O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

1.3.  Variatsion qator. Tasodifiy miqdorning empirik taqsimot 
funksiyasi.   Faraz qilaylik, 
  tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi 
      bo„lib,    
 
   
 
       
 
   ‒  bosh  to„plamdan  olingan  tanlanmaning 
kuzatilayotgan  qiymati  bo„lsin.  Kuzatilayotgan 
 
 
  ‒  qiymatlar  varianta-
lar  deyiladi,  bu  yerda    (
        
̅̅̅̅̅   Tajribalar bir xil sharoitda, bir-biriga 
bog„liq bo„lmagan holda  o„tkazilib, uning natijalari tartibsiz joylashgan 
bo„lishi mumkin.    
O„sib borish tartibida: 
 ̇
 
   
 
       ̇
 
̇
 
yozilgan  variantalar 
 ̇
 
   
 
       ̇
 
̇
  ketma-ketligiga  variatsion  qator 
deyiladi.   
 
Agar  tanlanmada 
 
 
  varianta 
 
 
  marta, 
 
 
  varianta 
 
 
  marta  va 
hokazo 
 
 
  varianta 
 
 
  marta  (bu  yerda 
 
 
   
 
       
 
   ) 
kuzatilayotgan bo„lsa, u holda 
 
 
   
 
       
 
 sonlar chastotalar,  
 
 
 
 
 
 
             
̅̅̅̅̅ 
sonlar esa nisbiy chastotalar deyiladi, bu yerda 
  
 
   
 
       
 
    
ekanligi ravshan.  
 
Tanlanmaning  statistik  yoki  empirik  taqsimoti  deb,  variantalar, 
ularga mos chastotalar yoki nisbiy  chastotalar iborat quyidagi  jadvalga 
aytiladi:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ... 
 
 
 
yoki 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ... 
 
 
 
 
 
Ta’rif. Variantalarning 
  sondan kichik bo„lgan qiymatlari nisbiy 
chastotasi:  
n
n
x
F
x
n

*
)
(
 
empirik  taqsimot  funksiya  deyiladi,  bu  yerda 
   ‒  tanlanmaning  hajmi, 
 
 
 ‒ 
  sondan kichik bo„lgan variantalar soni.  
Empirik taqsimot funksiyaning xossalari: 
1. 
1
)
(
0
*


x
F
n
. 

---

 
134 
2. 
*
)
(x
F
n
‒ monoton kamaymaydigan funksiya. 
3.  Agar 
 
 
  eng  kichik  varianta  va 
 
 
  eng  katta  varianta  bo„lsa,  u 
holda  






k
1
*
x
x
,
1
x
,
0
)
(
аgаr
x
аgar
x
F
n
 
o„rinli bo„ladi. 
 
Empirik funksiyasidan farqli bosh to„plam uchun aniqlangan 
     
funksiya  tanlanmaning  nazariy  taqsimot  funksiyasi  deb  ataladi. 
     
nazariy  taqsimot  funksiya  {
     }  hodisa  ehtimolligini,  empirik 
taqsimot funksiya esa shu hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydi.   
 
1-misol.    Biror  diskret  tasodifiy  miqdorni  o„rganishda  20  ta 
bog„liqmas sinovlar natijasida quyidagi tanlanma hosil qilingan:   
       10,7,15,10,12,7,19,13,10,15,14,19,12,15,12,11,7,15,7,7.   
Tanlanmaning variatsion qatorini va nisbiy chastotalar empirik taq-
simotini toping. 
Yechish: O„sib borish tartibida yozilgan variantalar ketma-ketligi-
dan iborat variantsion qatorni tuzamiz:  
7,10,11,12,13,14,15,19. 
Tanlanmaning  empirik  taqsimotini  topamiz.  Bu  yerda 
               
                        ‒  tanlanma  hajmi.  Nisbiy  chastotalarni 
topamiz: 
 
 
 
 
  
 
 
 
    
 
 
 
  
    
 
 
 
  
    
 
 
 
  
    
 
 
 
 
  
    
 
 
 
  
   
 
 
 
  
 
 
 
    
 
 
 
  
 
 
  
  
 
 
 
  7 
10  11  12  13  14  15  19 
 
 
  5 
3 
1 
3 
1 
1 
4 
2 
yoki 
 
 
  7 
10  11  12 
13  14  15  19 
 
 
   
 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
2-misol.  Quyidagi empirik taqsimot berilgan: 
 
 
 
  -3 
-2 
-1 
0 
1 
 
 
  0,35  0,15  0,25  0,15  0,1 

---

 
135 
 
Empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uning grafigini chizing.  
Yechish: Berilgan tanlanma bo„yicha empirik taqsimot funksiyani 
tuzamiz: 






































bolsa.
1
x
agar
1;
1
,
0
0,15
0,25
0,15
0,35
bolsa,
1
x
0
agar
0,9;
0,15
0,25
0,15
0,35
bolsa,
0
x
1
-
agar
0,75;
0,25
0,15
0,35
bolsa,
1
x
2
-
agar
0,5;
0,15
0,35
bolsa,
  
-2
x
3
agar
;
35
,
0
bolsa,
 
3
x
agar
;
0
)
(
*
x
F
n
 
Topilgan qiymatlar asosida grafikni yasaymiz: 
 
 
                              
1-rasm. 
 
