O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining xossalari.Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining xossalarini keltiramiz, bulardan esa y chiziqli korrelyatsion bog’lanishning zichligini baholash uchun xizmat qilishi kelib chiqadi.
Ushbu formulalardan foydalanamiz:
= (1- ) ; = (1- ),
bu yerda
— tegishli shartli o’rtacha qiymatlar atrofida kuzatilgan y qiymatlarning dispersiyasi ;
— umumiy o’rtacha qiymat atrofida kuzatilgan y qiymatlarning dispersiyasi.
, dispersiyalar ham shunga o’xshash ma’noga ega.
1.Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymati birdan ortmaydi.
Isboti.Istalgan dispersiya manfiy emas. Jumladan,
= (1- ) ≥ 0.
Demak,
1- ≥ 0 .
Bu yerdan,
-1 ≤ ≤ 1 yoki ≤ 1 .
2. Agar tanlanma korrelyatsiya koeffitsitenti nolga teng bo’lib, tanlanma regressiya chiziqlari to’g’ri chiziqlar bo’lsa, u holda X va Y chiziqli korrelyatsion bog’lanish bilan bog’lanmagan .
Isboti. = 0 da Y ning X ga regressiyasining ,
- = (x - )
Tanlanma to’g’ri chizig’I tenglamasi ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:
- = 0
yoki
= .
= 0 da X ning Y ga regressiya to’g’ri chizig’i tenglamasi
=
ko’rinishga ega. Shunday qilib, = 0 da shartli o’rtacha qiymatlar tegishli argumentlarning o’zgarishida o’zgarmas qiymatli bo’ladi; shu ma’noda X va Y chiziqli korrelyatsion bog’lanish bilan bog’lanmagan deb hisoblash mumkin. Shu qaralayotgan holda regressiya to’g’ri chiziqlari tegishli koordinata o’qlariga parallel ekanligi ravshan.
Eslatma. Agar tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti nolga teng bo’lsa, u holda X va Y belgilar nochiziqli korrelyatsion va hatto funksional bog’lanish bilan bog’langan bo’lishi mumkin.
3. Agar tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymati birga teng bo’lsa, u holda belgilarning kuzatilayotgan qiymatlari chiziqli funksional bog’lanish bilan bog’langan.
Agar = 1 bo’lsa, u holda = (1- ) = 0. Bu yerdan ushbu tenglik kelib chiqishini ko’rsatish mumkin:
y - - (x - ) = 0
Ko’rib turibmizki, kuzatilayotgan istalgan (x,y) son jufti x va y ga nisbatan chiziqli bo’lgan bu tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni belgining tanlanmadagi qiymatlari chiziqli funksional bog’lanish bilan bog’langan. Bu yerdan hali belgilar bosh to’plamda ham chiziqli funksional bog’lanish bilan bog’langan degan ishonch bilan xulosa chiqarish mumkin emasligini qayd qilib o’tamiz (katta hajmli reprezentativ tanlanma bo’lganda normal taqsimlangan bosh to’plamda belgilar orasidagi bog’lanish chiziqliga yaqin va hatto chiziqli bo’ladi).
4. Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymati ortib borgan sari chiziqli korrelyatsion bog’lanish yanada zichroq bo’la boradi va = 1 da funksional bog’lanishga o’tadi.
Isboti. Ushbu
= (1- ), = (1- )
formulalardan ko’rinib turibdiki, ning absolyut qiymati ortishi bilan va dispersiyalar kamayadi, ya’ni belgilarning kuzatilayotgan qiymatlartining shartli o’rtacha qiymatlar atrofida tarqoqligi kamayadi, ana shuning o’zi esa belgilar orasidagi zichlik ortishini va = 1 da 3-xossadan kelib chiqishicha funksional bog’lanishga o’tishini anglatadi.
Keltirilgan xossalardan ning ma’nosi kelib chiqadi: tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti tanlanmada son belgilar orasidagi chiziqli bog’lanish zichigini xarakterlaydi: kattalik 1 ga qancha yaqin bo’lsa, bog’lanish shuncha kuchli; kattalik 0 ga qancha yaqin bo’lsa, bog’lanish shuncha kuchsiz.
Agar tanlanma yetarlicha katta hajmga ega va bosh to’plamni yaxshi tasvirlasa (reprezentativ bo’lsa), u holda belgilar orasidagi zichlik haqida tanlanma ma’lumotlari bo’yicha olingan xulosa ma’lum darajada bosh to’plamga ham tarqatilishi mumkin. Masalan, normal taqsimlangan bosh to’plam korrelyatsiya koeffitsiyentini baholash uchun (n ≥ 50 da)
– 3 ≤ ≤ + 3
formuladan foydalanish mumkin.
1-eslatma. Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining ishorasi tanlanma regressiya koeffitsiyentlari ishorasi bilan bir xil bo’lsa, bu ushbu formulalardan kelib chiqadi:
; (1.2.6)
2-eslatma.Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti tanlanma regressiya koeffitsiyentlarining geometrik o’rtacha qiymatiga teng. Darhaqiqat, (1) tengliklarning chap va o’ng tomonlarini ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz:
= .
Bu yerdan
= ± .
Radikal oldidagi ishora 1-eslatmaga muvofiq regressiya koeffitsiyentlari ishoralari bilan bir xil qilib olinishi lozim.Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentini hisoblashning to’rt maydon usuli.Korrelyatsion jadval ma’lumotlari bo’yicha tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentini baholash talab qilinsin. Agar
= va =
shartli variantlarga o’tiladigan bo’lsa, hisoblashlarni ancha soddalashtirish mumkin. Bu holda tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti ushbu formula bo’yicha hisoblanadi:
=
, , , kattaliklar ko’paytmalar metodi bo’yicha hisoblanishi mumkin. Endi
ni hisoblash usulini ko’rsatish qoldi. To’rt maydon usuli xuddi shu maqsadga xizmat qiladi. Usulning nomi eng katta chastotani o’z ichiga olgan katakda kesishadigan satr va ustun korrelyatsion jadvalni maydonlar deb ataladigan to’rt qismga bo’lishi bilan bog’liq. Maydonlar 4-jadvalda ko’rsatilganidek nomerlanadi.
4-jadval

