O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

4-masala. Avtomashinalar prokati bilan shug’ullanadigan kompaniyani avtomashina bosib o’tgan yo’l X va unga xizmat ko’rsatishning oylik xarajatlari Y orasidagi bog’liqlik qiziqtiradi. Shu maqsadda 15 dona avtomashina tanlab olindi va natijalar ushbu jadvalda keltirildi.

X	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Y	13	16	15	20	19	21	26	24	30	32	30	35	34	40	39

Berilgan ma’lumotlar asosida chiziqli regressiya tenglamasini tuzing va tenglama koeffitsiyentlariga izoh bering.

Yechish: Regressiya chizig’ini tuzish uchun quyidagi jadvalni to’ldiramiz:

	X	y	xy
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	13 16 15 20 19 21 26 24 30 32 30 35 34 40 39	78 112 120 180 190 231 312 312 420 480 480 595 612 760 780	36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400	169 256 225 400 361 441 676 576 900 1024 900 1225 1156 1600 1521
Jami	195	394	5662	2815	11430

Tanlanmaviy korrelyatsiya koeffitsiyenti qiymatini hisoblaymiz:

= =
= = 0,982
Regressiya tenglamasining koeffitsiyentlarini hisoblash formulalariga asosan:
= = = 1,93
b = - = ∙394 – 1,93∙ ∙195 = 1,18.
Chiziqli regressiya tenglamasi quyidagicha = 1,93x + 1,18 bo’lar ekan.
Ko’rilayotgan misolda = 0,964, demak, regressiya tenglamasi orqali natijaviy o’zgaruvchi u ning 96,4%i tushuntirilar ekan. Qolgan, ya’ni regressiya tenglamasida boshqa hisobga olinmagan omillar ulushi esa 3,6%ni tashkil etar ekan.
5-masala.1-korrelyatsion jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bo’yicha = A +Bx+C regressiya tanlanma tenglamasini toping.
Korrelyatsion bog’lanish kuchini tanlanma korrelyatsion nisbat bo’yicha baholang.
1-jadval

X Y	2	3	5
25	20			20
45		30	1	31
110		31	18	49
	20	61	19	n=100

Yechilishi.2-hisoblash jadvalini tuzamiz.

2-jadval

2	20	25	40	80	160	320	500	1000	2000
3	31	47,1	93	279	837	2511	1460	4380	13141
5	49	108,67	245	1225	6125	30625	5325	26624	133121
∑	100		378	1584	7122	33456	7285	32004	148262

2-jadvalning so’nggi satrida turgan sonlarni

(2.2.1)
sistemaga qo’yib,noma’lum A, B, C koeffitsiyentlarga nisbatan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 33456A + 7122B + 1584C = 148262

Bu sistemani yechib
A=2,94, B=7,27, C=-1,25
ni topamiz. Topilgan koeffitsiyentlarni regressiya tenglamasi
=A +Bx+C
ga qo’yib, uzil-kesil
=2,94 +7,27x–1,25
ni hosil qilamiz.
tanlanma korrelyatsion nisbatni hisoblash uchun, dastavval, umumiy o’rtacha qiymatni, umumiy o’rtacha kvadratik chetlanishni va gruppalararo kvadratik chetlanishni topamiz:
= = = 72,85;
= = = 37,07;
= = = 33,06.
Izlanayotgan tanlanma korrelyatsion nisbatni topamiz:
= = = 0,89.
6-masala.Y ning X ga regressiya to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasini 1-korrelyatsion jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bo’yicha toping.

X Y	20	25	30	35	40
16	4	6	—	—	—	10
26	—	8	10	—	—	18
36	—	—	32	3	9	44
46	—	—	4	12	6	22
56	—	—	—	1	5	6
	4	14	46	16	20	n = 100

Yechilishi. Soxta nollar sifatida =30 va =36 ni tanlab (bu variantalarning har biri tegishli variatsion qatorning o’rtasida joylashgan), va qadamlarni (istalgan ikki qo’shni varianta orasidagi ayirmani) topamiz:

