Ferma1 teoremasi. p tub son uchun а p а(mod р) taqqoslama o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. a bo‘yicha induksiyani qo‘llaymiz. a 1 da natija ravshan. Faraz qilamiz, p | ap a . U holda N’yuton binomi formulasiga ko‘ra
p1
k 1
(a 1) p (a 1) (ap a) Ckak .
p p | Ck ,
k 1,2,..., p 1 , munosabatdan (tekshiring) va induksiya faraziga ko‘ra
p p | (a 1) p (a 1) . Demak, (a 1) p (a 1)(mod p) . #
Vilson2 teoremasi. p son tub bo‘lsa, (𝑝 − 1)! ≡ 1(mod p) bo‘ladi.
Isboti. {2,3,...., p – 2} sonlar to‘plamini qaraymiz. Oldingi masalaga ko‘ra bu to‘plamdagi ixtiyoriy a son uchun ab 1(mod p) taqqoslamani qanoatlantiradigan va shu to‘plamga tegishli bo‘lgan a dan farqli yagona b son topiladi. {2,3,...., p – 2} to‘plamdagi barcha sonlarni juft-jufti bilan ko‘paytirib chiqsak,
1 2 3... ( p 2) 1(mod p)
ni hosil qilamiz. Bundan
( p 1)! ( p 2)!( p 1) ( p 1) 1(mod p)
kelib chiqadi. #
Eyler teoremasi: Agar (a, m)=1 bo‘lsa, u holda а (m) 1(mod m) .
Izoh. ( p) p 1 bo‘lgani bois Ferma teoremasi Eyler teoremasidan
bevosita kelib chiqadi.
1-masala. p tub son uchun (a b) p (ap bp )(mod p)
bo‘lishini isbotlang.
taqqoslama o‘inli
Isboti. Ferma teoremasiga ko‘ra
а аp (mod р), b bp (mod р) , (a b) p a b (ap bp )(mod p) .#
2-masala.Ma’lumki, a butun son uchun a10 + 1 son 10 ga bo‘linadi. a ni toping.
Yechish: Ravshanki (a, 10) = 1 , aks holda a10 + 1 va 10 sonlar o‘zaro tub bo‘ladi.
𝜑(10) = 4 bo‘lgani bois, Eyler teoremasiga ko‘ra a10 + 1 0(mod 10)
1 Ferma P’er ( 1601-1655 y.y.) – fransiyalik advokat va matematik. Analitik geometriyaning asoschisi.
2 John Vilson (1741–1793) – ingliz matematigi.
taqqoslama a2 + 1
0(mod 10) taqqoslamaga tengkuchli. Bundan a ±3(mod 10)
yechimni topamiz. Javob. a ±3(mod 10). #
