Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

Kurs ishining tuzilishi. Mazkur kurs ishi: Kirish, 2 ta bob, 4 ta reja, xulosa va adabiyotlardan tarkib topgan.

I. BOB. EGRI CHIZIQLAR VA ULARNING TENGLAMALARI

1.1. Chiziqlar nazariyasi. Egri chiziqlar haqida tushuncha.
Egri chiziqlar matematiklarni qadim davrlardanoq qiziqtirib keladi. To‘laligicha egri chiziqli obyektlarga bag‘ishlangan va ularni o‘rganish tarixi haqida hikoya qiladigan kattagina tarixiy kitob yozish ham mumkin. Biroq egri chiziqning o‘zi nima? Unga qanday ta'rif berish mumkin?.Mashhur nemis matematigi Feliks Klyayn kunlardan bir kun achchiqlanish bilan xitob qilib: "Egri chiziqqa ta'rif berishdan ham mujmal narsa yo‘q!" - degan edi. Klyayn achchiqlanganicha bor. Bir qarashda juda sodda ko‘rinadigan shunchaki egri chiziq tushunchasi eng kuchli matematiklar uchun ham biroz murakkab tushunchalar qatoriga kiradi. Shunga qaramay, egri chiziqlarning matematikadagi, ayniqsa texnikadagi muhim ahamiyatini inobatga olsak, ularni o‘rganish bejizga ilm-fan oldidagi dolzarb masalalar sirasiga kirmasligini anglab yetamiz. Quyida ushbu murakkab geometrik obyektga imkon qadar sodda ta'riflar keltirishga harakat qilamiz.Egri chiziqli obyektlar - tabiatning uzviy bir qismidir. Ulardan ba'zilari mukammal obyektlar sirasiga kiradi. Mukammal obyekt deganda bu o‘rinda, matematik jihatdan ifodalash mumkin bo‘lgan obyektlar nazarda tutiladi. Masalan, jismning erkin tushish trayektoriyasini ifodalovchi egri chiziq, yoki, sayyoralarning orbita bo‘ylab harakat trayektoriyasini ifodalovchi egri chiziqli obyektlar shular jumlasidandir. Yana shunday egri chiziqli obyektlar borki, ular matematik ijod natijasidan hosil bo‘ladi. Bunday obyektlarni muayyan formulalar, yoki, muayyan qat'iy shartlar bo‘yicha aniqlanadigan nuqtalarning geometrik o‘rniga asoslanib aniqlanadi. Egri chiziqli obyektlar ichida juda soddalari ham, juda murakkablari ham mavjud. Sodda egri chiziqlarga masalan aylanani misol keltirish mumkin. Uni oddiy qalam va ip yordamida juda oson chizsa bo‘ladi. Yan shunda egri chiziqli obyektlar mavjudki, ularni hatto taxminan ham ifodalash mushkuldir.
Eng sodda egri chiziqlar. Biz barchamiz, egri chiziq nima ekanligini u yoki bu darajada tushunamiz va hech bo‘lmaganda intuitiv ravishda fahmlaymiz. Egri chiziqlarning umumiy ta'rifi doirasiga, xususiy hol sifatida shuningdek to‘g‘ri chiziq ham mansub bo‘ladi. Lekin biz egri chiziqning odatiy ta'rifi bilan cheklanamiz.Agar qo‘lga qalam olib qog‘oz bo‘ylab yo‘nalishni o‘zgartirmasdan chiziq chizsak, aniqki to‘g‘ri chiziqni ifodalagan bo‘lamiz: Agar yo‘nalishni bir yoki bir necha marta o‘zgartirsak, siniq chiziqlarga ega bo‘lamiz:
Bunda ko‘rinib turibdiki, to‘g‘ri chiziq chizish jarayonida yo‘nalish faqat bir marta va keskin o‘zgarmoqda, ya'ni, chiziq sinmoqda. Lekin, agar bunda yo‘nalishni keskin o‘zgarishlarisiz, sekin-astalik bilan, lekin muntazam o‘zgartirib borsak, bunday yasash natijasi qandaydir egri chiziq, yoki, egri chiziqli geometrik obyekt bo‘ladi:
Yopiq oddiy egri chiziqli geometrik shakl egri chiziqning eng sodda ta'rifi quyidagicha: egri chiziq bu - o‘z harakat yo‘nalishi uzluksiz o‘zgartirib turadigan nuqtaning harakat trayektoriyasidir. Agar egri chiziqning oxiri uning boshlang‘ich nuqtasi bilan ustma-ust tushsa, ya'ni, oxirida egri chiziqning har ikkala uchlari o‘zaro tutashsa, bunday egri chiziq yopiq egri chiziq deyiladi va u muayyan bir geometrik shaklni hosil qiladi.
Aks holatda esa u ochiq egri chiziq bo‘ladi, boshqa aytganda, u shunchaki egri chiziq bo‘lib qolaveradi.
Agar ochiq egri chiziq bir yoki, bir necha marta o‘z-o‘zini kesib o‘tsa bunday egri chiziq murakkab ochiq egri chiziq deyiladi
Fanda egri chiziqlarga shuningdek dinamika nuqtai nazaridan ham ta'rif beriladi. Bunda qalam o‘zining harakat yo‘nalishiga perpendikulyar ta'sir qilayotgan kuch tufayli harakatlanmoqda deb tasavvur qilinadi. Aynan ushbu kuchning yo‘nalishiga va kattaligiga bog‘liq holda, egri chiziq u yoki bu tarafga og‘ib, yo‘nalishini o‘zgartirib boradi.
Yuqorida aytilganlarning barchasi tekislikdagi egri chiziqlarga oid ma'lumotlardir. Bulardan tashqari shuningdek fazoviy egri chiziqlar ham mavjudki, ularni tekislikda ifodalashning iloji yo‘q. Ularni tasavvur qilish uchun fizikaga oid analogiyani davom ettirib, yuqorida esga olib o‘tilgan fizik kattalik - kuchning yoniga yana bir vektorni qo‘shib tasavvur qilish kerak bo‘ladi. Ushbu vektor tasvirning tekisligida yotmaydi va uning vazifasi biz chizayotgan egri chiziqni burashdan iborat bo‘ladi. Shu tarzda, fazoviy egri chiziqlarni ifodalashda, trayektoriya va egrilikdan tashqari, yangi parametr - buralish (eshilish ham deyish mumkin) ham kiritiladi. Ushbu parametrlarning aniq ta'riflari bilan differensial geometriyada batafsil tanishiladi. Anchayin murakkab bo‘lgani uchun ushbu boradagan..gtafsilotlarga to‘xtalib o‘tirmaymiz.
Yuqorida biz misol tariqasida keltirgan egri chiziqlar mutlaqo ixtiyoriy, tasodifiy olingandir. Biroq, egri chiziqlar orasida shundaylari borki, ularni biz bir qarashdayoq aniq tanib olamiz va nomini intuitiv tarzda yaxshi bilamiz. Masalan, bunday egri chiziqlarga aylana va ellips kiradi. Bunday turdagi egri chiziqlar, aniqrog‘i geometrik shakllar, ajoyib bir istisnoli xossalarga ega bo‘ladi. Ularni ta'rifi bo‘yicha aniq muvofiqlikda yasash uchun bizga muayyan asboblar zarur bo‘ladi. Oddiy sirkul va chizg‘ich vositasida, kutilmagan tarzda ko‘p sondagi turli xil egri chiziqlarni chizish mumkin. Agar biz faqat chizg‘ichning o‘zidan foydalanib ishlasak, ko‘p sonli urinmalar orqali ifodalab chizilgan egri chiziqli geometrik shakl hosil qilishimiz mumkin. Bunda ko‘p sonli to‘g‘ri chiziqlar xuddi muayyan bir shaklga urinma tarzida har tarafdan teginib o‘tadi va natijada shakl paydo bo‘ladi. Bunday urinmalar qancha ko‘p bo‘lsa, egri chiziqli shakl ham shunchalik aniq bo‘ladi.
Tasvirda ortidan nur tushirib suratga olingan o’simlik bargi. Urinma tarzida o’tgan ko’p sonli to’g’ri chiziqlar markazda ellips tasvirini paydo qilmoqda.Egri chiziqlarning ilk bora tasniflanishi.