= 25 – 20 = 5; = 26 – 16 = 10.
shartli variantalardagi 2-korrelyatsion jadvalni tuzamiz,buning uchun u va v larni quyidagicha aniqlaymiz:
= ; = .
Masalan, = = = -2; = = = -2.

u v	-2	-4	0	1	2
-2	4	6	—	—	—	10
-1	—	8	10	—	—	18
0	—	—	32	3	9	44
1	—	—	4	12	6	22
2	—	—	—	1	5	6
	4	14	46	16	28	n=100

va ni tuzamiz:
= = = 0,34;
= = = -0,04
Yordamchi va kattaliklarni topamiz:
= = = 1,26;
= = = 1,04.
va ni topamiz:
= = = 1,07;
= = = 1,02.
ni topamiz, buning uchun 3-hisoblash jadvalini tuzamiz.
3-jadvaldagi so’nggi ustunning sonlarini qo’shib quyidagini hosil qilamiz:
= = 82.
Hisoblashlarni tekshirish maqsadida so’nggi satrdagi sonlar yig’indisini topamiz:
= = 82.
Yig’indilarning bir xilligi hisoblashlarning to’g’ri bajarilganligini ko’rsatadi.
3-jadvalni tuzishga doir tushuntirishlar.

1. 
   chastotaning u variantaga ko’paytmasini, ya'ni ni bu chastotani o’z ichiga olgan katakning yuqori o’ng burchagiga yoziladi. Masalan, birinchi satr kataklarining yuqori o’ng burchaklarida 4∙(-2) = -8; 6∙(-1) = -6 ko’paytmalar yozilgan.
   
2. 
   Bir satr kataklarining yuqori o’ng burchaklarida joylashgan barcha sonlarni qo’shiladi va ularning yig’indisini “U ustunning” shu satrdagi katagiga yoziladi. Masalan, birinchi satr uchun
   

U = -8 + (-6) = -14.

3. 
   Nihoyat, v variantani U ga ko’paytiriladi va hosil bo’lgan ko’paytma “vU ustunning” tegishli katagiga yoziladi. Masalan, jadvalning birinchi satrida v = -2, U = -14, demak,
   

vU =(-2)∙(-14) = 28.

4. 
   “vU ustunning” barcha sonlarini qo’shib, yig’indini hosil qilinadi, u izlanayotgan yig’indiga teng bo’ladi. Masalan, 3-jadval uchun = 82; demak, izlanayotgan yig’indi = 82.
   

Tekshirish maqsadida shunga o’xshash hisoblashlar ustunlar bo’yicha ham o’tkaziladi: ko’paymalarni chastotaning qiymatini o’z ichiga olgan katakning pastki chap burchagiga yoziladi; bitta ustun kataklarining pastki chap burchaklariga joylashtirilgan barcha sonlarni qo’shiladi va ularning yig’indisini “V satrga” joylashtiriladi, nihoyat har bir u variantani V ga ko’paytiriladi va natijani so’nggi satrning kataklariga yoziladi.
So’nggi satrning hamma sonlarini qo’shib, yig’indini hosil qilinadi, u ham izlanayotgan = 82 yig’indiga teng.
Masalan, 3-jadval uchun = 82; demak, = 82.
Izlanayotgan tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentini topamiz:
= = = 0,76.
= 5va =10; =30 va =36 ekanligini hisobga olib, va ni topamiz:
= + = 0,34∙5 + 30 = 31,7;
= + = (-0,04)∙10 + 36 = 35,6.
va ni topamiz:
= =5∙1,07 = 5,35;
= = 10∙1,02 = 10,2.

u v	-2	-1	0	1	2	U=	v∙U
-2	4	6				-14	28
-1	—	8	10			-8	8
0	—	—	32	3	9	21	24
1	—	—	4	12	6	24	24
2	—	—	—	1	5	11	22
V=	-8	-20	-6	14	16		=82 ↑
u∙V	16	20	0	14	32	=82←	Tekshirish

Topilgankattaliklarni - = (x- ) (1) munosabatgaqo’yibYningXgaregressiyato’g’richizig’iningizlanayotgantenglamasinihosilqilamiz: – 35,6 = 0,76∙ (x – 31,7)
yoki uzil-kesil
= 1,45x – 10,36.