O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

8-m i s o l. va polugruppalardir, chunki hamma vaqt

va . ■

9-m i s o l. amalli sistema polugruppa emas, chunki tenglik hamma vaqt ham to’g’ri bo’lavermaydi, masalan, ■

10-m i s o l. Hamma rasional sonlarning to’plami uchun amalli gruppoid polugruppa emas, chunki ixtiyoriy elementlar uchun va qiymatlar hamma vaqt ham mos tushavermaydi. ■

Agar har qanday element uchun va bo’lsa, gruppoidning elementi neytral element deyiladi.

11-m i s o l. Har qanday gruppoidda ham neytral element mavjud bo’lavermaydi. da neytral element yo’q; da bor, u 0 sonidir; da neytral element 1 dir. bo’lgan da ixtiyoriy a element uchun bo’lishini ko’ramiz. Ammo bu yerda 1 faqat bir tomondan (o’ngdan) neytrallik vazifasini bajaradi, biroq ( bo’lganda). Shuning uchun 1 neytral element bo’lmaydi. (boshqa hyech bir element ham neytral element bo’lolmaydi) ■

Neytral elementga ega bo’lgan polugruppa monoid deyiladi. Agar bu neytral element oshkor ko’rsatilgan bo’lsa monoid binar amalli (* kompozitsiya) va har bir elementni o’zgarishsiz qoldiradigan nular amallardan iborat ikki ammalli algebraik sistemani ifodalaydi, ammo umumiy holda bu monoidni undagi nular amalni oshkor ko’rsatmay ko’rinishda ifodalaydilar. ■

12-m i s o l. da ixtiyoriy lar uchun EKUB(a, b)bo’lsa, monoid bo’ladi. Bu yerda . ■

13-m i s o l. to’plam, uning hamma qism to’plamlari to’plami bo’lsin. U holda

a) to’plamlar kesishmasi da binar algebraik amal bo’ladi. Bu amal assosiativ, ning o’zi neytral element bo’ladi. Shuning uchun monoid.

b) to’plamlar birlashmasi da binar algebraik amal bo’ladi. Bu amal assosiativ. Bo’sh to’plam neytlar element bo’ladi. Demak, monoid. ■

Agar bo’lsa, element monoidning elementiga teskari element deyiladi.

Monoidning har bir elementi ham teskarilanuvchi (ya’ni teskari elementga ega) bo’lavnrmaydi. Ammo agar -- teskarilanuvchi bo’lsa, u holda, unga teskari element faqat bitta bo’ladi va orqali belgilanadi. Teskari elementning ta’rifiga asosan bo’lgani uchun ga teskari element bo’lib a xizmat qiladi, ya’ni

 kompozitsiyaning assosiativligidan (ko’paytuvchilar soni istalgancha bo’lishi mumkin) ifodaning ma’noga ega ekanligi kelib chiqadi, chunki qavslarning ixtiyoriy tartibda joylashtirilishi bir xil natijaga keltiradi. Monoidning ixtiyoriy sanoqdagi teskarilanuvchi elementlari kompozitsiyasi teskarilanuvchidir.

Har bir monoidda bitta teskarilanuvchi element albatta mavjud. Bu uning neytral elementi. Hamma elementi teskarilanadigan monoid gruppa (guruh) deyiladi.