Y a d u L l a h ə s ə n L i ekonometrikaya giriġ DƏrslik

min
.1
32
5
5
4
3
2
1






 
Eyni qayda ilə  
ton
y
92
.
16

 
(1.29)
 düsturuna müvafiq olaraq bizim nümunə üçün seçmə kovariasiya 
y
x
n
n
y
x
y
x
l
i
m
j
ij
j
i





1
1
)
,
cov(
 
                    
 
(1.30) 
kimi hesablana bilər. 
27895
1
*
25
*
5
.
42
1
*
21
*
5
.
42
2
*
25
*
5
.
37
6
*
21
*
5
.
37
2
*
17
*
5
.
37
1
*
13
*
5
.
37
7
*
21
*
5
.
32
11
*
17
*
5
.
32
3
*
13
*
5
.
32
4
*
17
*
5
.
27
6
*
13
*
5
.
27
3
*
9
*
7
.
27
13
*
1
*
5
.
22
2
*
9
*
5
.
22
1
1




















l
i
m
j
ij
j
i
n
y
x
 
768
.
14
92
.
16
*
1
.
32
50
27895
)
,
cov(



y
x
 
Kovariasiya  sıfıra  bərabər  olmadığı  üçün  (sıfırdan  fərqləndiyi  üçün)  x  və  y    göstəriciləri 
arasında, daha doğrusu gündəlik məhsul istehsalı ilə müəssisənin əsas istehsal fondları arasında 
xətti əlaqə mövcuddur.  
 
TapĢırıq 
Azərbaycanın 
cədvəl  1.7
-də  göstərilmiş  bir  sıra  iqtisadi  göstəriciləri  arasındakı    seçmə 
kovariasiyanı hesablayın: 
                                                                                                           Cədvəl 1.7 
İllər 
Maliyyə bazarlarında 
kredit faizi dərəcəsi, 
%-lə 
ÜDM, mln AZN 
Pul 
aqreqatları(M0), 
mln AZN 
İstehlak qiymətləri indeksi 
(İnflyasiya), %-lə 
1 
2 
3 
4 
T 
MBKFD 
ÜDM 
M0 
IQI 
1990 
  
0.3 
 
  
1991 
  
0.5 
 
  
1992 
15.0 
4.8 
 
2.07 

 
 
 
48 
1993 
50.0 
31.4 
9.4 
10.12 
1994 
150.0 
374.7 
55.2 
17.64 
1995 
50.0 
2133.8 
120.5 
5.12 
1996 
29.2 
2732.6 
173.1 
1.20 
1997 
25.3 
3158.3 
234.1 
1.04 
1998 
20.3 
3440.6 
185.2 
0.99 
1999 
19.8 
3775.1 
227.2 
0.92 
2000 
19.5 
4718.1 
270.0 
1.02 
2001 
19.7 
5315.6 
293.8 
1.02 
2002 
15.6 
6062.5 
333.7 
1.03 
2003 
15.2 
7010.7 
408.2 
1.02 
2004 
  
8374.4 
477.8 
1.07 
 
?
)
0
,
IQI
cov(

M
, 
?
)
IQI
UDM,
cov(

, 
?
)
MBKFD
 
UDM,
cov(

  
 
1.11.
 
Nəzəri və seçmə korrelyasiya əmsalları 
 
Dəyişənlər arasında xətti asılılığın mövcud olub-olmamağını yoxlamaq üçün 
ilk növbədə korrelyasiya əmsalını  yoxlamaq lazımdır. 
Korrelyasiya əmsalı (rus: 
коффицент  корреляции,  ing.:  correlation  coefficient)
  dəyişənlər  arasında  xətti 
əlaqənin mövcudluğu səviyyəsini göstərir. İki x və y dəyişənləri arasındakı 
seçmə 
korrelyasiya əmsalını  (rus: выборочный коффицент, ing.: sample coefficient of 
correlation) 
)
,
(
y
x
r
n
 və ya 
y
x
r
,
 ilə işarə edilir və aşağıdakı düsturla hesablanır:  
  
