Sharof rashidov nomidagi samarqand davlat universiteti

misol.

 7  8 ¹⁰ 2
ekanini isbotlang

Yechish. a  ¹⁰ 2,  a² . Demak, a²  7  8a,
a²  8a  7  0 tengsizlikka

kelamiz. Bu tenglama 1, 6, 7 ildizlarga ega,
а 1;7
bo‘lish kerak, haqiqatdan,

а  ¹⁰ 2
 1;7 ,
Shuning uchun
а²  8а  7  0
tengsizligi bajariladi.

2. 
   misol. Ixtiyoriy ketma-ket natural son ko‘paytmasi 25 ga bo‘linganda 1 qoldiq bo‘lmasligini isbotlang
   

Isbot.

nn  1  25k  1
n²  n  25k 1  0
D  1  425k 1  5(20k 1)

20k+1 ko‘rinishdagi sonlar 5 ga bo‘linadi 1 qoldiqni beradi. D 5ga bo‘linadi, 25 ga bo‘linmaydi. D- to‘liq kvadrat bo‘lolmaydi. Demak, tenglama butun sonlarda yechimga ega bo‘lmaydi.

3. 
   misol. Qanday a,b,c larda
   

^ах²  bх  с  0


_вх²
 _2
сх

• 
  сх  а  0
  
• 
  ах  в  0
  

sistema yechimga ega?

Yechish.Tenglamalarni qo‘shib
а  в  сx²  а  в  сх  а  в  с  0

ga ega bo‘lamiz. Bundan
(а  в  с)(x²  х 1)  0,
agar
а  в  с  0
bo‘lsa tenglama

yechimi yo‘q. Demak, tenglama yechimi bo‘lishi uchun a+v+s=0 bo‘lishi kerak.

Agar
а  в  с  0
bo‘lsa, sistema
^{x  1} yechimga ega bo‘ladi.

4. 
   misol. Agar
   

a(а  в  с)  0
bo‘lsa, b²  4ac ekanligini isbotlang.

Isbot.

^{a  0} .
f (x)  ax²  bx  c
funksiya uchun
а  в  с 
f (1),
af (1)  0

Masala shartiga ko‘ra a(а  в  с)  0 , ikki hol mavjud:

1) ^{a  0}
2) a  0,
f (1)  0 , parabola OX o‘qi ikki nuqtada kesib o‘tadi;
f (1)  0 , parabola OX o‘qini ikki nuqtada kesib o‘tadi. Demak, ^{D  0}

, ya’ni
b²  4ac  0
yoki b²  4ac .

3. Kvadrat tenglamalar ildizlarini tekshirishga doir parametrga bog‘liq masalalarni yechish fikrlash, matematik tahlil va usullarni o‘rganishga yordam beradi.

5. 
   misol. Har qanday a uchun
   

(a³  2a²  7a)x²  (a³  4a²  9a  6)x  5a²  9  0
tenglama hech bo‘lmaganda bitta yechimga egaligini isbotlang.

Isbot.

y(0)  5a²  4,
y(1)  a²  2a  2. Har qanday ^a uchun

y(0)  0, y(1)  0 bundan har qanday ^a uchun (0,1) da ildizga ega.

6. misol.

x₁ va x₂
x²  ax  b  0
tenglamaning ildizlari bo‘lsa va
^{b  0} bo‘lsa,

bx²  a(b  1)x  (b 1)²  a²  0tenglama ildizlarini toping.
Yechish. Viet teoremasiga asosan x₁  x₂  a, x₁  x₂  b . U holda tenglama
x₁x₂ x²  (x₁  x₂ )(x₁x₂ 1)x  (x₁x₂ 1)²  (x₁  x₂ )²  0 ko‘rinishga keladi.

Diskriminant
D  (x₁  x₂ )²(x₁x₂ 1)² . Demak, uning ildizlari

^ (x  ¹ );(x  ¹ ) ^.


_

2

1 _x
 ^x1 2

7. misol.

a²x²  ax  1  7a²  0
tenglamaning ildizlari butun bo‘ladigan barcha

^{a  0} larni toping.
Yechish. D  a²  4a²(1  7a²)  a²(28a²  3)  0 . Viet teoremasidan

x


_{ 1}  x₂

_ 1
a
1  7a² 1



a
^x₁x₂  ₂
 7 
_a2

x₁ va
x₂ - butun sonlar,
¹ -butun son,
a
a  ¹ ,
n
n  N(a  0)^{. Bundan}

²⁸  3,
_n2
n²  ²⁸ ,
3
n²  9,
n  3,
^{n  1,2,3} . Demak, a ning qiymatlari 1, ½ ,1/3.

