O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

Bitiruv malakaviy ishining metodologiyasi:eng kichik kvadratik usul,regressiya to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasini gruppalangan ma’lumotlar bo’yicha topish. Shuningdek tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti,shartli o’rtacha qiymatlar,korrelyatsion bog’liqlik,korrelyatsiya nazariyasining ikki asosiy masalasi,tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining xossalari,tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentini hisoblashning to’rt maydon usuli,istalgan korrelyatsion bog’lanish o’lchovini kiritishga doir dastlabki mulohazalar,tanlanma korrelyatsion nisbat,tanlanma korrelyatsion nisbatning xossalari
Bitiruv malakaviy ishining metodlari:korrelyatsiya nazariyasining ikki asosiy masalasi,tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentining xossalari,tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyentini hisoblashning to’rt maydon usuli.
Bitiruv malakaviy ishining hajmi va tuzilishi: BMI kirish, ikki bob,to’rt paragraf hamda birinchi va ikkinchi boblarning xulosalari, xotima,foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

I-bob.Korrelyatsiya nazariyasi elementlari.
1.1.Eng kichik kvadratik usul.
Aytaylik, X va Y son belgilar chiziqli korrelyatsion bog’lanish bilan bog’langan bo’lsin. Bu holda ikkala regressiya chizig’i ham to’g’ri chiziqlar bo’ladi.
Faraz qilaylik, bu to’g’ri chiziqlarning tenglamalarini topish uchun n ta sinov o’tkazilgan bo’lib, natijada ta son jufti topilgan bo’lsin:
( , ) , ( , ) , . . . , ( , )
Kuzatilayotgan son juftlarini (X, Y) tasodifiy miqdorlarning mumkin bo’lgan barcha qiymatlari bosh to’plamidan olingan tasodifiy tanlanma sifatida qarash mumkin bo’lgani uchun bu ma’lumotlar bo’yicha topilgan kattaliklar va tenglamalarga tanlanma nomi qo’shiladi.
Aniqlik uchun Y ning X ga regressiya to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasini izlaymiz.Eng sodda holni qaraylik: X belgining turli x qiymatlari va Y belgining ularga mos y qiymatlari bir martadan kuzatilgan bo’lsin. Bunday ma’lumotlarni gruppalashning zarurati yo’q.shuningdek, shartli o’rtacha qiymatdan foydalanishga ham hojat yo’q, shunung uchun izlanayotgan
= kx+b
tenglamani bunday yozish mumkin:
Y = kx+b.
Y ning X ga regressiya to’g’ri chizig’ining burchak koeffitsiyentini Y ning X ga tanlanma regressiya koeffitsiyenti deyish va uni orqali belgilash qabul qilingan.
Shunday qilib, Y ning X ga regressiya to’g’ri chizig’ining
Y = x+b (1.1.1)
ko’rinishdagi tanlanma tenglamasini izlaymiz.
O’z oldimizga va b parametrlarni shunday tanlashni vazifa qilib qo’yaylikki, kuzatish ma’lumotlari bo’yicha XOY tekislikda yasalgan
( , ) , ( , ) , . . . , ( , )
nuqtalar iloji boricha (1) to’g’ri chiziq yaqinida yotsin.
Bu talabning ma’nosini aniqlashtiramiz. Ushbu
- (i = 1, 2, . . . ,n)
yirmani chetlanish deb ataymiz, bu yerda — (1.1.1) tenglama bo’yicha hisoblangan va kuzatilayotgan qiymatga mos ordinata, esa ga mos kuzatilayotgan ordinata.
va b parametrlarni chetlanishlarning kvadratlari yig’indisi minimal bo’ladigan qilib tanlaymiz (eng kichik kvadratlar metodining mazmuni shundan iborat).
Har bir chetlanish izlanayotgan parametrlarga bog’liq bo’lgani uchun chetlanishlarning kvadratlari yig’indisi ham bu parametrlarning F funksiyasi bo’ladi :
F( ρ , b)=
yoki
F( ρ , b)= .
Minimumni izlash uchun tegishli xususiy hosilalarni nolga tenglaymiz:
= 2 =0;