)
,
(
y
x
r
n











n
k
k
n
j
j
n
i
i
i
y
y
x
x
y
y
x
x
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
)(
(
,                                   
(1.31) 
burada:  (
i
i
y
x ,
)  cütləri  (
n
i
,
1

)  real  statistikadan  və  ya  sınaqlardan  götürülmüş 
ədədlər, 
x
 və 
y
 isə uyğun olaraq onların orta kəmiyyətləridir.  
(1.31) 
düsturundan  görmək  olar  ki,  seçmə  korrelyasiya  əmsalı  x  və  y 
dəyişənlərinin  seçmədəki  qiymətlərinin  (
i
x
  və 
i
y
)  orta  qiymətlərindən 
kənarlaş-
maları
  eyni  işarəli  olduqda  müsbət,  müxtəlif  işarəli  olduqda  mənfi  olur. 
Korrelyasiya  əmsalı  ölçüsüz  kəmiyyətdir  və  onun  kəmiyyəti  dəyişənlərin  ölçü 

 
 
 
49 
vahidlərindən  asılı  deyil.  Korrelyasiya  əmsalının  kəmiyyəti  mənfi  vahiddən  (-1) 
müsbət vahidə (+1) qədər qiymətlər ala bilər: 
-1

)
,
(
y
x
r
n

1 
Korrelyasiya  əmsalının  mənfi  vahidə  yaxın  qiymət  alması  o  deməkdir  ki, 
dəyişənlər  arasında  sıx  xətti  əks  əlaqə  mövcuddur,  yəni  bir  dəyişənin  qiyməti 
artdıqda  digər  dəyişənin  qiyməti  azalır  (
bax:  şəkil  1.9,  a
).  Müsbət  vahidə  yaxın 
olması dəyişənlər arasında düz xətti asılılıq olmasını 
(bax: şəkil 1.9, b)
, sıfıra yaxın 
olması isə xətti əlaqənin mövcud olmamağını göstərir 
(bax: şəkil 1.9, c)
. 
Qeyd  edək  ki,  korrelyasiya  əmsalının  sıfıra  yaxın  qiymət  olması  yalnız  xətti 
asılılığın  olmadığını  göstərir,  ancaq  bu  o  demək  deyildir  ki,  dəyişənlər  arasında 
ümumiyyətlə  asılılıq  mövcud  deyildir.  Qeyri-xətti  asılılıq  mövcud  ola  bilər.  Bu 
zaman  əlaqənin  sıxlığı 
korrelyasiya  münasibəti  (nisbəti)  (rus:  корреляционное 
отношения,  ing.:  correlation  ratio)  və  korrelyasiya  indeksi  (rus:  индекс 
корреляции,  ing.:    index  of  correlation) 
  ilə  qiymətləndirilir
 
(korrelyasiya 
münasibəti  və  korrelyasiya  indeksi  anlayışları  ilə  növbəti  paraqraflarda  tanış 
olacağıq)
 
. 
 
 
Şəkil 1.9. 
Asılılığın növləri və korrelyasiya əmsalı 
 
Onu da qeyd edək ki, x və y dəyişənlərinin seçmə korrelyasiya əmsalının yu-
xarıda göstərilən düsturunda onlar arasındakı kovariasiya göstəricisi də vardır. Ko-
variasiya    göstəricisi  korrelyasiya  əmsalı  kimi  x  və  y  dəyişənləri  arasındakı  xətti 
əlaqənin  səviyyəsini  (dərəcəsini)  göstərir.  Dəyişənlər  arasında  xətti  asılılıq  ol-

 
 
 
50 
madıqda bu dəyişənlərin də qiyməti sıfıra bərabər olur. Lakin kovariasiya göstərici 
ölçüsüz kəmiyyət deyil. Onun ölçüsü x və y dəyişənlərinin ölçü kəmiyyətlərindən 
asılıdır.  Kovariasiya  göstəricisindən  statistik  təhlil  və  qiymətləndirmədə  nadir 
hallarda  istifadə  edilir.  O,  ancaq  korrelyasiya  əmsalının  hesablanmasında  aralıq 
element kimi iştirak edir.  
Biz bu vaxta qədər seçmə korrelyasiya əmsalı haqqında mülahizələr söylədik. 
Seçmə korrelyasiya əmsalı 
)
,
(
y
x
r
n
 və ya 
)
,
(
y
x
r
 verilmiş seçmə, daha doğrusu x və 
y dəyişənlərinin statistik və ya müşahidə qiymətləri əsasında onlar arasındakı xətti 
əlaqənin dərəcəsini (sıxlığını) göstərir. Ancaq x və y dəyişənləri arasındakı həqiqi 
xətti əlaqənin sıxlığını 
Anakütləda
 mövcud olan 
nəzəri korrelyasiya əmsalı
 
