Y a d u L l a h ə s ə n L i ekonometrikaya giriġ DƏrslik

 
1.2
 
 Təsadüfi dəyiĢənin nəzəri riyazi gözləməsi 
 
Təsadüfi  dəyişən  Anakütlədan  müəyyən  ehtimal  ilə  qiymət  alır.  Bu  ehtimal 
təsadüfi  dəyişənin  «çəkisi»ni  xarakterizə  edir.  Əgər  bu 
«çəki»  (rus:  вес,  ing.: 
weight)
  məlum  olarsa,  onda  nəzəri  ortanı  (riyazi  gözləməni)  və  dispersiyanı 
hesablamaq olar.  
Diskret  təsadüfi  kəmiyyətin 
riyazi  gözləməsi  (rus:  математические 
ожидание,  ing.:  mathematical  expection,  mean  value)
  onun  bütün  mümkün 
qiymətinin  çəkili ortasıdır.  Burada  çəki  əmsalı  kimi  təsadüfi kəmiyyətin  müvafiq 
qiymətinin  ehtimalı  götürülür.  Əgər  təsadüfi  dəyişən  x  kimi  işarə  olunarsa,  onda 
onun riyazi gözləməsi E(x) ilə işarə edilir
7
. Tutaq ki, x dəyişəni n sayda 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
 
qiymətlərini  uyğun  olaraq 
n
p
p
p
,...,
,
2
1
  ehtimalları    ilə  alır.  Başqa  sözlə, 
i
x
 
qiymətinin  alınması  ehtimalı 
i
p
-ə  bərbərdir 
)
,
1
(
n
i

.  Onda  diskret  təsadüfi  x 
dəyişəninin riyazi gözləməsi aşağıdakı kimi hesablanır: 







n
i
i
i
n
n
x
p
x
p
x
p
p
x
x
E
1
2
2
1
1
...
)
(
 
 
          
(1.1) 
Yuxarıda  gətirdiyimiz  nümunədə  iki  oyun  zərinin  atılması  zamanı  düşən 
xalların  cəmi  kimi  qəbul  edilmiş  x  təsadüfi  dəyişənin  riyazi  gözləməsi  aşağıdakı 
kimi olacaqdır 
(cədvəl 1.1). 
7
36
1
*
12
36
2
*
11
36
3
*
10
36
4
*
9
36
5
*
8
36
6
*
7
36
5
*
6
36
4
*
5
36
3
*
4
36
2
*
3
36
1
*
2
)
(












x
E
 
                                                 
7
 rusdilli və keçmiş sovet ədəbiyyatlarında riyazi gözləmə «M» hərfi ilə işarə edilirdi. 

 
 
 
23 
Əgər  bir  oyun  zərini  atsaq,  onda  6  mümkün  variant  olacaqdır: 
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
6
5
4
3
2
1






x
x
x
x
x
x
  və hər  bir variantın baş  vermə  ehtimalı  1/6-ə 
bərabərdir 
(bax: cədvəl 1.2).
 
                                                                                                                 
Cədvəl 1.2
 
x 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
p 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
 
Onda riyazi gözləmə, 
5
,
3
6
1
*
6
6
1
*
5
6
1
*
4
6
1
*
3
6
1
*
2
6
1
*
1
)
(
6
1










i
i
i
x
p
x
E
 
kimi olacaqdır. 
Bu  halda  göründüyü  kimi,  riyazi  gözləmə    sadə  şəkildə  hesablanan  orta 
kəmiyyətlə  üst-üstə  düşür.  Ona  görə  də  təsadüfi  dəyişənin  riyazi  gözləməsinin 
bəzən Anakütlə üzrə onun ortası da adlandırırlar və 

  ilə  işarə  edirlər.  Kəsilməz 
təsadüfi x dəyişəninin riyazi gözləməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir: 





dx
x
xf
x
E
)
(
)
(
                                               
(1.2) 
Burada, 
)
(x
f
- təsadüfi x dəyişəninin ehtimal sıxlıq funksiyasıdır. 
Məsələn,  havanın  temperaturunu  35-45  dərəcə  arasında  olmasının  kəsilməz 
təsadüfi  dəyişəndir və onun ehtimal sıxlıq funksiyası 
45
35
;
02
,
0
9
,
0
)
(




x
x
x
f
 
kimidir. Onda riyazi gözləməsi aşağıdakı kimi hesablanır 
(bax: şəkil 1.5). 
3
,
38
7
,
321
360
)
2
35
02
,
0
2
45
02
,
0
(
)
2
35
9
,
0
2
45
9
,
0
(
)
3
02
,
0
2
9
,
0
(
)
02
,
0
9
,
0
(
)
(
2
2
2
2
45
35
3
2
45
35


















x
x
dx
x
x
x
E
 
İstər  kəsilməz,  istərsə  də  diskret  təsadüfi  dəyişənin  riyazi  gözləməsinin  üç 
hesablama qaydası vardır. 
I qayda: 
)
(
)
(
)
(
)
(
z
E
y
E
x
E
z
y
x
E





 
Burada, x, y və z təsadüfi dəyişənlər, 
)
(
),
(
),
(
z
E
y
E
x
E
 isə uyğun olaraq onların riyazi 
gözləmələridir. 
II qayda: 
)
(
)
(
x
aE
ax
E

 

 
 
 
24 
 Burada, a sabitdir. 
III qayda: 
a
a
E

)
(
 
İki x və y təsadüfi dəyişənləri üçün 
 
)
(
)
(
)
(
y
E
x
E
xy
E

 
ödənilirsə,  onda  həmin  dəyişənlər  asılı  olmayan  təsadüfi  dəyişənlər  adlanır. 
Məsələn, x təsadüfi dəyişəni kimi I zəri atdıqda düşən xalları, y təsadüfi dəyişəni 
kimi II zəri atdıqda düşən xalları qəbul edək. Təbii ki, hər bir zərin atılması zamanı 
düşən xallar digər zərin atılmasından asılı deyil. Ona görə də x və y asılı olmayan 
təsadüfi dəyişənlərdir. 
 
Tapşırıqlar 
1. İki oyun zərini atdıqda düşən xalların fərqini təsadüfi dəyişən  (x) qəbul edib onun riyazi 
gözləməsini (E(x)) və x
2
 kəmiyyətinin riyazi gözləməsini  (E(x
2
)) hesablayın. 
2. 
Şəkil  1.5
-in  şərtləri  daxilində  havanın  temperaturunun  25-30  dərəcə  arasında 
dəyişməsinin riyazi gözləməsini hesablayın. 
3. İki zər atıldıqda bir zərin xallarının digər zərin xallarından asılı olmadığını göstərin. 
 
1.2.
 
Təsadüfi dəyiĢənin nəzəri dispersiyası 
 
Amerikan iqtisadçısı, Nobel mükafatı laureatı Milton Fridmen demişdir ki, iqtisadi 
göstəricilərin  orta  kəmiyyətinin  proqnozu  ona  bənzəyir  ki,  üzə  bilməyən  adamı 
inandırırsan  ki,  o  çayı  ayaqla  asanlıqla  keçə  bilər,  çünki  çayın  orta    dərinliyi  4 
futdan(təxminən  1,22  metr)  çox  deyil.  Fridmen  bu  sözlərlə  onu  demək  istəyib  ki, 
orta  kəmiyyətlər    (riyazi  gözləmə)  reallığı  tam  xarakterizə  edə  bilmir.  Məsələn, 
göstərilən misalda çayın bir yerində dərinliyi 2 metr, başqa yerində isə 0,44 metr 
ola bilər.  İnsan  isə  həmin  dərin  yerə  düşdükdə  bata bilər.  Orta  dərinlik  1,22  metr 
isə bu haqda məlumat verə bilmir. Bu çatışmamazlığı kəmiyyətin 
dispersiyası (rus: 
дисперсия,  ing.:  variance)
  aradan  qaldırır.  Dispersiya  dəyişənin  onun  orta 
qiymətindən  dağılma  (kənarlaşma,  səpələnmə)  ölçüsüdür.  Təsadüfi  x  dəyişəninin 

 
 
 
25 
nəzəri  dispersiyası    pop.  var  (x)  və  ya 
2
x

    ilə  işarə  edilir.  Əgər  hansı  dəyişənin 
dispersiyasından  söhbət  getdiyi  məlumdursa,  onda  sadəcə  olaraq 
2

kimi  işarə 
edilir
8
.  Dispersiya  x  kəmiyyətinin  onun  ortasından  fərqinin  kvadratlarının  riyazi 
gözləməsi kimi müəyyən edilir: 
n
n
n
i
i
i
x
p
x
p
x
p
x
p
x
x
E
x
pop
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
)
((
)
var(
.




















 
(1.3) 
Burada, 
i
x
 - təsadüfi x dəyişəninin qiyməti, 
i
p
 - uyğun olaraq onun baş vermə 
ehtimalı, 

 - isə x-n riyazi gözləməsidir (orta qiyməti). 
2
)
var(
.
x
x
x
pop




 
 
             
(1.4) 
x

  -  təsadüfi    x  dəyişəninin 
nəzəri  standart  kənarlaşması  və  ya  nəzəri 
standart  yayınması( rus:  теоретические  стандартные  отклонение,  ing.: 
theoretical standart deviation) 
adlanır.  
(1.4
)–dən  göründüyü 
kimi, 
təsadüfi  dəyişənin  standart  yayınması 
(kənarlaşması)  onun  dispersiyasının  kvadrat  köküdür.  Ona  görə  də  bu  kəmiyyət 
bəzən 
kvadratik orta yayınma ( rus: среднеквадратическое отклонение, ing.: 
mean square( standart) deviation) 
adlandırılır. 
Dispersiyanın  hesablanmasını  çayın  dərinliyi  misalında  göstərək.  Tutaq  ki, 
çayın eni 4 metrdir və sadəlik üçün hesab edək ki, bir metrdən bir dərinlik ölçüsü 
dəyişir və hər metr endə dərinlik eynidir 
(bax: cədvəl 1.3) 
Cədvəl 1.3 
Çayın dərinliyi və eninin statistik xarakteristikaları
 
Çayın eninin hər 
metrdə dərinliyi 
(x), metrlə 
Hər dərinliyin 
çəkisi (
)
i
p
 
i
i
p
x
 
)
(


i
x
 
2
)
(


i
x
 
i
i
p
x
2
)
(


 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0,28 
4
1
 
0,07 
-0,94 
0,8836 
0,2209 
0,15 
4
1
 
0,375 
0,28 
0,0784 
0,0196 
2,5 
4
1
 
0,625 
1,28 
1,6384 
0,4096 
0,6 
4
1
 
0,15 
0,62 
0,3844 
0,0961 
Cəmi: 
22
,
1


 
- 
- 
7462
,
0
2

x

 
                                                 
8
 Rus və keçmiş sovet ədəbiyyatlarında Dispersiya adətən «D» hərfi ilə işarə edilidi. 

 
 
 
26 
 
Cədvəldən  göründüyü  kimi  orta  kəmiyyət  (riyazi  gözləmə) 
22
,
1
)
(


x
E

 
ədədinə  bərabərdir.  Onda 
2
)
(


x
=
2
)
22
,
1
(

x
  olacaqdır.  Cədvəldən  istifadə  edərək 
2
)
22
,
1
(

x
  kəmiyyətinin  riyazi  gözləməsini  hesablayaq,  başqa  sözlə  desək 
cədvəl 
1.3
-də  sonuncu  sütunun  elementlərini  toplasaq,  dispersiyanın  (
2
x

)  qiymətinin 
0,7462 olduğunu görərik.  
Beləliklə, x dəyişəninin (bizim misalda çayın enindən asılı olaraq dərinliyinin) 
standart kənarlaşması (yayınması) 0,864-ə bərabərdir. 
864
,
0
7462
,
0


x

 
Göründüyü  kimi,  x  dəyişəninin  orta  kəmiyyəti  (riyazi  gözləməsi)  1,22-ə, 
dispersiyası  0,7462-ə,  standart  kənarlaşması  (yayınması)  isə  0,864-ə  bərabərdir. 
Yəni, baxmayaraq çayın orta dərinliyi 1,22 metrdir, ancaq, dispersiya başqa sözlə 
çayın  müxtəlif  yerlərində    dərinliyi  orta  dərinlikdən  kənarlaşması  xeyli  böyük 
olduğu  üçün,  adam  ayaqla  asanlıqla  çayı  keçə  bilməz.  Əgər  dispersiya  və  ya 
standart  kənarlaşma  kiçik  ədədlərlə  xarakterizə  olunsaydı,  belə  nəticəyə  gələ 
bilərdik ki, çayın bütün yerlərində dərinlik onun orta dərinliyindən bir o qədər də 
fərqlənmir. Məsələn, sadəlik üçün hesab etsək ki, çayın bütün yerlərində dərinlik 
orta dərinliyə bərabərdir, onda dispersiya və standart kənarlaşmanın qiyməti  sıfıra 
bərabər olar. 
Beləliklə, x dəyişəninin riyazi gözləməsi və dispersiyasını bilməklə onu daha 
dəqiq xarakterizə etmək mümkündür.  
Təsadüfi  dəyişənin  nəzəri  dispersiyasını  daha  əlverişli  düsturla  hesablamaq 
olar: 