Qadimgi yunon olimlari uchun matematika ko‘p jihatdan asosan geometriyadan iborat bo‘lgan. Geometriyada esa, ayrim istisnosiz hollarni inobatga olmasa, faqat to‘g‘ri chiziqlar va aylanalar ko‘rib chiqilgan xolos. Bu esa albatta egri chiziqlarning qanday talqin qilinishiga va tasniflanishiga o‘z ta'sirini ko‘rsatmay qolmagan.Yunonlar talqinida muayyan egri chiziqning ta'riflanishi eng avvali uning geometrik jihatdan yasash imkoni bor-yo‘qligidan kelib chiqqan. Boshqa tarafdan esa, aniq ta'riflangan egri chiziqlar muayyan masalalarni hal qilish uchun, ayniqsa, tenglamalarni yechish uchun tadbiq etilgan. Bundan tashqari, qadimgi yunon matematikasida hammaga oson tanish bo‘lgan egri chiziqli shakllar, ayniqsa aylana va ellips - lokus shakllar sanalgan. Lokus bu - berilgan xossaga ega bo‘lgan nuqtalar majmui bo‘lib, ya'ni, yunonlar aylana va ellipsni nuqtalarning geometrik o‘rni orqali ifodalashgan va ta'riflashgan. Masalan, aylana tekislikdagi markaziy nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalar to‘plami sifatida tasavvur qilingan. Yunon matematikasida egri chiziqlarning bunday tarzda ta'riflanishi va tasniflanishi (klassifikatsiyalanishi) ilk bora Pappa Iskandariyalik (eramizning 290-350 yillari) ismli olimning asarlarida uchraydi.
Pappa Iskandariyalikning talqinida egri chiziqlar uchta katta guruhlarga bo‘lib tasniflanadi. Birinchi guruhga to‘g‘ri chiziq va aylana orqali yasash mumkin bo‘lgan egrichiziqli shaklar mansub bo‘ladi. Boshqacha aytganda, birinchi guruhga chizg‘ich va sirkul yordamida yasash mumkin bo‘lgan eng sodda egri chiziqlar kiritiladi. Ikkinchi guruhga esa jismoniy joylar deb nomlangan egri chiziqlar kiritiladi. Bunday atalishining sababi bor albatta. Chunki, bu turdagi egri chiziqlar muayyan jismlarning, masalan, konusning tekislik bilan kesishishidan hosil bo‘ladi. Bunday egri chiziqlarga parabola, giperbola singarilar kiradi. Uchinchi turkum egri chiziqlarga esa, chiziqli egriliklar deb nomlangan va qadimgi yunon matematikasi nuqtai nazaridan ta'riflash juda qiyin bo‘lgan egri chiziqlar kirgan.
Ushbu atama zamonaviy talqin bilan ham oz-moz mos tushadi. Bunday turkum egri chiziqlarga yunonlar konxoida, sissoida, yoki, spirallarni mansub deb hisoblashgan. Haqiqatan ham, bunday egri chiziqlarni hatto bugungi kunda ham, geometriya atamalari orqali ta'riflashdan ko‘ra, mexanika tushunchalari vositasida ta'riflash osonroq va ma'qulroq ko‘rinadi. Pappa Iskandariyalikning yuqorida qayd qilingan asari 1660-yilda Bolonyada lotin tilida chop etilgan bo‘lib, uyg‘onish davri Yevropa geometriyasiga katta ta'sir ko‘rsatgan.Mexanik egri chiziqlar.Mexanik egri chiziqlar ichida eng muhimlari, aylanada joylashgan nuqtaning harakati orqali yasaladiganlaridir. Siz qorong‘uda harakatlanayotgan velosipedning g‘ildiraklariga o‘rnatilgan nur qaytargichlarni kuzatgan bo‘lsangiz, ularning aylana chizib harakatlanayotganiga ahamiyat bergan bo‘lsangiz kerak. Bunday egri chiziq sikloida deyiladi. Agar velosiped ideal tekis-ravon yo‘lda harakatlansa, nur qaytargich ham aniq aylana chizgan holda harakatlanadi. Agar yo‘l o‘nqir-cho‘nqir, baland-past bo‘lsa, unda nur qaytargich harakati ifodalayotgan egri chiziqlarning turlari ham cheksiz ko‘p xilda bo‘lishi mumkin.
