U dalaboyev vektor va tenzor

^ = ^ / L O = («*-/LX 
(7-11)
(7.11) ifodaning chap va o‘ng tomondaning bir xil ortlardagi
koeffitsiyentlarini tenglab
(7-12)
tenglikka kelamiz. (7.12) to‘g‘ri va teskari almashtirish koeffitsiyentlari 
orasidagi bog'lanishni ifodalaydi. (7.9) ning ikki tomonini 
e,
vektorga,
(7.10) ni esa 
e,
ga skalyar ko‘paytirsak
(em,e,) = a ^
= 
a
u, 
(7.13)
( ^ ) = /3L(?..^) = A . ^ = A .
(7.14)
to‘g‘ri va teskari almashtirish koeffitsiyentlarini aniqlash imkoniyati 
paydo bo‘Iadi. (7.13) da indekslami almashtirsak 
k
<->/
(?•«*) = «* = («*.?). 
(7-15)
va buni (7.14) bilan taqqoslasak, to‘g‘ri va teskari almashtirishlarning 
koeffitsiyentlari orasidagi munosabatni topamiz:
Pu =
a
(7.16) 
(7.16) dan foydalanaib (7.9) va (7.10) quyidagicha yozish mumkin:
(7.12) munosabatni esa
II
r5
(7.17)
ii
i?
(7.18)
ii
(7.19)
ko‘rinishda yozish mumkin. Oxirgi tenglikni matritsa ko‘rinishda 
ifodalash qulaydir. Buning uchun tenglikning chap tomonida shakl 
almashtiramiz:
«fc.««.=«ta“ L = ( a - a r )te-
Shuning uchun,
(a arr )to 
=> cr a r = £ . 
(7.20)
Bu yerda 
E
birlik matritsa. (7.20) dan ko'rinadiki
a~'
= arr . 
(7.21)
94
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Ya’ni, to‘g‘ri almashtirish matritsasi ( a ) ga teskari matritsa 
transponirlangan matritsaga teng bo'lar ekan.
deta = detar va det£ = l bo'lgani uchun (7.20) dan deta = ±l kelib 
chiqadi. Ya'ni ortogonal almashtirish determinanti +1 yoki -1 ga teng 
bo‘ladi.
deta = +l 
bo'lgan ortogonal almashtirishlarga birinchi tu r 
deta = - l boMgan almashtirishlarga esa ikkinchi tu r almashtirishlar 
deyiladi. Bunday almashtirishlarga inversiya misol boMadi.
7.3. Vektor koordinatalarini almashtirish
(7.17) va (7.18) munosabatlar bilan bogMangan 
ek 
va 
ek 
Dekart 
bazis vektorlar berilgan boMsin. Biror 
3
vektomi qaraylik. Bu 
vektorning 
ek 
bazisdagi yoyilmasi 
3 = akek 
, 
?k
bazisdagi yoyilmasi esa, 
a = a'kek 
boMsin. O z-o‘zidan ravshanki
(7.17) dan foydalanib 
?k
a ke k ~ ° k e k
•
bazisdan 
ek 
bazisga o‘tamiz:
°kek = akakmem
>
(7.22)
\
a
y
Bu ifodaning chap tomonidagi indekslarni almashtirib £+*m, ortlaming 
chiziqli bogManmaganligini inobatga olsak
a m 
= ak A
(7-23)
munosabat kelib chiqadi. Xuddi shuning- 
dek, teskari almashtirish uchun esa 
\ 
a'm = amkak- 
O-
24)
y
(7.17), (7.18) munosabatlarni (7.23) va
jt
' 
(7.24) lar bilan taqqoslasak, vektor 
x
koordinatalari ham bir bazisdan ikkin-
^ _____ chisiga o‘tganda ortlar kabi almashishligi
x
kelib chiqadi. (7.23) almashtirishni quyi-
dagicha ham yozish mumkin: 
a„=aL a'k
(7-25)
1 
-misol.
Dekart koordinatalar sistemsini ixtiyoriy burchakka 
burishda skalyar ko‘paytmaning o‘zgarmasligini ko‘rsataylik.
I> Buni isbotlash uchun (7.24) va (7.19) xossalardan foydalanamiz:
\ I e
e ' 
■