O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent

XYZ va ABC aktivlari uchun qaytimning standart og‘ishi

A. Aktiv XYZ
Bo‘lishi mumkin bo‘lgan natija	Kutilgan qaytimdan kam qaytim	Kvadrat og‘ish	Ehtimollik* kvadrat og‘ish
1	0.0500	0.0025	0.0005
2	0.0300	0.0009	0.0002
3	0.0100	0.0001	0.0000
4	-0.0300	0.0009	0.0001
5	-0.1100	0.0121	0.0016
		Tafovut=	0.0024
		Standart og‘ish	4.90%
B. Aktiv ABC
Bo‘lishi mumkin bo‘lgan natija	Kutilgan qaytimdan kam qaytim	Kvadrat og‘ish	Ehtimollik* kvadrat og‘ish
1	0.1100	0.0121	0.0022
2	0.0400	0.0016	0.0004
3	-0.0100	0.0001	0.0000
4	-0.0600	0.0036	0.0006
5	-0.1300	0.0169	0.0022
		Tafovut=	0.0054
		Standart og‘ish	7.32%

Ikki-aktiv investitsiyaning investitsiya riskini hisoblash. (5) – tenglamada, biz yakka aktivning qaytimidagi tafovutni keltirib o‘tdik. Ikkita aktivdan iborat investitsiyaning tafovutini hisoblash biroz qiyinroq. Buni hisbolash nafaqat ikkita aktivning tafovutlariga bog‘liq, balki bir aktivning qaytimi ikkinchi aktivga qanchalik yaqinligiga ham bog‘liq. Bu formula

 ² (R
)  w² ²  w² ²  2w w cov(R , R )
(6)

p i i j j i j i j
Bu erda cov(R_i,R_j) i va j aktivlar orasidagi o‘zaro tafovut. Boshqa so‘z bilan aytganda, investitsiya qaytimi tafovuti, har bir investitsiyaning tafovuti kvadratlari va 2ta investitsiyaning o‘zaro tafovutining 2ga ko‘paytirilganiga teng. Biz ushbu formulani ikkitadan ko‘p bo‘lgan aktivlar uchun ham o‘zgartirib qo‘llay olamiz.
O‘zaro tafovut. Tafovut tushunchasiga o‘xshab, o‘zaro tafovutning ham aniq matematik tarjimasi mavjuddir.Buning praktik ma’nosi, ikkita aktivning qaytimini bir biriga ta’siridir. O‘zaro tafovut bu umumiylashgan tushuncha bo‘lib, bir necha aktivlar tafovutida ishlatiladi. Ikkita qaytim orasidagi pozitiv o‘zaro tafovut bo‘lsa, demak ikkita aktiv bir xil yunalishda o‘zgaradi degani, agar negativ bo‘lsa turli xil yunalishda o‘zgaradi degani. Hoxlagan ikkita i va j aktivlar uchun o‘zaro tafovut ushbu formula orqali hisoblanadi:
cov(R_i , R_j )  p₁[(r_i1  E(R_i ))(r_j1  E(R_j ))]

 p₂ [(r_{i 2}  E(R_i ))(r_{j 2}  E(R_j ))]  ...

• 
  p_N [(r_iN  E(R_i ))(r_jN  E(R_j ))]
  

Bu erda:
(7)

r_in- i aktivi uchun n-chi mumkin bo‘lgan qaytim foizi r_in-j aktivi uchun n-chi mumkin bo‘lgan qaytim foizi
p_n- i va j aktivlari uchun n qaytim foizi sodir bo‘lish ehtimolligi N – qaytim foizlari sodir bo‘lishi mumkin bo‘lgan natijalar soni

i va j aktivlari qaytimlari o‘zaro bog‘lanishi
_{i, j} kabi belgilanadi va ikkita

aktivning o‘zaro tafovutini, ularning o‘zaro og‘ishi ko‘paytmasiga nisbatiga teng:

^i, j
_ cov(R_i , R_j )
 
(8)

i j
20.2-jadval

I va J aktivlari uchun o‘zaro tafovut va o‘zaro munosabat hisobi.

Bo‘lishi mumkin natijalar	Ehti mollik %	XYZ aktivlari uchun og‘ish ( riXYZ  E(RXYZ ) )		XYZ aktivlari uchun og‘ish ( riABC  E(RABC ) )		Og‘ish va ehtimollik ko‘paytmasi
1	18	0.0500		0.1100		0.0010
2	24	0.0300		0.0400		0.0003
3	29	0.0100		0.0100		0.0000
4	16	-0.0300		-0.0600		0.0003
5	13	-0.1100		-0.1300		0.0019
			O‘zaro tafovut		0.0034
			O‘zaro bog‘lanish		0.9441