Egri chiziqni ta'riflash
Matematika tarixida egri chiziqlar va ba'zi hollarda egri chiziqlarni o‘ta aniqlikda ifodalagan tenglamalar funksiya tushunchasining paydo bo‘lishiga olib kelgan.
1.2. Egri chiziqlar ustida tenglamalar
Egri chiziq – fazoda harakatlanuvchi nuqtaning ketma – ket harakatlarining yig`indisi. Egri chiziqlar tekis yoki fazoviy bo`ladilar. Agar egri chiziqning hamma nuqtalari bir tekislikda yotsalar , bu geri chiziq tekis egri chiziq deyiladi.
Bularga – aylana, ellips, parabola kiradi.
Agar egri chiziqning hamma nuqtalari bir tekislikda yotmasalar, bu egri chiziq fazoviy vintli egri chiziq deyiladi. Vint chizig`i uning o`qi atrofida tekis aylanuvchi to`g`ri chiziq bo`ylab harakat qiluvchi nuqtaning aylanma harakatida hosil bo`luvchi egri chiziq.
Egri chiziqni proyeksiyalarini yasash uchun unda yotuvchi bir nechta nuqtalarning proyeksiyalarini yasash kerak.
Egri chiziqlarning xossalari:
1. Agar nuqta egri chiziqda yotsa, uning proyeksiyalari shu egri chiziqning bir ismli proyeksiyalarida va bir bog`lovchi chiziqda yotadi.
2. Proyeksiyalovchi tekislikda yotuvchi egri chiziqning proyeksiyasi to`g`ri chiziqdir. Sirtning hosil bo`lishi va ularning klasiffikatsiyasi.
Sirtlarning hosil bo`lish usullari turlicha, misol uchun bir sirtning o`zi bir necha turlicha chiziqlarning harakatidan hosil bo`lishi mumkin. Misol uchun, doiraviy silindrning yon sirti:
a) to`g`ri chiziqni qo`zg`almas o`qqa parallel ravishda harakatidan;
b) egri chiziqni aylantirishdan;
c) markazi aylana tekisligiga perpendikulyar to`g`ri chiziq bo`yicha siljuvchi aylananing harakatidan hosil bo`lishi mumkin. Sirtni hosil qiluvchi to`g`ri chiziq uni yasovchisi deb yuritiladi. Yasovchi harakat qiluvchi chiziq, uning yo`naltiruvchi deb yuritiladi.
Yasovchisiga qarab, sirtlar chiziqli ( yasovchilari to`g`ri chiziq) va chiziqli emas sirtlar ( yasovchilari egri chiziq) ga bo`linadi.
Hozirgi zamon matematikasida egri chiziq turlicha ta’riflangan bo`lib, ular orasida Jordan tomonidan keltirilgan ta’rif birmuncha tabiiyroq hisoblanadi. U egri chiziqni nuqtaning uzluksiz harakati natijasida qoldirgan izi sifatida qaragan. Chiziqlar o`z harakatiga ko`ra elementar, oddiy va umumiy egri chiziqlarga ejratiladi. Differensial geometriya kursida elementar chiziqlar o`rganiladi. Ochiq kesmani topologik almashtirish natijasida hosil qilingan figuraga elementar chiziq yoyi deb aytiladi. Ochiq kesma, to`g`ri chiziq, parabola, giperbola, aylana, ellips kabi chiziqlar misol bo`ladi. x(t) , y(t) funksiyalar [α, β] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsin. Bu fuksiyalardan tuzulgan ushbu
(1)
sistemani qaraymiz. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini olib, x, y larni shu tekislikda biror M nuqtani koordinatalari sifatida qaraymiz. MqM(x,y). M nuqta [α, β] dan olingan t ga bog`liq. Ayni paytda, M nuqta argument t ning (1) akslantirishdagi aksi (obraz), t ning o`zi bu akslantirishdagi M nuqtaning asli (proobrazi) bo`ladi. (1) akslantirish yordamida [α,β] segmentning aksi tekislikda ushbu ,