u v
	I		II
0		Eng katta chastota
	III		IV

Hisoblash qanday olib borilishini ko’rsatamiz, buning uchun hozircha I maydon bilan cheklanamiz.Aytaylik, 4-jadvalning birinchi maydonidan iborat qismi 5-jadval ko’rinishida tasvirlangan bo’lsin.

5-jadval.

u v	-3	-2	-1
-2	5	1	—
-1	—	20	23

u va v variantalar juftlarini ko’paytmalarini topamiz va ularni tegishli chastotalarni o’z ichiga olgan kataklarning yuqoridagi o’ng burchaklarga joylashtiramiz. u = -3 va v=-2 variantalar jufti 5 marta kuzatilgan bo’lsin; uv=(-3)∙(-2)=6 ko’paytmani 5 chastotani o’z ichiga olgan katakning yuqoridagi burchagiga yozamiz. Birinchi maydonning qolgan kataklarini ham shunga o’xshash to’ldirib, 6-jadvalni hosil qilamiz.

6-jadval

u v	-3	-2	-1
-2	5	7	—
-1	—	20	23

Qolgan maydonlarning kataklari ham shunga o’xshash to’ldiriladi. Shunday qilib, har bir katakka ( chastotani o’z ichiga olgan) uv ko’paytma ham yozilgan bo’ladi, endi har bir katakdagi va uv sonlarni ko’paytirish va natijalarni qo’shish qoladi; natijada izlanayotgan sonni hosil qilamiz.

Hisoblashlarni nazorat qilishni qulaylashtirish maqsadida har bir katakdagi va uv sonlarning ko’paytmalari har bir maydon uchun alohida qo’shiladi, shu bilan birga hisoblash har bir maydonning satrlari bo’yicha va ustunlari bo’yicha olib boriladi. Maydon satridagi ∙uv sonlar yig’indisini o’ngda joylashgan qo’shimcha ustunlardan sonlari jamlanayotgan ustun bilan bir xil nomerga ega bo’lganiga yoziladi. Sonlarning har bir maydon bo’yicha alohida yig’indilarini jadvalning pastki o’ng burchagidagi to’rtta yakuniy katakka yoziladi.Nihoyat, yakuniy kataklardagi barcha sonlarni qo’shib, izlanayotagn son hosil qilinadi.
Hisoblash jadvali sxematik tarzda 7-jadval ko’rinishida tasvirlangan.
7-jadval

u v	-3	-2	-1	0		I	II
-2	5	7	—			58
-1	—	20				63
0				Eng katta chastota		III	IV
		III			IV
I	30	68	23	II		121	II
III				IV		III	IV

