MühaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Misal 30. həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan alt çoxluğudur, və

Onda yuxarıdan məhdud və olarsa isbat etməli ki,

və ya

Buradan, olduğundan alınır ki, . Deməli, ədədi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. Göstərək ki, məhz bu dəqiq yuxarı sərhəddir. Bunun üçün tutaq ki, çoxluğunun hər hansı bir yuxarı sərhəddidifr, yəni istənilən üçün və ya . Bu isə o deməkdir ki, ədədi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. bu çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi olduğundan

və ya

və deməli çoxluğunun yuxarı sərhədlərinin ən kiçiyidir, yəni , yaxud .

Misal 31. Göstərməli ki,

burada .

Həlli. Tutaq ki, yuxarıdan məhdud çoxluqdur və işarə edək. Onda aşağıdakı iki şərt ödənir:

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alınır ki,

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq aşağı sərhəddidir, yəni

İndi isə tutaq ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və . Onda, istənilən üçün və ixtiyari ixtiyari üçün elə var ki, . Sonuncu bərabərsizlikdən tapırıq ki, və ixtiyari üçün elə var ki, . Bu isə onu göstərir ki, çoxluğu yuxarıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq yuxarı sərhəddidir, yəni

Misal 32. Tutaq ki, . Göstərməli ki, və yuxarıdan məhdud çoxluqlar olarsa



Həlli. Fərz edək ki, və yuxarıdan məhdud çoxluqlardır və . Onda,

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alırıq ki, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə var ki, . Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu da yuxarıdan məhduddur və ədədi onun dəqiq yuxarı sərhəddidir, yəni

Misal 29-a əsasən buradan nəticə olaraq alırıq ki,

,

Misal 33. Tutaq ki, . aşağıdan məhdud çoxluqlar və olarsa, göstərməli ki,



Həlli. işarə edək. Onda

1) istənilən üçün ;

2) ixtiyari üçün elə var ki, .

Buradan alırıq ki, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə var ki, .

Bu isə o deməkdir ki, çoxluğu da aşağıdan məhduddur və onun dəqiq aşağı sərhəddi ədədidir, yəni

.

Nəticə olaraq qeyd edək ki, olduqda və olduğundan,