to`plamni hosil qiladi. Bu G to`plamga tekislikdagi egri chizq deyiladi. Demak, egri chiziq [α, β] da uzluksiz bo`lgan 2 ta x(t), y(t) funksiyalar yordamida ta’riflanar ekan. Odatda egri chiziqning bunday berilishi uning paramentrik ko`rinishda berilishi deyiladi. Bunda t – parametr.

Masalan, (2) sistema tekislikda markazi koordinatalar boshida, radiusi R ga teng bo`lgan aylanani ifodalaydi. Demak, (2) aylananing parametrik tenglamasi.

Biz chiziqni harakatlanuvchi nuqtaning izi deb qaraymiz. Chiziqlar o`z xarakteriga qarab elementar, oddiy va umumiy egri chiziqlarga ajratiladi. Differensial geometriya kursida elementar chiziqlarni o`rganamiz.
Ochiq kesmani topologik almashtirish natijasida hosil qilingan figuraga elementar chiziq yoyi deb aytiladi. Elementar chiziqlarga: ochiq kesma, to`g`ri chiziq, parabola, giperbola, aylana, ellips kabi chiziqlar misol bo`la oladi.
Agar (AB) to`g`ri chiziqni sonlar o`qi deb hisoblab unga t koordinata kiritsak. ]AB[ kesmani γ egri chiziqqa o`tkazilgan almatirishni
(3)
tenglamalar bilan ifodalaymiz. Bu yerda - t parametrning uzluksiz funksiyalar bo`lib, va qiymatlar uchun

tenglik o`rinlidir. (1) ko`rinishdagi tenglamalrni egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi. Agar egri chiziqning barcha nuqtalari biror tekislikda yotsa, unga yassi egri chiziq deb aytiladi.
Silliq egri chiziq (3) tenglamasi bilan berilgan t parametrni uning yoy uzunligini S orqali ifodalasak egri chiziqning tabiiy parametrli tenglamasi hosil qilinadi.
(4)
Fazoga to`g`ri burchakli dekart koordinata sistemasini kiritsak, boshiu koordinata boshida, uni uchun egri chiziqda joylashgan vektorni
yoki
ifodalaymiz. Bu yerda -lar t – ning uzluksiz funksiyalari bo`lib, egri chiziqda yotgan nuqtaning koordinatalaridir. Egri chiziqni (3) 3 ta tenglamalarini bitta vektorli tenglamasiga almashtirish mumkin va uni qisqacha quyidagicha yozamiz
(5)
Agar funksiyalar k marta differensiallanuvchi bo`lib, shart bajarilsa, egri chiziq regulyar bo`ladi. Agar t parametrning barcha qiymatlari uchun bo`lsa, chiziqning t ga mos keluvchi nuqtasining cheksiz kichik atrofida egri chiziqni ushbu tenglamalar bilan ifodalash mumkin bo`ladi

Ba’zi hollarda egri chiziqni ikkita va ko`rinishdagi sirtlarning kesishishi natijasi kabi ifodalash mumkin
(7)
Yassi egri chiziq oshkor va oshkormas tenglamalari bilan ham ifodalanishi mumkin
va (8)
Qutb koordinata sistemasida yassi chiziq ushbu tenglama bilan ifoda etiladi
(9)
Ba’zi xollarda egri chiziqning ta’rifini ifodalaydigan G to`plam murakkab bo`lib, xatto u biz tasavvur etadigan egri chiziqqa butunlay o`xshamay qolishi mumkin. Masalan, Piano tomonidan [0,1] segmentga uzluksiz bo`lgan shunday x(t), y(t) funksiyalar tuzilgan. G to`plam uchlari (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) nuqtalarda bo`lgan kvadratlardan iborat bo`ladi. Boshqacha qilib aytganda, egri chiziq kvadratning har bir nuqtasidan o`tadi. Bu egri chiziq shu bilan xarakterlanadiki, bunda parametrning cheksiz ko`p turli qiymatlarida x(t) va y(t) funksiyalar bir xil qiymatlarni qabul qilgan.
Aytaylik
(1)
tenglamalar sistemasi biror egri chiziqni ifodalasin, bunda x(t), y(t) funksiyalar [α, β] da uzluksiz. Agar da bo`lganda va nuqtalari uning karrali nuqtalari deyiladi. Karrali nuqtalarga ega bo`lmagan egri chiziq sodda Jordan egri chizig`i deyiladi. Bu holda t parametrning turli t<sub>1</sub> , t<sub>2</sub> qiymatlariga mos keluvchi egri chiziqning , nuqtalari turlicha bo`ladi. Masalan, [α,β] segmentda uzluksiz bo`lgan yqf (x) funksiya grafigi sodda Jordan egri chizig`i bo`ladi. Haqiqatan ham,

