Y a d u L l a h ə s ə n L i ekonometrikaya giriġ DƏrslik

Ölçmə və ya hesablamadakı səhvlər. İqtisadi nəzəriyyədən məlumdur ki, 
Keyns tipli istehlak funksiyası aşağıdakı kimidir. 
bY
a
C


 
Burada, 
C
-aqreqallaşdırılmış,  istehlak  xərcləri, 
Y
-  Ümumi  daxili  məhsul, 
b
a,
 isə parametrlərdir. 

 
 
 
30 
Məlumdur  ki, 
C
  və 
Y
  Milli  Hesablar  Sisteminin  (MHS)  əsas 
göstəricilərindəndir.  İstər  həmin  göstəricilərin  hesablanma  prinsipində, 
aqreqallaşdırılmasında  və  mikrosəviyyədə  mühasibat  uçotu  sənədlərinin 
doldurulmasında  hesablama  zamanı  rəqəmlərin  yuvarlaqlaşdırılmasında,  daha 
doğrusu, adi cəbri səhvlər yığılır.  
      Onagörə də 
bY
a
C


 hipotezi statistik məlumatlar ilə  
)
(
z
Y
b
a
x
C




 
kimi yoxlanılmalıdır. Burada, 
x
 və 
z
 qeyri-məlum təsadüfü kəmiyyətdir və ildən 
ilə dəyişir. Başqa sözlə, 
x
bz
u
u
bY
a
C





,
 
Burada, 
u
- səhvi xarakterizə edir. 
Seçmə  müĢahidələrdəki  səhvlər.  Fərz  edək  ki, 
bY
a
C


  münasibətinin 
doöruluğu  hansısa  yolla  müəyyənləşdirilmişdir.  Bu  halda  ona  ümüd  etmək  lazım 
deyil ki, bu münasibət ixtiyari hesabat dövrü üçün statistik məlumatlarla yoxlanıla 
bilər.  Axı,  təsadüfü  kənarlaşmalar  mümkündür.  Adətən,  belə  münasibətlərə 
dövrlərin (illərin) orta qiymətləri üşün baxılır. Bir sıra hallarda hansısa dövr və ya 
il  üşün 
C
-nin  həqiqi  qiyməti  (
bY
a

)-dən  fərqli  olur.  Məsələn,  müharibə 
illərindəki 
a
  və 
b
  parametrlərinin  qiymətləri,  stabil  inkişaf  illərindəki  müvafiq 
əmsallardan kəskin fərqlənə bilər. Bu zaman səhv seçməyə daxil edilən dövrlərin 
(illərin)  götürülməsi  ilə  əlaqədar  olur.  Ona  görə  də  statistik  üsullarla 
münasibətlərin  (hipotezlərin)  yoxlanmasında  eyni  tipli  məlumatlara  üstünlük 
verilməsi zəruridir.    
Spesifikasiyanın  səhvləri.  Məlumdur  ki,  adətən  nəzəriyyələrdə  proses 
sadələşdirilərək  öyrənilir.  Məsələn  bizim  konkret  nümunədə  hər  bir  iqtisadçıya 
məlumdur  ki,  məcmu  istehlaka  (
C
)  təkcə  ÜDM-in  həcmi  (
Y
)  deyil,daha  çox 
amillər təsir edir. Məsələn, istehlakçıların zövqü, faiz stavkası, qiymətlərdəki yerli 
fərqlərəhalinin  yaş  qrupu,  əvvəlki  ildə  istehlakçıların  gəlirlərində  baş  verən 
dəyişikliklər  və  s.  Bütün  bu  amillər  cari  istehlakın  miqyasına  bu  və  ya  digər 
dərəcədə təsir edir. Bundan başqa hətta bütün təsiredici amilləri modelə daxil etsək 
də  həqiqi  asılılığın  şəkili  daha  mürəkkəb  ola  bilər.    Hətta,  istehlakın  həcminin 

 
 
 
31 
təkcə ÜDM-dən asılı olaraq dəyişdiyini qəbul etsək belə həqiqi aslılıq baxdığımız 
xətti şəkildə deyil digər şəkildə də ola bilər. Məsələn, 
2
)
log(
ky
y
d
y
c
bY
a
C





 
Başqa sözlə sonsuz olaraq çoxlu sayda mümkün variantlar ola bilər. Bu səbəbdən 
də baxılan asılılıqların spesfikasiyasindan səhvlər meydana çıxır. 
  
