Mavzuning dolzarbligi

2.1-teorema. Darbuning ikkinchi masalasiga mos bir jinsli masala cheksiz ko‘p chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechimlarga ega, bir jinsli bo‘lmagan masala esa faqat va faqat,
, ,
shart bo‘lgandagina yechimga ega bo‘ladi, bu yerda .
Bir jinsli Darbuning ikkinchi masalasining barcha notrivial yechimlar
,
formula bilan beriladi, bu yerda sinfdagi ixtiyoriy funksiya. Endi (2.4) tenglama uchun (2.5) Darbu shartlarini ushbu
, ; , (2.6)
shaklda beramiz.
2.2-teorema. (2.4), (2.6) masala yagona yechimga ega.
2.1-teorema va 2.2-teoremalardan ushbu xulosa kelib chiqadi: qat’iy giperbolik tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasining korrektligidan Darbu masalasining korrektligi kelib chiqadi, buziluvchan giperbolik tenglamalarda esa umuman olganda Koshi masalasi korrektligidan Darbu masalasining korrektligi kelib chiqmaydi. Buning ustiga (2.4) buziluvchan giperbolik tenglama uchun umuman olganda xarakteristikalar, chegaraviy shartlarning ularda qo‘yilishi ma’nosida teng huquqli emas.
(2.1) tenglamada bo‘lsin:
(2.7)
bu tenglama juda ko‘p matematiklar tomonidan o‘rganilgan. Umuman olganda, (2.7) tenglama uchun oddiy Koshi masalasi korrekt bo‘lmasligi mumkin. A. V. Bitsadze (2.7) tenglama uchun boshlang‘ich shartlari bir jinsli bo‘lgan:
, ; , ;
Koshi masalasi bo‘lganda Ushbu


,
ko‘rinishdagi notrival yechimlarga ega ekanligini ko‘rsatgan, bu yerda ikki marta uzluksiz hosilaga ega bo‘lgan ixtiyoriy funksiya. Shu holatdan kelib chiqib
A. V. Bitsadze boshlang‘ich shartlari
, ; , , (2.8)
ko‘rinishda bo‘lgan shakli o‘zgargan Koshi masalasini o‘rgangan va uni korrekt ekanligini ko‘rsatgan, bu yerda .
Agar bo‘lsa, (2.7) tenglamaning yechimlari buzilish chizig‘i atrofida chegaralangan bo‘lmaydi. Haqiqatdan ham ushbu

xususiy yechimlar yuqoridagi fikrimizni tasdiqlaydi.
bo‘lganda Koshi masalasi korrekt bo‘lishi uchun boshlang‘ich shartlar
;
ko‘rinishda bo‘lishi kerak; bo‘lganda esa Koshi masalasi korrekt bo‘lishi uchun boshlang‘ich shartlar
,
,
ko‘rinishda bo‘lishi kerak, bu yerda aniq ko‘rinishga ega bo‘lgan maxsus kiritilgan funksiya.
Shunday qilib, (2.1) tenglama yechiminning tuzilishi va differensial xossalari uning kichik hadlari oldidagi koeffitsiyentlar va ga bog‘liqdir. (2.1) tenglama uchun masalalar va parametrik tekislikda nuqtaning o‘zgarishiga qarab qo‘yiladi.
yarim tekislikda
(2.9)
tenglamani o‘rganamiz.
(2.9) tenglama shu bilan xarakterliki uning uchun oddiy N masalasi korrekt emas. Haqiqatdan ham - yuqori yarim tekislikda yotuvchi va uchlar , nuqtada bo‘lgan (2.9) tenglamaning normal chizig‘i chizig‘i hamda o‘qining kesmasi bilan chegaralangan bir bog‘lamli bo‘lsin. Ushbu masalani ta’riflaymiz.