deyilsa, u holda turli , ( ) uchun bo`lishi ravshan.
Agar (3) sistema bilan aniqlanadigan egri chiziqga t parametrning turli , ( ) qiymatlariga mos keluvchi egri chiziqning , nuqtalari ham turlicha bo`lib bo`lsa, egri chiziq sodda yopiq egri chiziq deyiladi. Masalan, ushbu

sistema bilan aniqlanadigan egri chiziq ( ellips ) sodda yopiq egri chiziq bo`ladi. Biror sodda egri chiziq ushbu tenglamalar sistemasi bilan aniqlangan bo`lsin. , nuqtalar bu egri chiziqning mos ravishda boshi va oxirgi nuqtalari deyiladi. Bu holda egri chiziqni yoy deb ham yuritiladi. Parametr ning , ( ) qiymatlari uchun bo`lganda egri chiziqning nuqtasi nuqtadan keyin kelishi bilan AB yoyga yo`nalish o`rnatiladi. Bunday yo`nalish A dan B ga qarab bo`ladi. Agar (3) sistemadagi x(t), y(t) funksiyalar [α, β] da uzluksiz, xosilalarga ega bo`lib, bo`lsa, (3) sistema aniqlagan egri chiziq silliq egri chiziq deyiladi. Agar AB egri chiziq silliq egri chiziq deyiladi. Agar AB egri chiziq chekli sondagi silliq egri chiziq egri chiziqdan tashkil topgan bo`lsa, uni bo`lakli silliq egri chiziq deyiladi. Silliq egri chiziq har bir nuqtasi urinmaga ega bo`ladi. Bo`lakli silliq egri chiziqlar esa chekli sondagi nuqtalarda bir tomonli urinmalarga ega bo`lishi mumkin. Masalan,

Ellips – silliq egri chiziq, siniq chiziq esa bo`lakli egri chiziq bo`ladi.
Biz chiziqni harakatlanuvchi nuqtaning izi debqaraymiz. Chiziqlar o`z xarakteriga qarab elementar, oddiy va umumiy egri chiziqlarga ajratiladi. Differensial geometriya kursida elementar chiziqlarni o`rganamiz.
Ochiq kesmani topologik almashtirish natijasida hosil qilingan figuraga elementar chiziq yoyi deb aytiladi. Elementar chiziqlarga: ochiq kesma, to`g`ri chiziq, parabola, giperbola, aylana, ellips kabi chiziqlar misol bo`la oladi.
Agar (AB) to`g`ri chiziqni sonlar o`qi deb hisoblab unga t koordinata kiritsak. ]AB[ kesmani γ egri chiziqqa o`tkazilgan almatirishni
(10)
tenglamalar bilan ifodalaymiz. Bu yerda - t parametrning uzluksiz funksiyalar bo`lib, va qiymatlar uchun

tenglik o`rinlidir. (1) ko`rinishdagi tenglamalrni egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi. Agar egri chiziqning barcha nuqtalari biror tekislikda yotsa, unga yassi egri chiziq deb aytiladi.
Silliq egri chiziq (1) tenglamasi bilan berilgan t parametrni uning yoy uzunligini S orqali ifodalasak egri chiziqning tabiiy parametrli tenglamasi hosil qilinadi.
(4)
Fazoga to`g`ri burchakli dekart koordinata sistemasini kiritsak, boshiu koordinata boshida, uni uchun egri chiziqda joylashgan vektorni
yoki
ifodalaymiz. Bu yerda -lar t – ning uzluksiz funksiyalari bo`lib, egri chiziqda yotgan nuqtaning koordinatalaridir. Egri chiziqni (1) 3 ta tenglamalarini bitta vektorli tenglamasiga almashtirish mumkin .

II. BOB. PARAMETRIK TENGLAMALAR BILAN BERILGAN EGRI CHIZIQLARNI CHIZISH

2.1. Egri chiziqlarning parametrik tenglamalari