(rus: 
теоретический(ая)  коффицент  корреляции,  ing.:  theoretisal  coefficient  of 
correlation) 
xy

  ilə  işarə  edilir.  Nəzəri  korrelyasiya  əmsalının 
)
(
xy

  qiy-
mətləndirilməsi üçün seçmə korrelyasiya əmsalından istifadə olunur. 
Anakütlədakı
 
nəzəri korrelyasiya əmsalı aşağıdakı kimi müəyyən olunur:  
y
x
xy
y
x
xy
y
x
pop








)
,
cov(
.
,                                         
(1.32) 
burada: 
)
,
cov(
.
y
x
pop
 və ya 
xy

  
Anakütlədakı
 x və y dəyişənləri arasındakı ko-
variasiya əmsalı (nəzəri kovariasiya əmsalı), 
x

və 
y

 isə uyğun olaraq x və y də-
yişənlərinin 
Anakütlədakı
  kvadratik  orta 
kənarlaşmalarıdır. 
Kovariasiya  və 
dispersiyanın  müvafiq  düsturlarından  istifadə  etməklə  seçmə  korrelyasiya 
əmsalını(
)
,
(
y
x
r
n
) aşağıdakı kimi yaza bilərik. 
)
,
(
y
x
r
n
)
var(
)
var(
)
,
cov(
)
(
)
(
)
)(
(
1
2
1
2
1
y
x
y
x
y
y
x
x
y
y
x
x
n
k
k
n
j
j
n
i
i
i












                 
(1.33)
 
Nümunə: 
 
Cədvəl  1.6
-da  verilmiş  rəqəmlər  əsasında  seçmə  korrelyasiya  əmsalı  hesablayaq. 
Bunun üçün çəkilərin nəzərə alınması ilə korrelyasiya əmsalı
 (1.33.)
 düsturuna müvafiq olaraq 

 
 
 
51 












m
j
j
j
l
i
i
i
l
i
m
j
ij
i
i
y
n
n
y
x
n
n
x
n
y
y
x
x
r
1
2
2
1
2
2
1
1
)
(
)
(
)
)(
(
 
 
 
(1.34) 
və ya  



















m
j
m
j
j
j
j
j
n
i
l
i
i
i
i
i
l
i
m
j
m
j
j
j
l
i
i
i
ij
j
i
n
y
n
y
n
n
x
n
x
n
n
y
n
x
n
x
x
n
r
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
)
(
)
(
)
)(
(
                   
(1.35)
 
kimidir. 
 Qeyd  edək  ki,  (1.35)
  düsturu  praktiki  hesablama  üçün  daha  əlverişlidir,  çünki  onun 
köməyi ilə korrelyasiya əmsalı (r) birbaşa müşahidələrdən alınmış verilənlər əsasında hesablanır. 
Əgər  müşahidələr  ancaq  n  cüt   
)
,
(
i
i
y
x
-  dən  ibarətdirlərsə  və  heç  bir 
i
x   və 
i
y   göstəricisinin 
çəkisi  (tezliyi)  olmazsa,  onda 
(1.34
)  və  ya 
(1.35
)  düsturlarında 
i
j
n
ij


,
1
  qəbul  edib, 



l
i
m
j
1
1
cəminin yerinə  isə 


n
i 1
 yazmaq lazımdır. Onda 
(1.33)
 düsturunu almış olarıq.  
İndi isə 
(1.35)
 düsturu ilə korleyasiya əmsallarını hesablasaq 
r=0,74 
alarıq. 
Hesablanmış korrelyasiya əmsalı (r=0,74) müsbət vahidə yaxın olduğundan deyə bilərik 
ki, x və y dəyişənləri arasında, başqa sözlə gündəlik məhsul istehsalı ilə müəssisənin əsas istehsal 
fondları arasında sıx düz xətti əlaqə mövcuddur.
  