2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
)
(
)
(
)
2
(
)
(
)
2
(
)
)
((








x
E
x
E
E
x
E
x
E
x
x
E
x
E
x
 
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
x
E
x
E
x
E
x
E










 
 
 
 
 
(1.5) 
Əgər təsadüfi dəyişən kəsilməz olarsa, onda onun nəzəri dispersiyası  








dx
x
f
x
x
E
x
)
(
)
(
)
)
((
2
2
2



  
  
      
(1.6) 
kimi hesablanır.  

 
 
 
27 
 
Kəsilməz  təsadüfi  dəyişənin  nəzəri  standart  yayınması  yuxarıda  diskret 
təsadüfi dəyişəndə olduğu kimi, yəni, nəzəri dispersiyanın kvadrat kökünü almaqla 
hesablanır. 
 
Tapşırıq 
 
Cədvəl  1.1.  və  Cədvəl  1.2.-
də  göstərilən  ədədlərlə  xarakterizə  olunan  təsadüfi  x  dəyişəninin 
nəzəri dispersiyasını və standart kənarlaşmasını (yayınmasını) hesablayın. 
 
1.3.
 
DəyiĢənin sabit və təsadüfi tərkibi 
 
Sual oluna bilər: bütün bu statistik xarakteristikalar (riyazi gözləmə, dispersiya və 
s.)  təsadüfü  kəmiyyətlərə  və  ya  təsadüfü  dəyişənlərə  aiddir.  Bu  statistik 
xarakteristikaları  dəyişənl,  o  cümlədən  iqtisadi  göstəricilər  üçün  hesablamaq  nə 
dərəcədə doğrudur? Bu sualın cavabını aşağıda aydınlaşdırmağa çalışaq. 
Dəyişənin  tərkibini  iki  hissəyə  –  sabit  və  təsadüfi  hissələrə  ayırmaq  olar. 
Aşağıda  göstərəcəyik  ki,  dəyişənin  təsadüfü  hissəsinin  statistik  xarakteristikaları 
(riyazi gözləmə və dispersiya) elə dəyişənin özünü də xarakterizə etmiş olur. Başqa 
sözlə  dəyişənin  təsadüfü  hissəsi  hansı  paylanmaya  malikdirsə  dəyişənin  özü  də 
həmin  paylanmaya  malikdir.  Bu  baxımdan  iqtisadi  göstəricilərə  də  təsadüfü 
kəmiyyət kimi baxaraq statistik üsullatla qiymətləndirmə aparıla bilər.  
Tərkibin sabit hissəsi dəyişənin  həmişə riyazi gözləməsinə bərabər olur. Əgər 
x təsadüfi dəyişəndirsə və  

 onun riyazi gözləməsidirsə, onda təsadüfi kəmiyyət  
aşağıdakı şəkildə yazıla bilər: 




x
 
                                             
(1.7) 
Burada, 

  –  xalis  təsadüfi  tərkibdir.  Qeyd  edək  ki,  bu  reqressiya  tənliyində 
təsadüfi hədd kimi verilir. 
Buradan  aydın  olur  ki,  xalis  təsadüfi   

  kəmiyyətinin  riyazi  gözləməsi  sıfıra 
bərabərdir.  
Doğurdan da 
(1.7)-
dən 

-ni tapıb riyazi gözləməsini hesablasaq: 

 
 
 
28 




x
 
0
)
(
)
(
)
(
)
(












E
x
E
x
E
E
 
 
(1.8) 
alarıq. 
Bu  göstərir  ki,  x  kəmiyyətinin  qiymətlərinin  dağılması  (səpələnməsi) 

 
kəmiyyəti  ilə  əlaqədardır.  Ona  görə  də  x-in  nəzəri    dispersiyası 

-nin  nəzəri 
dispersiyasına bərabərdir. Doğrudan da, 
 
)
(
)
(
)
(
2
)
2
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
2
(
)
(
)
2
(
)
)
((
)
))
(
((
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

























E
E
E
E
E
x
E
x
E
x
E
x
E
E
x
E
x
E
x
x
E
x
E
x
E
x
E
x
































 
və  
)
(
)
)
0
((
)
))
(
((
2
2
2
2






E
E
E
E





 
2
2




x
. 
 