8. misol.

x²  ax  b  1  0
tenglama ildizlari natural sonlar.
a²  b²
- mrukkab

son ekanini isbotlang.
Isbot. Viet teoremasiga ko‘ra x₁  x₂  a,
x₁  x₂  b  1

a²  b²  (x  x )²  (x x 1)²  (x ² 1)(x² 1)
1 2 1 2 1 2
Demak, u murakkab son.

Har bir tipdagi bir nechta masalalar yechishda bu shartlardan foydalanishga misollar keltiramiz.

1. 
   masala. a parametrning qanday qiymatlarida ax² + (2a - 1)x + a - 1 = 0
   

tenglamaning ildizlari 1 dan kichik?
Yechish. x² oldida musbat koeffitsient bo‘lishiga ishonch hosil qilish uchun tenglamani parametrga ko‘paytiramiz.
a²x² + (2a - 1)ax + a(a - 1) = 0 Quyidagi shartlar bajarilishi lozim:
f (1) > 0 birinchi shartni qaraymiz:
a² + (2a - 1)a + a(a - 1) > 0
4a² - 2a > 0
2a(2a - 1)> 0
Bu tengsizlik yechimlari a (- ; 0) (0.5; + ) dan iborat. Uchining absissasi 1 dan kichik bo‘lishi lozim:
Bu esa

ga teng kuchli. a (- ; 0) (0.25; + ) ni olamiz Berilgan tenglama diskriminatini topamiz
D = (2a - 1)²a² - 4(a - 1)a³
D 0
4a⁴ - 4a³ + a² - 4a⁴ + 4a³ 0
a² 0, bundan a R ekanligi kelib chiqadi. Uchta olingan oraliqdan umumiy yechimni topamiz.
Javob: pri a (- ; 0) (0.5; + ) dar tenglama ildizlari 1 dan katta.

2. 
   masala. a parametrning qanday qiymatlarida x² + ax + 1 - a² = 0 tenglamaning ildizlari (-1; 1) oraliqqa tegishli bo‘ladi?
   

Masalani yechish uchun quyidagi sistemani tuzamiz:
Agar f (-1) > 0 bo‘lsa, u holda 1 - a + 1 - a² > 0
a² + a - 2 < 0, a (-2; 1)
Agar f (1) < 0 bo‘lsa, u holda 1 + a + 1 - a² < 0
a² - a - 2 < 0; a (-1; 2)
Diskriminant
shartda nomanfiy bo‘ladi
5a² 4; a² 0.4; a - ; - ; +
Oxirgi shart: uchi modul bo‘yicha 1 dan kichik




a (-2; 2)
Quyidagi sistemani olamiz:
Javob: a -1; - ; 2 da tenglamaning ildizlari (-1; 1) oraliqqa tegishli bo‘ladi.

3. 
   masala. a parametrning qanday qiymatlarida (a - 1)x² - (a + 1)x + a = 0 tenglamaning barcha ildizlari 0 < x < 3.shartni qanoatlantiradi?
   

Yechish.a = 1 - a parametrning nazorat qiymati. Agar a = 1 bo‘lsa, u holda
-2x + 1 = 0; x = 0,5.
Bu ildiz 0 < x < 3 shartni qanoatlantiradi, demak, yechim bo‘ladi. agar a 1 bo‘lsa, u holda (a - 1)ga ko‘paytirishimiz mumkin.
Tenglama (a - 1)²x² - (a - 1)²x + a(a - 1) = 0 ko‘rinishni oladi.
f (x) = (a - 1)²x² - (a - 1)²x + a(a - 1) funksiyani kiritamiz va topshiriqni quyidagicha qayta bayon etamiz: a parametrning qanday qiymatlarida funksiya nollari (0;3) oraliqqa tegishli bo‘ladi?
Bu shart uchun sistema tuzamiz va parabolaning sxematik ko‘rinishini yasaymiz
f(0) > 0; f(0) = a(a - 1); a(a - 1) > 0;a (- ; 0) (1; + )
f(3) > 0; f(3) = 9(a - 1)² - 3(a² - 1) + a(a - 1) = 7(a - 1)(a - ) (a - 1)(a - ) > 0; a (- ; 1) ; +
D 0; D = (a² - 1)² - 4(a - 1)^{3 ;} (a² - 1)² - 4(a - 1)³ 0
Barcha almashtirishlardan so‘ng:(a - 1)²(3a² - 6a - 1) 0 Tengsizlik o‘ng tomonini ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
-3a² + 6a + 1 = 0; D = 36 + 12 = 48


a_1,2 = ; 3(a - 1) a - a - 0


a ; 0 < x₀ < 3

x₀ =

Berilgan tengsizlikdan:
sistemani olamiz.
Olingan yechimlarni birlashtirib quyidagi sistemani tuzamiz:
Javobda sistemaning yechimi yoziladi.
Javob: a {1} ; da tenglamaning barcha yechimlari 0 < x < 3 tengsizlikni qanoatlantiradi.

