1. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari. Funksional qator va uning yig’indisi

3-Ma’ruza:
Funksional ketma-ketlik va qatorlar. Funksional ketma-ketlik va qatorlarning tekis yaqinlashuvchiligi. Koshi kriteriyasi.
REJA
1. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari.
2. Funksional qator va uning yig’indisi.
3. Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuvchiligi.
4. Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligi.


1⁰. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari. Aytaylik, har bir natural songa to’plamda aniqlangan bitta funksiyani mos qo’yuvchi qoida berilgan bo’lsin. Bu qoidaga ko’ra
(1)
To’plam hosil bo’ladi. Uni funksional ketma-ketlik deyiladi. to’plam (1) funksional ketma-ketlikning aniqlanish to’plami deyiladi.
Odatda, (1) funksional ketma-ketlik, uning -hadi yordamida yoki kabi belgilanadi. Masalan,


Lar funksional ketma-ketliklar bo’ladi va ularning aniqlanish to’plami mos ravishda

Bo’ladi. Ravshanki, o’zgaruvchining biror tayinlangan qiymatida ushbu

Sonlar ketma-ketligiga ega bo’lamiz.
1-ta’rif. Agar sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo’lsa, funksional ketma-ketlik nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi. nuqta esa bu funksional ketma-ketlikning yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deyiladi.
2-ta’rif. funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish nuqtalarida iborat to’plam, funksional ketma-ketlikning yaqinlashish to’plami deyiladi.
Masalan, ushbu

Funksional ketma-ketlik aniqlashish to’plami bo’lib, u nuqtada yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi bo’ladi. Demak, ketma-ketlikning yaqinlashish to’plami bo’ladi.
faraz qilaylik, funksional ketma-ketlikning yaqinlashish to’plami bo’lsin. Ravshanki, bu holda har bir da

Ketma-ketlik yaqinlashuvchi, ya’ni

mavjud bo’ladi. Endi har bir ga ni mos qo’ysak, ushbu

Funksiya hosil bo’ladi. Bu funksiya funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi deyiladi:
.
Bu munosabat quyidagini anglatadi: ixtiyoriy son va har bir uchun shunday natural son topiladiki, ixtiyoriy da
,
Ya’ni

bo’ladi.
1-misol. Ushbu

Funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin.
◄ Berilgan funksional ketma-ketlik da aniqlangan. Uning limit funksiyasi

bo’ladi. Demak, funksional ketma-ketlik da yaqinlashuvchi va
.►