O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

Tanlanma korrelyatsion nisbatning xossalari. qanday xossalarga ega bo’lsa, ham shu xossalarga ega bo’lgani uchun faqat tanlanma korrelyatsion nisbatning xossalarini sanab o’tamiz va yozuvni soddalashtirish maqsadida bundan keyin uni η deb belgilaymiz hamda aytishga oson bo’lishi uchun “korrelyatsion nisbat” deymiz.

1. 
   Korrelyatsion nisbat ushbu qo’sh tengsizlikni qanoatlantiradi:
   

0 ≤ η ≤ 1 .
Isboti.η ≥ 0 tengsizlik η manfiy bo’lmagan sonlar — o’rtacha kvadratik chetlanishlarning nisbati ekanligidan kelib chiqadi.
η≤ 1 tengsizlikni isbotlash uchun
= +
formuladan foydalanamiz. Bu tenglikning ikkala qismini ga bo’lamiz:
1 = +
yoki
1 = + .
Ikkala qo’shiluvchi ham manfiymas va ularning yig’indisi birga teng bo’lgani uchun ularning har biri birdan ortiq qilmaydi, xususan
≤ 1 .
η≥ 0 ekanligini e’tiborga olib, bunday xulosaga kelamiz:
0 ≤ η ≤ 1 .

2. 
   Agar η = 0 bo’lsa, u holda Y belgi ham X belgi bilan korrelyatsion bog’lanish bilan bog’lanmagan.
   

Isboti. Shartga ko’ra
η= = 0,
bu yerdan
= 0,
va demak,
=0.
Gruppaaro dispersiya shartli o’rtacha qiymatlarning umumiy o’rtacha qiymatga nisbatan dispersiyasidir.
Gruppaaro dispersiyaning nolga tengligi shartli o’rtacha qiymatlar X belgining barcha qiymatlarida o’zgarmas qiymatini saqlashini bildiradi. Boshqacha so’z bilan aytganda, η = 0 bo’lganda shartli o’rtacha qiymat X ning funksiyasi emas va demak, Y belgi X belgiga korrelyatsion bog’lanish bilan bog’lanmagan.
1-eslatma. Teskari da’voni ham isbotlash mumkin: agar Y belgi X belgiga korrelyatsion bog’lanish bilan bog’lanmagan bo’lsa, u holda η = 0 .

3. 
   Agar η =1 bo’lsa, u holda Y belgi X belgiga funksional bog’lanish bilan bog’langan.
   

Isboti. Shartga ko’ra
η= = 1.
Bu yerdan
= .
Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib,
=
ni hosil qilamiz. = + bo’lgani uchun (1) ga ko’ra
= 0.
Gruppaichi dispersiya gruppaviy dispesiyalarning arifmetik o’rtacha qiymati bo’lgani uchun (2) dan har bir gruppaning disersiyasi nolga tengligi kelib chiqadi.Bu esa har bir gruppada Y ning teng qiymatlari borligini, ya’ni X ning har bir qiymatida Y ning bitta qiymati mos kelishini anglatadi. Demak, η = 1 bo’lganda Y belgi X belgiga funksional bog’lanish bilan bog’langan.
2-eslatma. Teskari da’voni ham isbotlash mumkin: agar Y belgi X belgiga funksional bog’lanish bilan bog’langan bo’lsa, u holda η = 1 .
Yana ikkita da’voni isbotsiz keltiramiz:

4. 
   Tanlanma korrelyatsion nisbat tanlanma korrelyatsion koeffitsiyentning absolyut qiymatidan kichik emas:
   

η≥ .

5. 
   Agar tanlanma korrelyatsion nisbat tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymatiga teng bo’lsa, u holda aniq chiziqli bog’lanish o’rinli bo’ladi.
   

Boshqacha so’z bilan aytganda, agar η = bo’lsa, u holda ( , ) , ( , ) , . . . , ( , ) nuqtalar eng kichik kvadratlar metodi bilan topilgan regressiya to’g’ri chizig’ida yotadi.