1.4.
 
Qiymətləndirmənin üsulları: seçmə orta və seçmə dispersiya 
 
Yuxarıda  biz  təsadüfi  dəyişənin  nəzəri  riyazi  gözləməsi  və  nəzəri 
dispersiyası  kimi  statistik  xarakteristikaları  ilə  tanış  olduqda  hesab  edirdik  ki, 
təsadüfi  dəyişən  haqqında  dəqiq  informasiyalar,  o  cümlədən  onun  ehtimal 
paylanması  (diskret  dəyişən  olan  halda)  və  ya  ehtimalın  sıxlıq  funksiyası 
(kəsilməz  dəyişən  olan  halda)  məlumdur.  Bu  informasiyalar  vasitəsi  ilə  təsadüfi 
dəyişənin  nəzəri  riyazi  gözləməsini,  nəzəri  dispersiyasını,  eləcədə  digər  statistik 
xarakteristikalarını  hesablamaq  olar.  Lakin,  praktikada  bir  sıra  sadə  təsadüfi  
kəmiyyətlər, məsələn, metal pulun atılması zamanı düşən gerb və digər üzü, oyun 
zərinin atılmasından düşən xallar və s. çıxmaq şərti ilə çoxlu sayda kəmiyyətlərin, 
o cümlədən iqtisadi prosesləri xarakterizə edən dəyişənlərin ehtimal paylanmasını 
dəqiq  bilmirik.  Bu  o  deməkdir  ki,  nəzəri  riyazi  gözləmə  və  nəzəri  dispersiya  da 
bizə  məlum  deyil.  Bununla  belə  bizə  lazım  gəlir  ki,  həmin  dəyişənlərin 
Anakütlədəki  (Ümumi  Topludakı,
 
ümumi  çoxluqdakı,  ümumi  yığındakı,  baş 
heyətdəki)
  nəzəri statistik xarakteristikalarını qiymətləndirək. Qiymətləndirmənin 
prosedurası  həmişə  eyni  olub  aşağıdakı  kimidir:  n  sayda    müşahidələrdən  ibarət 
seçmə  götürülür.  Bu  seçmənin  köməyi  ilə  müvafiq  düsturlarla  təsadüfi  dəyişənin 
lazımi  statistik  xarakteristikalarının  qiymətləri  hesablanır.  Qeyd  edək  ki, 
qiymətləndirmənin düsturları ilə üsulları arasındakı fərqə diqqət yetirmək lazımdır. 
Qiymətləndirmə üsulu ümumi bir qaydadır. Statistik xarakteristikaları düsturlarla 
hesablanan  qiymətləri  isə  seçmədən  asılı  olaraq  dəyişə  bilən  konkret  ədədlərdir. 
Ola  bilər  ki,  seçmə,  yəni  aparılan  müşahidələr  təsadüfi kəmiyyətin 
Anakütlədəki
 
statistik xarakteristikalarının müəyyənləşdirilməsini adekvat əks etdirə bilməsin.  

 
 
 
32 
Aşağıdakı  cədvəldə 
(bax:  cədvəl  1.4)  Anakütlədəki
  ən  vacib  iki 
xarakteristikanın  (riyazi  gözləmə  və  dispersiyanın)  qiymətləndirmə  düsturları 
göstərilmişdir. Seçmə orta (
x
) adətən 
Anakütlədəki
 nəzəri riyazi gözləmənin(

) 
qiymətini  verir.  Seçmə    dispersiya  (
2
S
)  isə 
Anakütlədəki
  nəzəri  dispersiyanın 
(
2

