər sistemi təşkil edən və xüsusi həllərinin Vronski determinantı olduğundan, . Deməli, (5) sisteminin yeganə həlli vardır:
, .
Beləliklə, (4) düsturuna əsasən (1) tənliyinin xüsusi həllini və nəhayət, verilən tənliyin ümumi həlli isə (3) düsturuna görə tapılır.
Misal 1. tənliyinin ümumi həllini tapmalı.
Həlli. Verimiş tənliyə üyğun bircinsli tənliyinin ümumi həllini tapaq: , , , . Verilən tənliyin xüsusi həllini
.
şəklində tapaq. və funksiyalarını
.
sistemindən tapa bilərik. Sistemi həll edək:
,
, ;
, ;
, .
və funksiyalarının bu ifadələrinə görə verilən tənliyin xüsusi həlli
,
ümumi həlli isə
olur.
Teorem 2 (həllərin yığılması haqqında). Əgər (1) tənliyinin sağ tərəfi iki funksiyanın cəmindən ibarət olarsa: , və , uyğun olaraq, və tənliklərinin xüsusi həlləridirsə, onda funksiyası verilən tənliyin həllidir.
Dostları ilə paylaş: |
