Mavzuning dolzarbligi

1.3- . Tenglamaning fundamental yechimlari
(1.1) tenglamaning yechimini
(1.12)
ko‘rinishda izlaymiz, bu yerda
,
,
-noma’lum funksiya (1.12) ni (1.1) tenglamaga qo‘yib va ga nisbatan ba’zi bir hisoblashlarni bajarib, ushbu

Gauss tenglamasiga kelamiz.
Bu tenglama nuqta atrofida quyidagi ikkita chiziqli erkli yechimga ega:
(1.13)
(1.13) ni (1.12) tenglikka qo‘yib, ushbu:


(1.14)
yechimlarga kelamiz, bu yerda
(1.15)

I bob yuzasidan xulosa.
Ushbu bobda kompleks tekisligining yuqori yarim tekisligida
,
tenglama o‘rganilgan, bu yerda - o‘zgarmas sonlar bo‘lib, , shartlarni qanoatlantiradi.
– chekli bir bog‘lamli soha bo‘lib, uchlari va , nuqtalarda bo‘lgan va yarim tekislikda yotuvchi silliq Jordan chizig‘i , bu yerda parametr AB yoy uzunligi, hamda o‘qining kesmasi bilan chegaralangan bo‘lsin. Yuqoridagi tenglama uchun sohada Dirixle va shakli o‘zgargan Xolmgren masalalarini o‘rganilgan. Qo’yilgan masala yechimi yagonaligi ekstremum prinsipi yordamida isbotlangan. Xolmgren masalasi yechimini isbotlashda asosiy lemma keltirilgan va u isbotlangan. Masala yechimi yagonaligi isbotlangan.


II-BOB. ARALASH SOHA XARAKTERISTIKASIDA LOKAL VA NOLOKAL SHARTLI MASALALAR.
2.1-§. Aralash tipdagi tenglama uchun shakli o’zgargan Koshi masalasi.
Buziluvchan giperbolik va aralash tipdagi tenglamalar nazariyasining rivojlanish tarixi G. Darbu[19], F. Trikomi YE. Xolmgren[22] va S.Gellerstedtlarning [20,21] mos ravishda 1894, 1923, 1927 va 1935 yillarda chop etilgan fundamental ishlari bilan bog‘liq.
Aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar bo‘yicha dastlabki fundamental tadqiqotlar 1920 yili italyan matematigi Franchesko Trikomi tomonidan olib borilgan. Bu ishdan keyin aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar nazariyasi asosan uchta yo‘nalish bo‘yicha rivojlana boshladi: birinchi yo‘nalish - Trikomi masalasini umumiyroq aralash tipdagi tenglamalar uchun o‘rganish bo‘lib, ularga S. Gellerstedt; A.V.Bitsadze; K.I.Babenko; L. I. Karol; S.P. Pulkin va boshqalarning ishlari bag‘ishlangan; ikkinchi yo‘nalish - Trikomi masalasining har xil modifikatsiyalariga bag‘ishlangan; uchinchi yo‘nalish esa aralash tipdagi tenglamalar uchun spektral masalalarni tadqiq etishdan iborat.
Aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarning rivojlanishida shved matematigi Sven Gellerstedt tomonidan ishlab chiqilgan potensiallar nazariyasi muhim o‘rin egallaydi. S. Gellerstedt yaratgan usul yordamida buziluvchan elliptik tipdagi tenglama uchun Dirixle va Xolmgren masalalarining yechimini qulay integral shaklda yozish mumkin va aralash tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalani tadqiq etish juda qulay bo‘ladi. Shuningdek aralash tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar nazariyasining rivojlanishiga A.V.Bitsadzening ekstremum prinsipi katta turtki bergan. Bu prinsip masala yechimining yagonaligini isbotlashda juda keng qo‘llaniladi. Aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar nazariyasining rivojlanishida muhim o‘rin tutuvchi yana bir natijalardan biri bu S.G. Mixlin[12] tomonidan ishlab chiqilgan Karlemanning Trikomi singulyar integral tenglamasini regulyarlashtirish usuli hisoblanadi va bu usul F.Trikomi integral tenglamasini yechishda qo‘llanilgan.
Quyidagi singulyar koeffitsiyentli buziluvchan giperbolik tipdagi tenglamani kompleks yarim tekislikda o‘rganamiz
, (2.1)
bu yerda , va - haqiqiy sonlar hamda ular ushbu
, ,
shartlarni qanoatlantiradi soha komplekis tekislikning bir bog‘lamli sohasi bo‘lib, u (2.1) tenglamaning
,

xarakteristikalari hamda o‘qining kesmasi bilan chegaralangan bir bog‘lamli sohasi bo‘lsin.
(2.1) tenglama shu narsa bilan e’tiborliki birinchidan bu tenglamaning kichik hadlari oldidagi koeffitsiyentlari singulyar maxsuslikka ega, ikkinchidan bu yerda
(2.2)
buziluvchan umumiy giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasini normal yechilishining
, (2.3)
Protter sharti buziladi, bu yerda , , , da. (2.3) shart bajarilmasligiga qaramasdan, agar , bo‘lsa (2.1) tenglama uchun Koshi masalasi korrekt qo‘yilgan.
Bundan (2.1) tenglama uchun Koshi masalasini normal yechilishida (2.3) shart zaruriy shart emasligi kelib chiqadi. Endi (2.1) tenglamada , bo‘lsin:
, (2.4)
(2.4) tenglama uchun Darbu masalasini ta’riflaymiz.
Darbuning ikkinchi masalasi: sohada (2.4) tenglamaning ushbu
, : , , (2.5)
shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin, bu yerda , , - o‘qining intervali.