 
Tapşırıq 
Azərbaycanın  c
ədvəl  1.7
-də  göstərilmiş  bir  sıra  iqtisadi  göstəriciləri  arasındakı    seçmə 
korrelyasiya əmsalını  hesablayın: 
?
)
0
,
IQI
(

M
r
, 
?
)
IQI
UDM,
(

r
, 
?
)
MBKFD
 
UDM,
(

r
  
 
1.12.
 
Toplu və xüsusi korrelyasiya əmsalları 
 
İqtisadi  proseslərdə  bir  göstəriciyə  (dəyişənə)  adətən  çoxlu  sayda  amillər 
(göstəricilər)  təsir  edir.  Ona  görə  də,  iki  dəyişən  deyil,  çoxlu  sayda  dəyişənlərin 
arasındakı əlaqənin öyrənilməsi məsələsi qarşıya çıxır.  

 
 
 
52 
Tutaq  ki, 
p
j
i
x
x
x
x
x
,...
,...,
,...,
,
2
1
  dəyişənləri  verilmişdir.  Aşağıdakı  matrisə 
baxaq: 



























1
...
...
...
..........
..........
..........
..........
...
1
...
...
..........
..........
..........
..........
...
...
1
....
..........
..........
..........
..........
...
...
...
1
...
...
...
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
21
1
1
1
12
pj
pi
p
p
jp
ji
j
j
ip
ij
i
i
p
j
i
p
j
i
p





















   
                   
(1.36) 
 
Bu  matris 
Anakütlədakı
 
korrelyasiya  matrisi  (rus:  корреляционная 
матрица,  ing.:  correlation  measure)
  adlanır  və 
Anakütlədakı
 
)
...
2
,
1
,
(
p
j
i
ij


  cüt 
korrelyasiya  əmsallarından  təşkil  edilmişdir.  Hər  bir 
ij

  ayrı-ayrılıqda 
(1.32)
 
düsturu  ilə  hesablanır. 
p

  nəzəri  korrelyasiya  matrisini  qiymətləndirmək  üçün 
müəyyən seçmə əsasında aşağıdakı seçmə korrelyasiya əmsalları matrisi düzəldilir.  
 



























1
...
...
...
......
..........
..........
..........
...
1
...
...
......
..........
..........
..........
...
...
1
....
......
..........
..........
..........
...
...
...
1
...
...
...
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
21
1
1
1
12
pj
pi
p
p
jp
ji
j
j
ip
ij
i
i
p
j
i
p
j
i
p
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r

 
                      
(1.37) 
 
Burada, 
)
...
2
,
1
,
(
p
j
i
r
ij

  cüt seçmə  korrelyasiya  əmsalları 
(1.33)
  düsturları  və 
ya onun modifikasiyaları olan 
(1.34)
 və 
(1.35)
  düsturları ilə hesablanır. 
İki məsələ qarşıda durur: 
1)  Dəyişənlərdən  birinin  qalan  toplu  (p-1)  sayda  dəyişənlərdən  əlaqəsinin 
sıxlığını müəyyən etmək; 

 
 
 
53 
2)  q  sayda 
)
2
(
(


p
q
)  dəyişəni  nəzərə  almadan  və  ya  onları  sabit 
saxlamaqla  yerdə  qalan  dəyişənlər  arasındakı  əlaqənin  sıxlığının  müəyyən 
edilməsi. 
Birinci  məsələ 
toplu  (çoxluq)  korrelyasiya  əmsalı  və  ya  toplu 
korrelyasiya  (rus:  множественная  корреляция,  ing.:    multiple  correlation)
, 
ikinci məsələ isə 
xüsusi korrelyasiya əmsalları və ya  xüsusi korrelyasiya (rus: 
частный  коффицент  корреляции,  ing.:  partial  correlation  coefficient)
  vasitəsi 
ilə həll edilir.  
p
i
R
...
12
,
-  ilə  i-ci  dəyişən  ilə  yerdə  qalan  bütün  dəyişənlər  arasındakı  xətti 
əlaqənin  sıxlığı,  başqa  sözlə  toplu  (çoxluq)  korrelyasiya  əmsalı  işarə  edilir  və 
aşağıdakı kimi hesablanır:  
ii
p
p
i
v
v
R


1
...
12
,
 
.            
         
