O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

1.2 Regressiya to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasini gruppalangan ma’lumotlar bo’yicha topish. Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti.

Biz Y ning X ga regressiya to’g’ri chizig’ining parametrlarini aniqlash uchun ushba tenglamalar sistemasini hosil qilgan edik:

(1.2.1)
X ning qiymatlari va Y ning ularga mos qiymatlari bir martadan kuzatilgan deb faraz qilingan edi. Endi esa ko’p sonli ma’lumotlar olingan( izlanayotgan parametrlarni amalda qoniqarli baholash uchun kamida 50 ta kuzatish o’tkazilishi lozim ), ular orasida takrorlanadiganlari bor va ular korrelyatsion jadval ko’rinishida gruppalangan deb faraz qilaylik. (1.2.1) sistemani y korrelyatsion jadval ma’lumotlarini aks ettiradigan qilib yozamiz. Ushbu ayniyatlardan foydalanamiz:
= n ( = ning natijasi);
= n ( = ning natijasi);
= n ( = ning natijasi;
= xy ((x,y) son jufti marta kuzatilganligi hisobga olingan).
Bu ayniyatlarning o’ng tomonlarini (1) sistemaga qo’yib va ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini n ga qisqartirib quyidagini hosil qilamiz:
(1.2.2)
Bu sistemani yechib, va b parametrlarni va demak, izlanayotgan tenglamani hosil qilamiz:
= x+b.
Lekin yangi kattalik — korrelyatsiya koeffitsiyentini kiritib, regressiya tenglamasini boshqacha ko’rinishda yozish maqsadga muvofiqdir.Buni bajaraylik.

1. 
   ning ikkinchi tenglamasidan b ni topamiz:
   

b = - .
Bu tenglamaning o’ng tomonini = x+b tenglamaga qo’yib
- = (x - ) (1.2.3)
ni hosil qilamiz. (1) sistemadan - = ekanligini hisobga olib, regressiya koeffitsiyentini topamiz:
= = .
Bu tenglikning ikkala tomonini kasrga ko’paytiramiz:
∙ = .
Bu tenglamaning o’ng tomonini orqali belgilaymiz va uni tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti deb ataymiz:
=
yoki =
Bu tenglikning o’ng tomonini (3) ga qo’yib , Y ning X ga regressiya tog’ri chizig’i tanlanma tenglamasini ushbu
- = (x - )
Ko’rinishida hosil qilamiz.
1-eslatma. X ning Y ga regressiya to’g’ri chizig’i tanlanma tenglamasi ham shunga o’xshash topiladi:
- = (y - ),
bu yerda
= .
2-eslatma. Regressiya to’g’ri chiziqlari tenglamalari yanada simmetrik ko’rinishda yozilishi mumkin:
= ;
= .
3-eslatma.Tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti alohida ham muhim ahamiyatga ega. Yuqoridagidan kelib chiqishicha, tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti
=
tenglik bilan aniqlanadi, bu yerda x, y lar X va Y belgilarning variantalari (kuzatilgan qiymatlari);
— kuzatilgan (x,y) varianta juftining chastotasi;
n — tanalanma hajmi ( barcha chastotalar yig’indisi);
, — tanlanma o’rtacha qiyatlar;
, — tanlanma o’rtacha kvadratik chetlanishlar.
Korrelyatsiya nazariyasiga keltiriladigan amaliy masalalar Ko’p masalalarda o’rganilayotgan Y tasodifiy miqdorning bitta yoki bir nechta boshqa miqdorlarga bog’liqligini aniqlash va baholash talab qilinadi. Avval Y ning bitta tasodifiy(tasodifiy bo’lmagan) X miqdorga, keyin esa bir nechta miqdorga bog’liqligini tekshiramiz.
Ikkitatasodifiymiqdorfunksionalbog’lanishbilanyokistatistikbog’lanishbilanbog’langanbo’lishiyokio’zarobog’lanmaganbo’lishimumkin.
Qat’iy funksional kam bo’ladi,chunki ikkala miqdor yoki ularning biri boshqa tasodifiy faktorlarning ta’siriga duchor bo’ladi,shu bilan birga bu faktorlar orasida ikkala miqdor uchun ham umumiy bo’lganlari bo’lishi mumkin. Bu holda statistic bog’lanish yuzaga keladi. Masalan, Y
, , ,
tasofiy faktorlarga bog’liq, X esa
, , ,
tasodifiy faktorlarga bog’liq bo’lsa, u holda Y va X orasida statistik bog’lanish bor, chunki tasodiy orasida va bor .
Statistik bog’lanish deb shunday bog’lanishga aytiladiki, unda miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchisining taqsimoti o’zgarishiga olib keladi.Xususan, statistik bog’liqlik miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchisining o’rtacha qiymatini o’zgarishida ko’rinadi; bu holda statistik bog’lanish korrelyatsion bog’lanish deb ataladi.
X tasodifiy miqdor bilan funksional emas, balki korrelyatsion bog’langan Y tasodifiy miqdorga misol keltiramiz. Aytaylik, Y- don hosili, X-o’g’itlar miqdori bo’lsin.Maydoni bir xil bo’lgan uchastkalardan bir xil miqdorda o’g’it solinganda ham har xil hosil olinadi, ya’ni Y miqdor X miqdorning funksiyasi emas. Bu tasodifiy faktorlar (yog’ingarchilik,havo temperaturasi va boshqalar) ta’siri bilan tushuntiriladi. Shunga qaramasdan tajriba ko’rsatadiki, o’rtacha hosil o’g’itlar miqdorining funksiyasidir, ya’ni Y miqdor X bilan korrelyatsion bog’lanish bilan bog’langan.