1.1-teorema. sohada (1.1) tenglama uchun qo‘yilgan Dirixle masalasining yechimi mavjud bo‘lsa, u yagonadir.
Isboti.Faraz qilaylik, qo‘yilgan masala ikkita va yechimlarga ega bo‘lsin, u holda berilgan tenglama va chegaraviy shartlar chiziqli bo‘lgani uchun funksiya (1.1) tenglamani va bir jinsli
(1.6)
shartlarni qanoatlantiradi. Ekstremum prinsipiga ko‘ra, sohada uzluksiz funksiya o‘zining ekstremumlarini faqat da qabul qiladi, ya’ni
.
Bundan esa . 1.1-teorema isbot bo‘ldi.
1.2- . Shakli o’zgargan Xolmgren masalasining qo’yilishi va yechimning yagonaligi Shakli o‘zgargan Xolmgren masalasi. sohada (1.1) tenglamaning ushbu
, , (1.7)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin, bu yerda funksiya da uzluksiz, funksiya esa intervalda uzluksiz bo‘lib, bu intervalning chegaraviy nuqtalarida dan kichik tartibda cheksizlikka intilishi mumkin.
1.1-lemma. Agar sohada funksiya:
shartlarni qanoatlantirsa va sohada o‘zining eng katta musbat (eng kichik manfiy) qiymatini nuqtada qabul qilsa,
ning chiziqdagi qiymati qiymatdan kichik (katta) bo‘lsa, u holda
(1.8)
tengsizlik, (bu limitni mavjud bo‘lishi sharti bilan) o‘rinlidir.
Isboti. Musbat maksimum holini o‘rganib chiqamiz. Bevosita hosila ta’rifidan,
tengsizlikning bajarilishi mumkin emas. Faraz qilaylik,
(1.9)
bo‘lsin. orqali sohaning diametrini belgilaymiz. Umumiylikni buzmasdan, deb olishimiz mumkin. Lemma shartiga ko‘ra, bu yerda . Ushbu
,
funksiyani kiritamiz, bu yerda
chiziqda
kesmada esa
, .
Ushbu
(1.10)
tenglikning to‘g‘riligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, bu yerda (1.4) tenglik bilan aniqlanuvchi operator. Lemma shartiga ko‘ra, (1.10) tenglikdan tengsizlik kelib chiqadi. Bundan tashqari, (1.9) tenglikka ko‘ra,
.
Bundan esa nuqtaning shunday kichik atrofi borki , bu atrofda ya’ni funksiya bu atrofda chizig‘ida o‘suvchi bo‘ladi va o‘zining eng katta qiymatini soha ichida qabul qiladi, buning esa (1.11) tengsizlikka ko‘ra bo‘lishi mumkin emas. Yuqoridagi mulohazalarni takrorlab, manfiy minimum holini ham o‘rganish mumkin. 1.1-lemma isbot bo‘ldi.
1.2-teorema. Shakli o‘zgargan Xolmgren masalasi (1.7) shartlarga mos bir jinsli shartlarda faqat aynan nolga teng bo‘lgan yechimga ega.
Isboti. (1.1) tenglama uchun ekstremum prinsipi va 1.1-lemmaga ko‘ra, shakli o‘zgargan bir jinsli Xolmgren masalasining yechimi o‘zining ekstremumlarini da qabul qiladi, ya’ni
.
Bu yerdan
.
1.2-teorema isbot bo‘ldi.
