O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

J A V O B L A R, KO’RSATMALAR, YECHILISHLAR

V-Bob. Asosiy algebraik sistemalar

1-§

1. 
   
   a) – h) gruppoidlar; a), b), d), e), f), h) – polugruppalar;
   

b), e) - monoidlar.

2. a) – e) – gruppoidlar; e) – polugruppa.

3. b) gruppa.

4. ha; agar bo’lsa mavjud emas.

5. 3, yo’q.

6. Ko’rsatma. ni qarab chiqish kerak; bu yerda qandaydir chap nol, o’ng nol.

7. Ko’rsatma. ni ko’rib chiqish kerak; bunda qandaydir chap birlik, o’ng birlik.

8. ha, faqat ko’paytma o’ng ko’paytuvchiga teng bo’lgan polugruppada.

9. Ko’rsatma. ni qarab chiqish kerak; bunda berilgan polugruppa, bo’lishini, ya’ni tenglama da va larning istalgan qiymatlarida yechilishini, xususan bu yerda chap birlik bo’lishini ko’rsatish kerak. Bir qiymatlilik ko’rinib turibdi.

10. Ko’paytma chap ko’paytuvchiga teng bo’lgan polugruppa.

11.

a)

	1	2	3	4	6	12
1	1	2	3	4	6	12
2	2	2	6	4	6	12
3	3	6	3	12	6	12
4	4	4	12	4	12	12
6	6	6	6	12	6	12
12	12	12	12	12	12	12

b)

	1	2	3	4	6	12
1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	1	2	2	2
3	1	1	3	1	3	3
4	1	2	1	4	2	4
6	1	2	3	2	6	6
12	1	2	3	4	6	12

e)

12. a) gruppa; b) monoid.

+	0	1			0	1		+	0	1	2			0	1	2
0	0	1		0	0	0		0	0	1	2		0	0	0	0
1	1	0		1	0	1		1	1	2	0		1	0	1	2
								2	2	0	1		2	0	2	1

+	0	1	2	3			0	1	2	3
0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
1	1	2	3	0		1	0	1	2	3
2	2	3	0	1		2	0	2	0	2
3	3	0	1	2		3	0	3	2	1

2-§
13. Gruppa tashkil etadigan to’plamlar: b), c), d), e), f), g), h), i) (2), j), k) (2), l) (1), m), n), 0), p) (1), q); xususan abel gruppalar b), c), d), e), f), h), i) (2), j), h), 0), p) (1), q), g) bo’lsa abel gruppa.

14. Gruppa tashkil etadigan to’plamlar: a), b), c), e), f), h); xususan abel gruppalar b), h).

15. a), b), c), d) – abel gruppalar; ye) – agar bo’lsa abel gruppa.

16. a) simmetriya gruppasi sakkiz almashtirishdan iborat: bu yerda aynan almashtirish, kvadratni markazi atrofida ga burish, ga, burish; kvadratni simmetriya o’qlariga nisbatan akslantirishlar.

	e	a	b	c	d	f	g	h
e	e	a	b	c	d	f	g	h
a h	a	ye	c	b	f	d	h	g
b	b	s	a	e	g	h	f	d
c	c	b	e	a	h	g	d	f
d f	d	f	h	g	e	a	c	b
f	f	d	g	h	a	e	b	c
d g	g	h	d	f	b	c	e	a
g h	h	g	f	d	c	b	a	e

b) Simmetriya gruppasi to’rt almashtirishdan iborat: bunda aynan almashtirish, rombni markaz atrofida ga burish, rombning diaganallarga nisbatan almashtirishlar.

b	ye	a	b	c
ye	ye	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

c

c) simmetriya gruppasi to’rt almashtirishdan iborat: bunda aynan almashtirish, to’g’ri to’rtburchakni o’z markazi atrofida ga burish, lar to’rtburchakni qarama-qarshi tomonlarining o’rtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqlarga nisbatan almashtirishlari. Keli jadvali b) dagi kabi.

c

b

17. Muntazam burchakning burishlar gruppasining tartibi ga teng; tetraedrniki 12, kub bilan oktaedrniki 24, dodekaedr bilan ikosaedrniki 60. Ko’rsatma. Ko’p yoqlilar uchun berilgan nuqtani biror (A dan farqli bo’lishi shart emas) nuqtaga o’tkazuvchi burishlarni qarab chiqing va gruppaning tartibi ( uchlar soni, bir nuqtadan chiqadigan qirralar soni) ga teng.

18.

	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

20. b) d) uchun; ye), i(2); c) lar d) uchun; d) e) uchun; i(2); ye) uchun i(2); g) agar bo’lsa f) uchun va agar tekislik bo’lsa ) uchun; m) (1), (2) lar l) uchun; h) esa 0) uchun.