Birinchi maydonning satrlari bo’yicha va uv larning ko’paytamalari yig’indilarini topamiz (5∙6+7∙4=58; 20∙2+23∙1=63) va ularni qo’shimcha I ustunga joylashtiramiz.Birinchi maydonning ustunlari bo’yicha va uv larning ko’paytamalari yig’indilarini topamiz (5∙6=30; 7∙4+20∙2=68; 23∙1=23) va va ularni qo’shimcha I ustunga joylashtiramiz. I qo’shimcha ustundagi sonlar yig’indisini topamiz (58+63=121) va uni (jadvalning pastki o’ng burchagidagi) birinchi yakuniy katakka yozamiz.

Nazorat qilish maqsadida qo’shimcha satrning barcha sonlarini qo’shamiz
(30+68+23=121).
Qolgan maydonlar bo’yicha hisoblash ham shunga o’xshash olib boriladi.
Misol. 8-korrelyatsion jadvalda berilgan ma’lumotlar bo’yicha tanlanma korrelyatsiya koeffitisyentini toping.
Yechilishi. Shartli variantlarga o’tamiz: u = = ( soxta nol sifatida eng katta chastotaga ega bo’lgan x = 40 varianta olindi; qadam ikkita qo’shni varianta orasidagi ayirmaga teng: 20 – 10 = 10) va v = = ( soxta nol sifatida eng katta chastotaga ega bo’lgan y = 35 varianta olindi; qadam ikkita qo’shni varianta orasidagi ayirmaga teng: 25 – 15 = 10).
8-jadval

Y X	10	20	30	40	50	60
15	5	7	—	—	—	—	12
25	—	20	23	—	—	—	43
35	—	­—	30	47	2	—	79
45	—	—	10	11	20	6	47
55	—	—	—	9	7	3	19
	5	27	63	67	29	9	n = 200

Shartli variantalar bo’yicha korrelyatsion jadval tuzamiz. Bu amalda bunday bajariladi: birinchi ustunda eng katta chastotaga ega bo’lgan varianta (35) o’rniga 0, nolning tepasiga ketma-ket -1, -2, -3 noldan o’ngda 1, 2 yoziladi. Qolgan barcha ma’lumotlar dastlabki korrelyatsion jadvaldan ko’chirib yoziladi.Natijada shartli variantalar bo’yicha 9-korrelyatsion jadvalni hosil qilamiz.

, , va kattaliklarni ko’paytmalar metodi bilan topish mumkin; ammo va lar kichik bo’lgani uchun va ni o’rtacha qiymat ta’rifiga asoslanib, va ni esa ushbu formulalardan foydalanib hisoblaymiz:
= , = .
va ni topamiz:
= = = -0,425;
= = = 0,09;
Yordamchi miqdorni, keyin esa ni hisoblaymiz:
= = 1,405;
= = = 1,106.
Shunga o’xshash = 1,209 ni hosil qilamiz. ni to’rt maydon usuli bilan topamiz, buning uchun 10-hisoblash jadvalini tuzamiz.
10-jadval

u v	-3	-2	-1	0	1	2
-2	5	7	—	—	—	—	12
-1	—	20	20	—	—	—	43
0	—	—	30	47	2	—	79
1	—	—	10	11	20	6	47
2	—	—	—	9	7	3	19
	5	27	63	67	29	9	n=200

11-jadval

u v	-3	-2	-1	0	1	2	1	11
-2	5	7	7		—	—	58	—
-1	—	20	23		—	—	63	—
0							III	IV
1	—	—	10		20	6	-10	32
2	—	—	—		7	3	—	26
1	30	68	23	II	—	—	121	—
III	—	—	-10	IV	34	24	-10	58

Yakuniy kataklardagi sonlarni qo’shamiz.

= 121 – 10 + 58 = 169.
Izlanayotgan korrelyatsiya koeffitsiyentini topamiz:
= = = 0,603 .
Shunday qilib,
= 0,603