2. Mantiqiy masalalarni yechishning asosiy usullari

13. Cheva va Menelay teoramalari. Ptolomey teoremasi.
Cheva teoremasi: ABC uchburchakning AB, BC va AC tomonlarida yoki ularning davomlarida mos ravishda C1 , A1 va B1 nuqtalar belgilangan deylik.
AA1, BB1 va CC1tog’ri chiziqlar bitta nuqtada kesishishi (yoki parallel bo‘lishi) uchun quyidagi munosabatning bajarilishi zarur va yetarli :
AC1 BA1 CB1
C1B A1C B1A
∙ ∙ = 1 (∗)
Isboti: E’tibor berish kerakki, teoremada ikkita o‘zaro teskari tasdiq bayon etilayapti (zaruriyligi va yetarliligi).
Zaruriyligi: AA1, BB1 va CC1 lar O nuqtada kesishsin deylik. (∗) munosabatning to‘g’riligini isbotlaymiz.
Dastlab O nuqtaning ichki nuqta bo‘lgan hol (C1 , A1 va B1 nuqtalar mos ravishda AB, BC va AC tomonlarda yotgan)ni ko‘ramiz (1- a rasm). B uchdan 𝑎 || 𝐴𝐶 bo‘lgan 𝑎 to‘gri chiziqni o‘tkazamiz (2-rasm).
AA1 ∩ a = M, CC1 ∩ a = N deylik.
∆AA1C~  MA1B
⇒ A B = BM
CA1 AC
1
(1),
∆AC1C~  BC1N ⇒ AC = AC
BC1 BN
1
(2),
∆AOB1~  MOB ⇒ BM = OB
∆B1OC~  BON ⇒ NB = OB
AB1 OB1
B1C OB1
(3),
(4),
(3) va (4) lardan
𝐴B1 B1C
BM = NB
tenglikni
yoki
𝐴B1 BM
= (5)
B C NB
1
tenglikni hosil qilamiz. (1), (2) va (5) larning chap va o‘ng tomonlarini ko‘paytirib (*) tenglikni hosil qilamiz:
AC1 BA1 CB1
C1B A1C B1A BM AC NB
∙ ∙ = ∙ ∙ = 1
AC BN BM
O nuqta tashqi nuqta bo‘lgan hol ham shunga o‘xshash isbotlanadi. Zaruriyligi isbotlandi.
1) AA1, BB1 va CC1 to‘gri chiziqlarning parallel bo‘lgan hol uchun isbotlaymiz (3- rasm).
Uchburchaklarning o‘xshashligidan
∆CAA1~  CB1B ⇒ BB
AA1 AC A1C
1
= B C = BC
1
(1),
(2),
(3)
∆BB1A~  C1CA ⇒ CC
BB1
1
= =
AC AC
AB1 AB
1
∆C1BC~  ABA1 ⇒ AA =
C1C C1B AB
1
=
BC
A B
1
larni topamiz, bulardan
AA1
BB1 B1C
= ,
AC
BB1 AB1
CC1 AC
=
,
C1C BC
AA1 A1B
=
tengliklarni ko’paytirib
1 = B C ∙ BA
AB1 ∙ BC
1
1
⇒ BC =
B1C ∙ BA1
B A
1
(4)
ni hosil qilamiz.
Ushbu
AA1 A1C
BB1 BC CC1 AC1
= , =
BB1
AB
va
C1C C1B
AA1 AB
= tengliklarni ko‘paytirib quyidagini
hosil qilamiz
1 =
𝐴1𝐶 ∙ 𝐶1𝐵
𝐵𝐶 ∙ 𝐴𝐶1
⇒ BC =
𝐴1𝐶 ∙ 𝐶1𝐵
𝐴𝐶1
(5).
(4) va (5) lardan
B1C∙BA1
B1A
=
𝐴1𝐶∙𝐶1𝐵
𝐴𝐶1
tenglikni va undan
AC1 BA1 CB1
C1B A1C B1A
∙ ∙ = 1
tenglikni hosil qilamiz.
Yetarliligi: A1, B1 va C1 nuqtalar uchun (*) munosabat o‘rinli bo‘lsin.
AA1, BB1 va CC1 to‘gri chiziqlar bitta nuqtada kesishishini isbotlaymiz. AA1 ∩ BB1 = O, 𝐶𝑂 ∩ 𝐴𝐵 = 𝐶2 bo‘lsin, u holda 𝐴1, 𝐵1, 𝐶2 nuqtalar uchun Cheva teoremasi (zaruriyligi)ga ko’ra quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:
AC2 BA1 CB1
C2B A1C B1A
Bu tenglikni (*) bilan solishtirib ushbu
∙ ∙ = 1
AC2 AC1
C2B C1B
tenglikni hosil qilamiz. Bu esa, shuni anglatadiki, C1va 𝐶2 nuqtalar AB kesmani (O ichki nuqta bo‘lgan holda) bir xil nisbatda bo‘ladi, demak C1 nuqta 𝐶2 bilan ustma-ust tushadi. O nuqta tashqi bo‘lganda ham shu kabi xulosa qilinadi. Agar (*) munosabat bajarilsa va 𝐴𝐴1||𝐶𝐶1 bo‘lsa, u holda B uchdan 𝑏||𝐴𝐴1 bo‘lgan b to‘gri chiziq o‘tkazamiz va uni 𝐴𝐶 to’g’ri chiziq bilan kesishish nuqtasini 𝐵2deb belgilaymiz(4- rasm).
=
Uchta parallel 𝐴𝐴1, 𝑏, 𝐶𝐶1 to‘gri chiziqlar uchun isbotlangan Cheva teoremasiga ko‘ra
AC1 BA1 CB2
C1B A1C B2A
∙ ∙ = 1
tenglik bajariladi, uni (*) bilan solishtirib quyidagini topamiz:
CB2 CB1
B2A B1A
Agar 𝐵1 va 𝐵2 nuqtalar 𝐴𝐶 kesmaga tegishli bo‘lsa,u holda uni bir xil nisbatda bo‘ladi va demak ustma-ust tushadi. Agar 𝐵1 va 𝐵2 nuqtalar 𝐴𝐶 kesmaga tegishli bo‘lmasa,u holda ular 𝐴1nuqtaning AC kesmada, yoki 𝐶1 nuqtaning AB kesmada yotishiga bog‘liq holda A va C nuqtalardan bir tomonda yotadi va nisbatlar tengligidan 𝐵1 va 𝐵2 nuqtalarning ustma-ust tushishi kelib chiqadi. Demak AA1||BB1||CC1.
Teorema isbotlandi.
Menelay teoremasi
 ABC ning AB, BC tomonlarida va AC tomon davomida (yoki AB, BC va AC tomonlar davomida) mos ravishda  ABC uchlari bilan ustma-ust tushmaydigan C ,
=
1
A va B nuqtalar olingan. A , B , C nuqtalarning bir to‘gri chiziqda yotishi uchun
1 1 1 1 1
quyidagi munosabatning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli:
AC1 . BA1 . CB1 =1
C1 B A1C B1 A