4. 
   masala. p parametrning qanday qiymatlarida x² + 2(p + 1) + 9p - 5 tenglamaning ikkala ildizi manfiy bo‘ladi?
   

1. 
   usul. x₁ va x₂ –berilgan uchhadning ildizlari bo‘lsin. U holda Viet teoremasiga asosan:
   

Diskriminantni topamiz:
x₁ ^. x₂ = 9p - 5 x₁ + x₂ = -2(p + 1)

D = 4(p² - 7p + 6)

Shartga ko‘ra ildizlar mavjud va har xil bo‘lgani D > 0. Ikkala ildiz manfiy bo‘lgani uchun sistema tuzamiz:
p ; 1 (6; + ) da ikkala ildiz manfiy bo‘ladi.

2. 
   usul. f(x) = x² + 2(p + 1)x + 9p – 5 funksiyani qaraymiz. funksiyaning grafigi yuqoriga yo‘nalgan parabola va manfiy nollarga ega funksiya.
   

Sistemani tuzamiz:
Javob: p ; 1 (6; + ) da ikkala ildiz manfiy.

5. 
   masala. a parametrning qanday qiymatlarida 2ax² -2x -3a - 2 = 0 tenglamaning bitta ildizi 1 dan katta, ikkinchisi 1 dan kichik bo‘ladi?
   

Shartga ko‘ra tenglama ikkita ildizga ega bo‘lishi lozim, ya’ni tenglama kvadrat tenglama bo‘lishi lozim, ya’ni a = 0 – nazorat qiymat
agar a = 0 bo‘lsa, u holda x = -1 topshriqni qanoatlantirmaydi agar a 0 bo‘lsa, u holda ikkala tomonini 2a ga bo‘lamiz:

D > 0; 6a² + 4a +1 > 0
Bu tengsizlikni echib a – noldan tashqari ixtiyoriy son.

Bu sistemaning yechimi a (- ; -4) (0; + ) oraliqdan iborat
Javob: a (- ; -4) (0; + ) da tenglamaning bitta ildizi 1 dan katta, ikkinchisi 1 dan kichik bo‘ladi

5. 
   masala. a parametrning qanday qiymatlarida ax² -2(a - 1)x + 2 - 3a = 0 tenglamaning ikkala ildizi 1 dan katta bo‘ladi?
   

Yechish.a = 0 – nazorat qiymat
agar a = 0 bo‘lsa, u holda tenglama bitta ildizga ega,
agar a 0 bo‘lsa, u holda tenglamaning ikkala tomonini a ga bo‘lamiz:


Noldan tashqari ixtiyoriy a da

Javob: a parametrning tenglamaning ikkala ildizi 1 dan katta bo‘ladigan
qiymatlari mavjud emas,

5. 
   masala. a parametrning qanday qiymatlarida(a -1)x² -2ax + 2 - 3a = 0 tenglamaning x > 1tengsizlikni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud bo‘ladi
   

Yechish. Bosh koeffitsient a = 1da nolga aylanadi
a = 1 - parametrning nazorat qiymati
agar a = 1 bo‘lsa, u holda -2x + 2 - 3 = 0 x = -0.5
Tenglama yagona yechimga ega, lekin topshiriq shartni qanoatlantirmaydi. agar a 1 bo‘lsa, u holda (a - 1)ga bo‘lamiz:

funksiyani qaraymiz.


0
shartlar bajarilishi lozim, bunda a = 1dan tashqari ixtiyoriy son. sistema o‘rinli bo‘lishi lozim:
Xulosa
Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklarni yechish o’zining qo’llanilish jihatidan no’malum o’zgaruvchiga nisbatan ko’proq imkoniyatga ega.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi:
1 Tenglamani shunda soddalashtirish kerakki u Ax= B ko’rinishga ega bo’lsin.

2. 
   Tenglama koeffisiyentini nolga tengligini tekshiriщ (agar u parametrni o’z ichiga olsa) (A = 0, A ≠ 0).
   
3. 
   Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini tekshirish (tenglama yagona yechimga, cheksiz ko’p yechimga ega, ildizlarga ega emas).