) qiymətini verir.  
                                                                        Cədvəl 1.4 
Anakütlədakı xarakteristikalar 
Seçmə ilə qiymətləndirmə düsturları 
Nəzəri riyazi gözləmə (orta): 




n
i
i
i
x
p
x
E
1
)
(

 
Seçmə orta: 
n
x
x
n
i
i



1
 
Nəzəri dispersiya: 
)
)
((
)
var(
.
2
2





x
E
x
pop
x
 
Seçmə dispersiya: 
1
)
(
1
2
2





n
x
x
S
n
i
i
 
 
 
Qeyd  edək  ki, 
Anakütlədəki
  riyazi  gözləmə  və  dispersiyanın  qiymətinin 
cədvəl  1.4  -
də  göstərilən  seçmə  orta  və  seçmə  dispersiyanın  adi  düsturları  ilə 
hesablanması heç də yeganə deyil.  Məsələn, 

-in qiymətləndirilməsi üçün verilən 
x
-in hesablanma düsturu çəkili orta kimi də verilə bilər: 
,
1



k
i
k
k
n
m
x
x
 



k
i
k
n
m
1
 
              
 
(1.10) 
Burada, 
k
m
 - n sayda  müşahidədə x təsadüfi dəyişəninin 
k
x
 qiymətinin başvermə 
sayı(tezliyi), 
n
m
k
  isə  təsadüfi  x dəyişəninin 
k
x
  qiymətini  almasının  çəki  əmsalıdır 
(ehtimalıdır).  Təsadüfi  x  dəyişəninin 
x
  seçmə  ortasının  müxtəlif  düsturlarla 
verilməsinin  səbəbi  odur  ki,  tapılan  qiymət  iki  vacib  meylsizlik  və  effektivlik 
meyarlarına  uyğun  olsun  (meylsizlik  və  effektivlik  anlayışları  ilə  növbəti 
paraqraflarda    tanış  olacağıq).  Eləcə  də  nəzəri  (
2
x

)  xarakteristikasını 
qiymətləndirilməsi üçün verilən 
2
S
 seçmə dispersiya və ya orta kvadratik yayınma 
düsturlarındakı kvadratların uyğun cəmi (n-1)-ə deyil, n-ə bölünə bilər
9
.
  
                                                 
9
 Я.Р,Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика» Начальный курс, М, 1997 

 
 
 
33 
 
1.5.
 
Meylsiz statik qiymət 
 
Təsadüfi dəyişənlərin sınaqlar vasitəsi ilə riyazi gözləmə, dispersiya və digər 
statistik  xarakteristikalarının  qiymətləndirilməsi  zamanı  alınmış  qiymətlər  ancaq 
təsadüfən 
Anakütlədakı
 xarakteristikaların  qiymətlərinə  bərabər  ola bilər.  Adətən, 
sınaqların sayından və seçmədəki kəmiyyətin xalis təsadüfi  tərkib hissəsindən asılı 
olaraq  müəyyən  kənarlaşmalar  olur.  Daha  doğrusu,  biz  qiymətləndirmə  zamanı 
istəyirik  ki,  qiymətləndirmənin  riyazi  gözləməsi(seçmə  orta) 
Anakütlədakı
  uyğun 
xarakteristikasına(nəzəri    riyazi  gözləməyə)  bərabər  olsun.  Əgər  bu  belə  deyilsə, 
deməli  qiymətləndirmədə 
meylli  qiymət  (rus:  смещанная  оценка,  ing.:  biased 
estimator)
  alınmışdır.  Ona  görə  də  kəmiyyətin  riyazi  gözləməsi  ilə  Anakütlədakı 
uyğun nəzəri xarakteristikanın fərqi də meylli olacaqdır. 
Təsadüfi dəyişənin statistik xarakteristikasının (riyazi gözləmə, dispersiya və 
b.)  seçmə  üzrə  tapılmış  qiyməti  Anakütlədakı  qiymətinə  bərabər  olarsa,  onda 
meylsiz  qiymət  (rus:  :  несмещанная  оценка,  ing.:  unbiased  estimator)
  adlanır. 
Əvvəlcə  baxaq  görək  təsadüfi  x    dəyişəninin 
x
  seçmə  ortası(
x
=
)
(x
E
)  onun 
Anakütlədakı  nəzəri  riyazi  gözləməsi  olan  E(x)  və  ya 