1.4.  Poligon  va  gistogramma.  Tanlanmani  grafik  usulda  tasvirlash 
uchun poligon va gistogramma deb ataluvchi chizmalardan foydalanamiz. 
Chastotalar  poligoni  deb   
 
 
   
 
     
 
   
 
         
 
   
 
   nuqtalarni 
ketma-ket tutashtirishdan hosil qilingan siniq chiziqqa aytiladi, bu yerda 
 
 
  ‒  tanlanma  variantalari, 
 
 
  ‒  mos  chastotalar.  Chastotalar  poligonini 
yasash uchun abssissalar o„qiga 
 
 
 ‒ tanlanma variantalarini, ordinatalar 
o„qiga  esa  ularga  mos 
 
 
  chastotalarni  qo„yamiz.  So„ngra 
  
 
   
 
  
nuqtalarni ketma-ket tutashtirib kerakli chizmani hosil qilamiz.  
Nisbiy  chastotalar  poligoni  deb   
 
 
   
 
     
 
   
 
         
 
   
 
  
nuqtalarni  ketma-ket  tutashtirishdan  hosil  qilingan  siniq  chiziqqa  ayti-
ladi,  bu  yerda 
 
 
  ‒  tanlanma  variantalari, 
 
 
  ‒  mos  nisbiy  chastotalar. 
Nisbiy  chastotalar  poligonini  yasash  uchun  abssissalar  o„qiga 
 
 
  ‒  tan-
lanma  variantalarini,  ordinatalar  o„qiga  esa  ularga  mos 
 
 
  nisbiy  chas-
totalarni  qo„yamiz.  So„ngra 
  
 
   
 
   nuqtalarni  ketma-ket  tutashtirib, 
kerakli chizmani hosil qilamiz.  
 
*
)
( x
F
n
 
0 
 -1 
 -2 
 -3 
 -4 
0,35 
0,5 
0,75 
0,9 
1 
  1 
x
 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 
bo„lsa 

---

 
136 
Kuzatilayotgan  kattalikning  uzluksiz  taqsimlanishini  yaqqol  ko„r-
satish  uchun  gistogramma  deb  ataluvchi  diagrammalardan  foydala-
namiz.  Tanlanmaning  hajmi  kam  bo„lgan  poligondan,  kuzatishlar  soni 
katta  bo„lganda  yoki  kuzatilayotgan  kattalik  uzluksiz  bo„lganda  gistog-
ramma yasash maqsadga mavofiq bo„ladi.  
Chastota  gistogrammasi  deb,  asoslari 
   uzunlikdagi  oraliqlardan, 
balandliklari esa 
 
 
 
          
̅̅̅̅̅ qiymatdan iborat to„g„ri to„rtburchaklardan 
tuzilgan pog„onasimon shaklga aytiladi. Ta‟rifga ko„ra, qismiy to„rtbur-
chaklar va chastotalar gistogrammasining yuzi quyidagicha: 
 
 
     
 
 
 
   
 
 
‒  qismiy 
  -to„g„ri to„rtburchakning yuzi;  
    ∑    
 
 
 
  ∑  
 
   
 
   
 
   
 
‒ chastotalar gistogrammasining yuzi.  
Nisbiy  chastotalar  gistogrammasi  deb,  asoslari 
   uzunlikdagi 
oraliqlardan, balandliklari esa 
 
 
 
 
 
 
     
 
        
̅̅̅̅̅ 
qiymatdan  iborat  to„g„ri  to„rtburchaklardan  tuzilgan  pog„onasimon 
shaklga  aytiladi.  Ta‟rifga  ko„ra,  qismiy  to„rtburchaklar  va  nisbiy 
chastotalar gistogrammasining yuzi quyidagicha: 
 
 
     
 
 
 
   
 
  
‒  qismiy 
 -to„g„ri to„rtburchakning yuzi; 
    ∑    
 
 
 
  ∑  
 
  ∑
 
 
 
 
   
 
   
 
   
 
 
 
∑  
 
 
 
 
       
 
   
 
‒ nisbiy chastotalar gistogrammasining yuzi. 
1-misol. Quyidagi tanlanmalar berilgan: 2, 1, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 2, 
4, 4, 4, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 4. Tanlanma qiymati bo„yicha chastotalar va 
nisbiy chastotalar poligonini chizing.  
Yechish:    Berilgan  tanlanma  bo„yicha  variatsion  qatorni  tuzamiz: 
1,2,3,4.    Chastotalar  va  nisbiy  chastotalar  empirik  taqsimot  jadvalini 
tuzamiz:  
 
 
 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
5 
6 
4 
7 
 
 
 
 
 
 
 
0,23 
0,27 
0,18 
0,32 

---

 
137 
Bu yerda 
                       tanlanma hajmi. Topilgan qiymat-
lardan foydalanib, chastotalar va nisbiy chastotalar poligonini chizamiz: