Mavzuning dolzarbligi

I-BOB. ELLIPTIK TIPDAGI TENGLAMALARNING BIR SINFI UCHUN DIRIXLE VA SHAKLI O’ZGARGAN XOLMGREN MASALALARI


1.1-§. Dirixle masalasining qo‘yilishi va yechimning yagonaligi.
kompleks tekisligining yuqori yarim tekisligida
, (1.1)
tenglamani o‘rganamiz, bu yerda - o‘zgarmas sonlar bo‘lib, , shartlarni qanoatlantiradi.
– chekli bir bog‘lamli soha bo‘lib, uchlari va , nuqtalarda bo‘lgan va yarim tekislikda yotuvchi silliq Jordan chizig‘i bu yerda parametr yoy uzunligi, hamda o‘qining kesmasi bilan chegaralangan bo‘lsin. (1.1) tenglama uchun sohada Dirixle va shakli o‘zgargan Xolmgren[22] masalalarini o‘rganamiz.
Dirixle masalasi. sohada (1.1) tenglamaning ushbu
, , (1.2)
shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin, bu yerda - chiziqning yoyi uzunligi, –butun chiziq yoyi uzunligi: va –berilgan uzluksiz funksiyalar, shu bilan birga o‘qining intervali.
Ekstremum prinsipi: sohada (1.1) tenglamaning regulyar
yechimi hech bir nuqtada o‘zining musbat maksimumiga va manfiy minimumiga erishmaydi.
Isboti. Ushbu
(1.3)
funksiyani qaraymiz, bu yerda

bu soha diametri, . Bevosita hisoblashlar yordamida

tenglikni to‘g‘riligiga ishonch hosil qilish qiyin emas, bu yerda
(1.4)


(1.5)
(1.5) tengsizlikka asosan, (1.4) tenglama yechimi soha ichidagi hech bir nuqtada o‘zining musbat maksimumiga erishmaydi. Haqiqatdan ham, teskarisini faraz qilaylik, nuqtada funksiya o‘zining musbat maksimumiga erishsin, u holda bu nuqtada

bo‘lgani uchun, (1.4) dan . Bu esa tenglikka ziddir. Aynan shu mulohazalarni takrorlab, funksiya sohaning hech bir ichki nuqtasida o‘zining manfiy minimumiga erishmasligini ko‘rsatish mumkin.
Shunday qilib, (1.3) ga asosan, (1.1) tenglamaning regulyar yechimi o‘zining musbat maksimumi va manfiy minimumini sohaning ichki nuqtalarida qabul qilmaydi.