2. Mantiqiy masalalarni yechishning asosiy usullari

12. Qoldiqli bo‘lish, Fermaning kichik teoremasi, Vilson teoremasi.
Sonlarni bo‘lishda qoladigan qoldiq tushunchasi butun sonni natural songa bo‘lishdagi qoldiq sifatida ta’riflanadi.
Ta’rif: a butun sonni b natural songa bo‘lgandagi qoldiq deb
𝑎 = 𝑏𝑚 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 (1)
shartlarni qanoatlantiruvchi 𝑟 songa aytiladi, bu yerda 𝑚 −to‘liqsiz bo‘linma,
𝑟 −qoldiq (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑟 ∈ 𝑍).
15 = 7 ∙ 2 + 1 tenglikdan 15 ni 7 ga bo‘lganda qoldiq 1 ga teng.
−15 = 7 ∙ (−3) + 6 tenglikdan -15 ni 7 ga bo‘lganda qoldiq 6 ga teng.

• dagi tenglik qoldiqli bo‘lishni ifodalovchi tenglik deyiladi.

Ta’rif. mN , a,bZ sonlar berilgan bo‘lsin. Agar a va b sonlarni m soniga bo‘lganda qoldiqlar teng bo‘lsa, u holda a soni b soni bilan m modul bo‘yicha taqqoslanadi deyiladi va ushbu munosabat a  b (mod m) orqali belgilanadi.
Masalan: 11  5 (mod 2), 3  7 (mod 4).
Xossalar. a  b (mod m) munosabat quyidagi xossalarga ega:

• a  a (mod m)
• a  b (mod m)  b  a (mod m)
• a  b (mod m) va b  c (mod m)  a  c (mod m)
• m modul bo‘yicha taqqoslamalarni hadma-had qo‘shish va ko‘paytirish mumkin, ya’ni

a  b(mod m) a  c  b  d (mod m)
c  d (mod m)   ac  bd (mod m)
 

• Taqqoslamaning ixtiyoriy qismiga modulga karrali sonni qo‘shish mumkin:

a  b (mod m) va k,l Z  a+km  b (mod m) va a  b+lm (mod m)

• Taqqoslamaning ikkala qismini bir xil natural darajaga ko‘tarish mumkin:

a  b (mod m) va k N  ak  bk (mod m)

• Taqqoslamaning ikkala qismini bir xil butun songa ko‘paytirish mumkin:

a  b (mod m) va k Z  ak  bk (mod m)