(1.38) 
Burada,  
p
v
  -  korrelyasiya  matrisinin  (
p
v
)  determinantıdır, 
ii
v
-  isə   
ii
r
 
elementinin cəbri tamamlayıcısıdır. 
Xüsusi halda p=3 , yəni dəyişənlərin sayı üç olduqda x dəyişəni ilə y və z 
dəyişənləri  arasındakı  toplu  (çoxluq)  korrelyasiya  əmsalının  (
yz
x
R
,
  )  hesablama  
düsturu,   
2
2
2
,
1
*
*
2
1
1
1
1
1
1
yz
yz
xz
xy
xz
xy
yz
yz
yz
xz
yz
xy
xz
xy
yz
x
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
R






 
           
(1.39)
 
kimi olacaqdır. 
Toplu  korrelyasiya  əmsalının  qiyməti   
1
0


R
  parçasında  dəyişir.  Toplu 
korrelyasiya  əmsalı  ixtiyari  cüt  korrelyasiya  əmsalının  mütləq  qiymətindən  kiçik 
deyil.  
ij
r
R

 

 
 
 
54 
Əgər  dəyişənlər  bir  birindən  asılıdırlarsa  onda,  cüt  korrelyasiya  əmsalının 
kəmiyyətinə  başqa  dəyişənlərin  qismən  təsiri  də  olur.  Ona  görə  də  bir  və  ya  bir 
neçə  dəyişənin  təsirini  istisna  etməklə  dəyişənlər  arasındakı  əlaqənin  sıxlığını 
öyrənmək  zərurəti  yaranır.  Bu  dəyişənlər  arasındakı  xüsusi  korrelyasiya 
əmsalları vasitəsi ilə yerinə yetirilir. (p-2) sayda dəyişənin sabit qalması şərti ilə i 
və j-ci dəyişənləri arasındakı xüsusi korrelyasiya əmsalı 
p
ij
r
...
12
,
  ilə işarə edilir və 
aşağıdakı kimi hesablanır: 
jj
ii
ij
p
ij
v
v
v
r


...
12
,
 
.                                          
(1.40) 
Burada, 
ij
v
  , 
ii
v
 və 
jj
v
 kəmiyyətləri   
p
v
matrisinin  uyğun olaraq  
ij
r
 , 
ii
r
 (
1

ii
r
) və  
jj
r
  (
1

jj
r
)  elementlərinin  cəbri  tamamlayıcılarıdır.  Xüsusi  halda  üç  x,  y  və  z  
dəyişənləri  olarsa,  onda    z  dəyişəninin  təsirinin  sabit  qaldığı  halda    x  və    y 
dəyişənləri arasındakı xüsusi korrelyasiya əmsalı 
)
1
)(
1
(
*
2
2
,
yz
xz
yz
xz
xy
z
xy
r
r
r
r
r
r




 
 
                                   
(1.41) 
kimi olacaqdır. Burada, 
xy
r
 , 
xz
r
, 
yz
r
- uyğun olaraq  x və y, x və z, y və z  dəyişənləri 
arasındakı adi cüt korrelyasiya əmsallarıdır. 
Xüsusi  korrelyasiya  əmsalı 
p
ij
r
...
12
,
  cüt  korrelyasiya  əmsalları  kimi  (-1)-dən 
(+1)-ə  kimi  qiymətlər  ala  bilər.  Bundan  başqa  n  ölçülü  seçmə  ilə  hesablanmış  
p
ij
r
...
12
,
  xüsusi  korrelyasiya  əmsalı,  (n-p+2)  müşahidə  ilə  hesablanmış  cüt 
korrelyasiya əmsalları ilə eyni paylanmaya malik olur.