O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

11-m i s o l. Multiplikativ gruppada elementning tartibi 150 ga teng. Shunga ishonch hosil qiling. ■

12-m i s o l. Birning 15-darajali ildizlarining har biri uchun uning tartibini ko’rsating.

Yechish.Birning 15-darajali ildizlari bilan ifodalanadi. Bundan ning tartibi birga; larning tartiblari uchga; larning tartiblari beshga; larning tartiblari 15 ga tengligini ko’ramiz.■

13-m i s o l. Tartibi 100 bo’lgan siklik gruppada tartibi 20 bo’lgan hamma elementlarini toping.

Yechish. elementning tartibini bilan belgilaymiz va shunday elementlarni izlaymizki, bo’lsin. 10-misolga asosan yoki bizning misolimizda bu esa o’z navbatida ga teng kuchli. Shunday qilib yechilayotgan masala ushbu masalaga keltiriladi: shunday butun sonlarni topingki bo’lsin. Bunday sonlar 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95 bo’ladi. Demak, izlanayotgan elementlar: bo’ladi. ■

14-m i s o l. Barcha butun sonlarning additiv gruppasi cheksiz siklik gruppadir. U 1 ning barcha karralilaridan iborat bo’ladi. ■

15-m i s o l. Birning darajali barcha ildizlari qiymatlari -tartibli multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi. U birning ixtiyoriy darajali boshlang’ich ildizi orqali yaratilishi mumkin. ■

16-m i s o l. Barcha butun sonlarning additiv gruppasi barcha juft sonlarning additiv gruppasiga izomorfligini isbot qiling.

Yechish.Ixtiyoriy uchun qoida bilan berilgan akslantirish olamiz. izomorfizmdir. ■

17-m i s o l. Barcha musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ gruppasi barcha haqiqiy sonlarning additiv gruppasiga izomorfligini isbot qiling.

Yechish. formula bilan aniqlangan akslantirish olamiz. shart ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lgani uchun izomorfizmdir. ■

18-m i s o l. Kompleks sonlarning multiplikativ gruppasi ko’rinishdagi maxsusmas (ya’ni, kamida, yoki ) matrislarning multiplikativ gruppasiga izomorfligini isbot qiling.

Yechish. formula bilan aniqlangan akslantirishni olamiz. bo’lsin. U holda

Shu bilan birga agar bo’lsa, u holda Demak, izomorfizm. ■

19-m i s o l. gruppaning barcha avtomorfizmlarini toping.

Yechish. to’liq yozamiz:

bo’lsin. U holda ni quyidagi ko’ri-nishda yozish mumkin bo’ladi.

Bu holda: bo’lishi bevosita tekshiriladi. Bu tengliklarga asoslanib gruppaning ixtiyoriy ikki elementi ko’paytmasini topaolamiz. Masalan,

va h. k.

gruppa quyidagi har xil avtomorfizmlarga ega. Qulaylik uchun ularni olmoshlar shaklida yozamiz:
Bu akslantirishlar ko’paytirishni saqlab qoladi. Masalan,

demak, yoki demak,

va h.k.