= 2 =0.
Elementar almashtirishlar bajarib, va b ga nisbatan ikkita chiziqli tenglama hosil qilamiz.
( ) + ( )b = ; ( ) ρ +nb = (1.1.2)
Bu sistemani yechib, izlanayotgan parametrlarni topamiz:
= ;

b= (1.1.3)

X ning Y ga regressiya to’g’ri chizig’ining
= x+C
tanlanma tenglamasini shunga o’xshash topish mumkin, bu yerda son X ning Y ga tanlanma regressiya koeffitsiyenti.
Misol. Y ning X ga regressiya to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasini n=5 ta kuzatish ma’lumotlari bo’yicha toping.
x 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00
y 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25
Yechilishi.1-hisoblash jadvalini tuzamiz.
1-jadval

1,00	1,25	1,00	1,250
1,50	1,40	2,25	2,100
3,00	1,50	9,00	4,500
4,50	1,75	20,25	4,875
5,00	2,25	25,00	11,250
=15	=8,15	=57,50	= 26,975

Izlanayotgan parametrlarni topamiz, buning uchun jadval bo’yicha hisoblangan yig’indilarni (3) munosabatlarga qo’yamiz:

= = 0,202;

b= = 1,024.

Izlanayotgan regressiya tenglamasini yozamiz:
Y = 0,202x + 1,024.
Bu tenglama bo’yicha hisoblangan qiymatlar kuzatilgan qiymatlar bilan qanchalik mos kelishi haqida tasavvur hosil qilish uchun - chetlanishlarni topamiz.Hisoblash natijalari 2-jadvalda keltirilgan.
2-jadval

			-
1,00	1,226	1,25	-0,024
1,50	1,327	1,40	-0,073
3,00	1,630	1,50	0,130
4,50	1,933	1,75	0,083
5,00	2,034	2,25	-0,216

Jadvaldan ko’rinishicha, chetlanishlarning hammasi ham yetarlicha kichik emas.Bu kuzatishlar sonining kichikligi bilan izohlanadi.Korrelyatsion jadval.Kuzatishlar soni katta bo’lganda bitta x qiymatning o’zi marta, bitta y qiymatning o’zi marta, son jufti (x,y) ning bitta o’zi marta uchrashi mumkin. Shu sababli kuzatish ma’lumotlari gruppalanadi, ya’ni , , chastotalar hisoblanadi. Barcha gruppalangan ma’lumotlar jadval ko’rilishida yozilib, y korrelyatsion jadval deyiladi.

Korrelyatsion jadvalning tuzilishini misol orqali tushuntiramiz(3-jadval).
3-jadval

X Y	10	20	30	40
0,4	5	—	7	14	26
0,6		2	6	4	12
0,8	3	19	—	—	22
	8	21	13	18	n=60

Jadvalning birinchi satrida X belgining kuzatilgan qiymatlari (10; 20; 30; 40), birinchi ustunida esa Y belgining kuzatilgan qiymatlari (0,4; 0,6; 0,8) ko’rsatilgan. Satrlar va ustunlarning kesishishida belgilarning kuzatilgan qiymatlari juftlarining chastotalari yozilgan. Masalan, 5 chastota (10; 0,4) son jufti 5 marta kuzatilganini bildiradi. Chiziqcha esa tegishli son jufti masalan, (20; 0,4) kuzatilmaganini anglatadi.

So’nggi ustunda barcha satrlardagi chastotalar yig’indilari yozilgan. Masalan, 2-satrdagi chastotalar yig‘indisi =5+7+14=26; bu son Y belgining 0,4 ga teng qiymati 26 marta kuzatilganini bildiradi.
So’nggi satrda ustunlardagi chastotalarning yig’indilari yozilgan. Masalan, 8 soni X belgining 10 ga teng qiymati 8 marta kuzatilganini ko’rsatadi.
Jadvalning pastki o’ng burchagida joylashgan katakka barcha chastotalar yig’indisi (jami kuzatishlar soni n) yozilgan. Ravshanki, = =n. bizning misolda
= 8+21+13+18=60
va
= 26+12+22=60.