T texniki kolleci

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
5 
4 
6 

---

21 
 
 
 
 
Mövzu 7. Natural ədəd anlayışının yaranması. MOTƏ çoxluğunun 
aksiomatik qurulması. Peano aksiomları. 
Plan 
1. Natural 
ədəd anlayışının yaranması. 
2. 
Aksiomatik sistem nədir? 
3.
Peano aksiomları. 
Ədəd haqqında təlim müasir riyaziyyatın ən mühüm bölmələrindən biridir. 
Ədədlər arasındakı münasibətləri və hesab əməlləri xassələrini öyrənmək üçün təkcə 
konkret ədədlərdən deyil, hərdən simvolikalardan da istifadə olunur. 
Riyaziyyatda kəmiyyətlər və onların ölçülməsi mühüm yer tutur. İnsanlar həyatda, 
əmək fəaliyyətində həmişə sayına, hesablama və ölçmə ilə məşğul olmuşlar. Saymanın, 
ölçmənin və hesablamanın nəticəsi ədədlə ifadə olunur. Əlbəttə, insanlar ədəd 
anlayışına gəlib çatana qədər çox uzun yol keçmişlər. Sayma vasitəsi olaraq iki əl, iki 
ayaq, əl barmaqları, ayaq barmaqları, dörd barmaqda olan oynaqların sayı və s. istifadə 
etmişlər. Sayma prosesi mürəkkəbləşdikcə əl və ayaq barmaqları insanların tələbatı 
ödənmirdi. Ona görə vəziyyətdən çıxmaq üçün əldə düzəldilən və ya təbii sayma 
vasitələrindən istifadə edirdilər. 
İnsanlar fəaliyyətlərində müxtəlif çoxluqlardan istifadə etmişlər. Burada 
çoxluqların keyfiyyəti yox, miqdarı münasibətlər (xassələri) əsas götürülmüşdür. 
Elementlərinin sayı eyni olan çoxluqlar bir sinfə daxil edilmişdir. Çoxluqların miqdarı 
xarakteriatiksı haqqında təsəvvürlərin yaranmasında çoxluqlar ilə əl barmaqları 
arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaradılmışdır. Tədricən natural ədəd anlayışı 
meydana gəlmişdir. 
Natural ədəd anlayışı riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir. Sayarkən istifadə 
etdiyimiz ədədlərə natural ədədlər deyilir. Hər bir natural ədəd müəyyən çoxluğun 
elementlərinin miqdarını xarakterizə edir. Eyni miqdarda elementləri olan istənilən 
çoxluqlar eyni natural ədədlə xarakterizə olunur. Bir elementdən ibarət olan bütün 
çoxluqlara “vahid” (bir) adlanan natural ədədi uyğun qoymaq olar. İki elementdən ibarət 
olan bütün çoxluqlara “iki” ədədi adlanan başqa bir natural ədədi uyğun qoymaq olar. 
Belə uyğunluğun düzəldilməsini davam etdirərək aşağıdakı xassələrə malik olan bütün 
natural ədədləri almaq olar: a) natural ədədlər sonsuzdur; b) bütün natural ədədlər 
vahiddən başlayaraq biri digərinin ardınca düzülür. Natural ədədlər çoxluğu natural 
ədədlər sırasını əmələ gətirir: birinci ədəd-vahidi (bir), ikinci ədəd-iki, üçüncü ədəd-üç və 
s.; 
aşağıdakı 
kimi 
yazılır: 
N 

1,2,3,4,5,6,....

Hər bir natural ədədin bu sırada öz yeri vardır. Onlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9 rəqəmlərinin köməyi ilə yazılır. Natrural ədədlər sırası verildikdə iki natural 
ədəddən hansının böyük olduğunu müəyyən etmək olar: natural ədədlər sırasında 
başlanğıcdan (sıfırdan) uzaqda duran ədəd böyük, başlanğıca (sıfıra) yaxın olan ədəd 
kiçikdir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... sırasında 7 və 8-i müqayisə etsək 7 vahidə yaxın, 8 
isə ondan 7-yə nəzərən uzaqdadır. Ona görə 7<8 alırıq. 
Tərif. Eyni bir sinfə daxil olan çoxluqların hər birini xarakterizə edən invariata 
(cəhətə) natural ədəd deyilir. 
Bu tərif natural ədədlə sonlu çoxluğun elementləri sayı arasındakı münasibəti 
ifadə edir.Tərifdən aydın olur ki, hər bir eyni bir güclü çoxluqlar sinfinə bir natural ədəd 
və tərsinə hər bir natural ədədə qarşı bir eynigüclü çoxluqlar sinfi uyğun gəlir. 