                                        (1.9) 
Beləliklə, əgər x –təsadüfi dəyişəni 
(1.7)
 düsturu ilə verilibsə və 

 - verilmiş ədəd, 

 - təsadüfi həddirsə, habelə 
0
)
(


E
 və pop.var
2
)
(
x



 olarsa onda  x –təsadüfi 
dəyişəninin riyazi gözləməsi 

 , dispersiyası isə 
2


-ya bərabərdir. 
Əyər  iqtisadi  göstəricinin  qiyməti  təsadüfü  olmayaraq  şüurlu  surətdə 
müntəzəm dəyişikliyə məruz qalarsa, onda həmin iqtisadi göstəricini, 
 







x
              
 
kimi  yaza  bilərik.  Burada, 


  iqtisadi  göstəricinin  qiymətinə  təsadüfü  olmayaraq 
edilən müdaxiləni xarakterizə edən orta kəmiyyətdir.  

-ni tapsaq, 
)
(







x
            
alarıq. Bu bərabərlikdə 







  işarələməsi aparsaq,  





x
               
alarıq. 
 

 
 
 
29 
Eyni qayda ilə göstərə bilərik ki, buradakı iqtisadi göstəricinin təsadüfi hissəsinin 
riyazi  gözləməsi  (orta  qiyməti)  sıfra,  dispersiyası  isə  iqtisadi  göstəricinin 
dispersiyasına  bərabərdir.  Bu  isə  iqtisadi  göstəricinin  təsadüfi  hissəsinin  statistik 
paylanma baxımından tamamilə iqtisadi göstəricinin özünü də xarakterizə etdiyini 
göstərir.  Beləliklə,  buradan  görmək  olar  ki,  iqtisadi  tədqiqatlarda  iqtisadi 
göstəricilərə təsadüfü kəmiyyət kimi baxib  ekonometrik modelləşdirmə üsullarını 
tətbiq  etmək  olar.  Müəyyən  mənada  hətta  qiymətinə  müdaxilə  edilən  iqtisadi 
göstəriciləri  də  statistik  üsullarla  tədqiq  etmək  mümkündür.  Çünkü,  bu  zaman 
iqtisadi  göstəricinin  qiymətinə  müdaxilə  edilən  hissəsi  onun  sabit  hissəsinin 
üzərinə  keçirmək  mümkün  ola  bilər.  İqtisadi  göstəricinin  qalan  hissəsi  təsadüfü 
xarakterə  malik  olması  və  normal  qanunla  paylanması  əsas  verir  ki,  statistik 
üsulları  tətbiq  etmək  mümkün  olsun.  Lakin,  qiymətinə  təsadüfü  olmayaraq 
müdaxilə  edilən  iqtisadi  göstəricinin  qiymətləndirilmiş  orta  qiyməti  həqiqi 
qiymətdən 


 qədər fərqli  olacaqdır. Başqa sözlə qiymətləndirmə meylli olur. Ona 
görə  də  müntəzəm  müdaxilə  olunan  iqtisadi  göstəricilərin  statistik  üsullarla 
tədqiqində alınmış qiymətləndirmənin meylli olmasına təbii hal kimi baxılmalıdır. 
Bununla belə bu tipli iqtisadi göstəricilərin paylanma qanunundakı və ya dəyişmə 
qanunauyğunluqlarındakı həqiqətin aşkarlanması mümkün ola bilir.  
 
İqtisadi göstəricilərin təsadüfü hissəsinin və ya statistik səhvlərin mənbəələri 
onların  qiymətlərinin  hesablanmasındakı  üç  qeyri-müəyyənlik  çətinlikləri  ilə 
əlaqəli  olur.  Bu  səbəbdən  bütün  iqtisadi  göstəricilərin  müşahidə  olunan  empirik 
qiymətlərindəki  səhvləri  üç  tipə  ayırmaq  olar:  1)  ölçmənin  və  ya  hesablamanın 
səhvləri; 2) seçmənin səhvləri; 3) spesifikasiyanın səhvləri. İqtisadi göstəricilərdəki 
səhvlərin  tiplərinin  şərhin  daha  kenkrentliyi  üçün  aqreqllaşdırılmış  istehlak 
funksiyasının məlum olmayan parametrlərini götürək.