+1.0 dan boshlanaydigan o‘zaro bog‘lanish koeffietsienti juda yahshi bir tomonga o‘zgarishni ko‘rsatsa, -1.0dan boshlanaydigani juda yahshi o‘zaro teskari o‘zgarishni ko‘rsatadi. Standart og‘ishlar faqat musbat bo‘lishi tufayli, agar o‘zaro ta’sir manfiy bo‘lsa, o‘zaro munosabat ham manfiy bo‘ladi. Agar o‘zaro munosabat kattaligi 0 ga teng bo‘lsa, demak qaytimlar o‘zaro bog‘liqmas.
O‘zaro ta’sir va o‘zaro bog‘lanish ma’no jihatdan bir hil, lekin hisoblash jihatdan turli hildir. Ikkita tasodifiy o‘zgaruvchi orasidagi o‘zaro bog‘lanish bu o‘zaro tafovutning standart og‘ishlar ko‘paytmasiga nisbatiga teng. O‘zaro bog‘lanish standartizatsiyalangan sonligi tufayli(qaytimning standart og‘ishi farqlari uchun tog‘irlangan), har xil aktivlar orasidagi o‘zaro munosabatni taqqoslasa bo‘ladi.
XYZ va ABC aktivlari qaytimlari orasidagi o‘zaro bog‘liqlik 0.9441 ga teng.
Buni detallarini 20.2- jadvalda keltirib o‘tdik.
Ikkitadan ko‘p aktivdan tashkil topgan investitsiya uchun riskni hisoblash. Sal oldinroq biz ikkita aktivdan tashkil topgan investitsiya riskini topdik. Bu 3ta aktiv i, j, k uchun quyidagicha hisoblanadi:

 ² (R
)  w² ² (R )  w² ² (R )  w² ² (R )  2w w
cov(R R )  2w w
cov(R R )  2w w
cov(R R )

p i i j
(9)
j k k i j
i j i k i k j k j k

So‘z bilan aytganda, investitsiya qaytimi tafovuti, har bir investitsiyaning o‘z qaytim tafovutlari va ularning juftlikdagi o‘zaro tafovutlari qo‘shilmasi yig‘indisiga teng. Umumiylashtiraydigan bo‘lsak, quyida G ta aktivdan tashkil topgan investitsiya uchun investitsiya qaytimi tafovuti paydo bo‘ladi:
G G

 ² (R
)  _w w cov(R R )
(10)

p g h g h g 1 h1
(10) – tenglamada, agar h=g bo‘lsa G aktivlarda tafovut sodir bo‘ladi. Agar h≠g bo‘lsa, G aktivlari orasida barcha mumkin bo‘lgan o‘zaro tafovut sodir bo‘ladi. Qolayversa, (10) tenglama G ta tafovutlar va bo‘lishi mumkin bo‘lgan tafovutlar yig‘indisiga teng.
Investitsiya o‘zgarishi
Ko‘pincha biz investorlarning investitsiyasini o‘zgartirayotganligi haqida eshitib qolamiz. Investitsiya tuzilishini o‘zgartiraydigan investor uni riskini kamaytiradi, qaytimni qurbon qilmagan holda.Bu investorning qidiraydigan asosiy maqsadi hisoblanadi.SHunga qaramasdan, buni amaliyotga qo‘llash asosiy muammodir.Investitsiya tanlash teoriyasining asosiy yordami shundaki, biz yuqorida muhokama qilgan tushunchalar orqali investitsiyani o‘zgarishini aniqlashimiz mumkin, va bu investorlar uchun o‘zgarish foydalarini maksimallashtirish uchun asosiy ko‘rsatkich hisoblanadi.
Markowitzning o‘zgarish strategiyasi asosan investitsiyadagi aktiv qaytimlari orasidagi o‘zaro tafovut darajasiga aloqador hisoblanadi. Markowitz strategiyasi muhim yordami bu investitsiya aktivlaridagi aktivlarning risklarini izolyatsiya qilishdam ko‘ra formulatsiya qilishidir. Markowitz o‘zgarishi investitsiyaning juda yahshi o‘zaro pozitiv o‘zaro bog‘liqlik mavjud bo‘lmagan aktivlarini birlashtirish yullarini qidiradi va bu foydani kamaytirmagan holda riskni kamaytirish imkonini

beradi. Bu qaytimni davom ettirish muammosi hisoblanadi va aktiv qaytimlari orasidagi o‘zaro tafovutni analiz qilish yuli bilan riskni tushuradi. Bu esa Markowitz ajratishini, ajratishning sodda yulidan ajratib turadi va uni foydaliroq qiladi. Biz oddiy ikkita aktivdan tashkil topgan investitsiya misolida Markowitz o‘zgarishini va aktivlar o‘zaro bog‘liqiligi muhimligini ko‘rsatmoqdamiz. Buning uchun biz birinchi ikki-aktiv investitsiyadagi riskning va ushbu aktivlarning qaytimlari orasidagi umumiy bog‘lanishni ko‘rsatamiz. Keyin esa turli xil o‘zaro bog‘lanishli aktivlarni birlashtirishni foydasini ochib beramiz.