---

22 
1,2,3,...,n,... ədədlər sırasına natural ədədlər deyilir. Onluq say sistemində on işarədən 
istifadə edilir ki, bunlarada rəqəmlər deyilir. Bütün natural ədədlər çoxluğu bu işarələr 
vasitəsilə yazılır. 
Sıfır natural ədəd hesab olunmur. Sıfır boş çoxluqda elementlərin miqdarını xarakterizə 
edən ədəd kimi daxil edilir. Sıfır bütün natural ədədlərdən əvvəl gələn ədəd hesab edilir 
və 0 (sıfır) ilə işarə olunur. 0 (sıfır) ədədinin natural ədədlər çoxluğu ilə birləşməsi 
genişlənmiş natural sıra əmələ gətirir. 
2. 
Hər hansı bir A təklifinin doğruluğunu hesablayarkən, bundan əvvəl isbat edilmiş 
əvvəlki təkliflərə əsaslanılır. Bu qayda ilə ilk əvvəl isbat edilmiş təklifi müəyyənləşdirmək 
i
sə qeyri mümkündür. Bu proses heç vaxt sona yetməz. Analoji olaraq hər hansı təklifə 
tərif vermək üçün bundan əvvəl tərif verilmiş anlayışa əsaslanmaq lazımdır. Əgər 
prosesi bu qayda ilə davam etdirsək ilk əvvəl tərif verilmiş anlayışı tapa bilmərik. Ona 
g
örə ilk dəfə tərif verə bilmədiyimiz anlayışları riyaziyyatda ilk anlayış adı verib bundan 
sonra gələn riyazi anlayışlara ilk anlayışlar vasitəsilə tərif veririk. Məsələn, ədəd, 
müstəvi, nöqtə, kəmiyyət və s. 
İsbatsız qəbul edilmiş bütün anlayışlar və təkliflər birlikdə aksiomlar sistemi 
adlanır. 
MOTƏ hesabıda aksiomlar sisteminə əsasən qurulur. Belə ki, ilkin olaraq 
riyaziyyatda söz seçilir (ad qoyulur) bu sözlərə uyğun işarələr verilir ki, bu işarələr 
rəqəm adlanır. Rəqəmlər isə 10- dur (1,2,...,0). Rəqəmlər əsasında ədədlər yazılır: 
0,1,2,3,...,n,... Bu ədədlərə də tərif verilmir. Lakin MOTƏ hesabında ədədlər üzərində 
əməllər aparılan zaman onlara tərif verilə bilər. 
Beləliklə də hər hansı riyazi nəzəriyyənin ciddi məntiqi şəkildə qurulmasına 
aşağıdakı kimi yanaşılmalıdır. 
1. Bu nəzəriyyənin tərifsiz qəbul edilən anlayışlarını, yəni əsas anlayışlar 
obyektini ayırmışlar. 
2. Həmin obyektlərin isbatsız qəbul edilən xassələrini ayırmışlar (aksiomlar). 
3. Qalan bütün obyektlərin tərifləri əsas anlayışlar üzərində qurulmalı, xassələri 
isə aksiomlara əsasən ciddi məntiqi şəkildə isbat olunmalıdır. 
Hər hansı riyazi nəzəriyyənin bu metodla qurulmasına riyaziyyatda aksiomatik 
metod deyilir. Nəzəri hesabın aksiomatikasında əsas anlayışlar aşağıdakılar 
götürülmüşdür. 
1. 
Əsas obyektlər- natural ədəd, vahid. 
2.
Natural ədədlər arasındakı münasibət- bilavasitə əvvəl gəlir,
bilavasitə sonra gəlir. 
3
. İstər natural, istərsə də MOTƏ üzərində hesab əməllərini, onların xassələrini və bu 
xassələrdən çıxan nəticələri nəzəri cəhətdən əsaslandırmaq üçün hesab aksiomaları 
tərtib etmək zərurəti qarşıya çıxır. 
Natural ədədlər hesabının aksiomaları italyan riyaziyyatçısı D.Peano (1858-
1932) tərəfindən verilmişdir. 
Тərif. Natural ədədlər böş olmayan elə N çoxluğunun elementlərinə deyilir ki, onun 
ixtiyari a və b elementləri üçün “b elementi a-dan bilavasitə sonra gəlir” münasibəti təyin 
edilib və aşağıdakı aksiomlar ödənilir: 
1.Vahid bilavasitə heç bir natural ədəddən sonra gəlməyən natural ədəddir. 
2. a 
natural ədədi neçə olursa olsun, bilavasitə ondan sonra gələn yeganə 
/
a
ədədi vardır. 
3. Vahiddən fərqli a natural ədədi neçə olursa olsun həmişə elə bir yeganə 

c
ədədi vardır ki, a bilavasitə ondan sonra gəlir. 
4. Əgər hər hansı natural ədədlər çoxluğu M aşağıdakı iki xassəyə malikdirsə; 
1) vahid ona daxildir; 
2) hər hansı a ədədi ona daxil olmaqla bilavasitə ondan sonra gələn 
/
a
ədədidə
ona daxildirsə, onda M çoxluğu bütün natural ədədlər çoxluğudur- N-dir. 

---

23 


,...
,...,
3
,
2
,
1
n
N

Bu dörd aksiom olub “Peano aksiomları” adlanır. 
Bilirik ki, hər bir boş çoxluğu xarakterizə edən ədədə “sıfır” ədədi deyilir. 
Sıfır bütün natural ədədlərdən əvvəl gəldiyinə görə, hər bir natural ədəddən 
kiçikdir. Ona görə Peano aksiomları MOTƏ çoxluğunun da əsasını təşkir edir. Fərq odur 
ki, bu sırada birinci ədəd sıfırdır. Qalan bütün əlamətlər MOTƏ çoxluğunda saxlanılır. 
MOTƏ çoxluğunda Peano aksiomları aşağıdakı kimidir. 
1. Sıfır bilavasitə heç bir MOTƏ-dən sonra gəlməyən MOTƏ- dir. 
2. Mənfi olmayan a tam ədədi üçün həmişə bilavasitə ondan sonra gələn yeganə 
/
a
mənfi olmayan tam ədədi vardır. 
3. Sıfırdan fərqli mənfi olmayan 
0
/

a
tam ədədi üçün həmişə ondan bilavasitə 
əvvəl gələn yeganə a mənfi olmayan tam ədədi vardır. 
4. Əgər hər hansı mənfi olmayan tam ədədlər çoxluğu iki xassəyə malikdirsə; 
1) sıfırı öz daxilinə alır; 
2) hər hansı mənfi olmayan a tam ədədini daxilinə almasından, a-dan bilavasitə 
sonra gələn 
/
a
t
am ədədini də öz daxilinə alması çıxırsa, onda bu çoxluq MOTƏ 
çoxluğudur.