-nin  meylsiz  statik 
qiymətidirmi?    Yəni    onlar  bərabərdirmi?  Yuxarıda  qeyd  edildiyi  kimi 
x
  
dəyişəninin tərkibi iki hissədən sabit 

 və xalis təsadüfi 

 hissələrindən ibarətdir. 




x
                                              (1.11) 

  -nun  qiyməti  seçmədəki  x  kəmiyyətinin  xalis  təsadüfi  tərkibi  olan 

-nin 
riyazi  gözləməsidir  Yəni, 
i

-lərin  ortasına    bərabərdir.  Hər  bir  müşahidədə  belə 
təmiz(xalis) təsadüfi hissənin riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir. Eyni zamanda 

 -
nin riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir. Beləliklə, 













0
)
(
)
(
)
(
)
(
E
E
E
x
E
                     
(1.12) 
Beləliklə göstərdik ki 
x
 
Anakütlədakı
 riyazi gözləmənin meylsiz qiymətidir. Qeyd 
edə  bilərik  ki,  alınan  qiymət 

-
nin
 
yeganə  mümkün  meylsiz  qiyməti  deyil. 
Məsələn,  tutaq  ki,  3  müşahidədən  ibarət  seçmə  vardır  - 
3
2
1
,
,
x
x
x
.  Əgər  çəkilərin 

 
 
 
34 
cəmini  vahidə  bərabər  götürsək,  onda  müşahidələrin  ixtiyari  çəkili  ortası  meylsiz 
qiymət  olar.  Bu  halı  göstərmək  üçün  tutaq  ki,  biz  qiymətləndirmənin  ümumi 
düsturunu aşağıdakı kimi qurmuşuq: 
3
3
2
2
1
1
x
x
x
y






 
y-in riyazi gözləməsini hesablayaq: 
















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1












x
E
x
E
x
E
x
x
x
E
y
E
Əgər,  
1
3
2
1






 
olarsa, onda 


)
( y
E
 
olacaqdır.  Bu  isə 

-nin  meylsiz  qiymətinin  y-ə  bərabər  olması  deməkdir. 
Beləliklə, prinsipcə meylsiz statistik qiymətin sayı sonsuzdur. Sual olunur: onların 
birini  necə  seçək?  Nə  üçün  əksər  hallarda  çəkilərin  bərabər  olması  ilə  (məsələn, 
3
1
3
2
1






)  seçmə  orta  istifadə  olunur?  Ola  bilər  ki,  müxtəlif  müşahidələrə 
eyni çəki verilməsi düzgün olmasın! 
 
İndi isə göstərək ki, 
2
S
- kəmiyyəti əgər seçmədəki müşahidələr bir-birindən 
asılı  olmazlarsa,  Anakütlədakı      nəzəri  dispersiyanın  (
2

)  meylsiz  statistik 
qiymətidir.  
Qeyd  edək  ki,  nəzəri  dispersiyanın  qiyməti  olan 
2

-  kəmiyyəti  də  təsadüfi 
dəyişəndir. 
(1.7)-
dən 
(1.11)-i
 tərəf-tərəfə çıxsaq, 
          





i
i
x
x
                                                 
(1.13) 
alarıq. Uyğun olaraq, 










n
i
i
n
i
i
n
x
x
n
S
1
2
1
2
2
)
(
1
1
)
(
1
1


.
                              (1.14) 
Beləliklə, 
2
S
 ancaq seçmədəki  x-in müşahidələrinin xalis təsadüfi tərkibindən 
asılıdır. Seçmədən-seçməyə dəyişənin təsadüfi tərkibi dəyişdiyi üçün seçmədən-
seçməyə də 
2
S
dəyişəcəkdir. 
Göstərmək olar ki, 
2
S
  kəmiyyətinin  riyazi  gözləməsi 
2

    bərabərdir  və  bu 
kəmiyyət nəzəri dispersiyanın meylsiz qiymətidir. Doğrudan da, 

 
 
 
35 

































































































n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
x
n
x
n
x
n
n
x
n
x
x
n
x
n
n
x
x
x
n
x
n
x
x
x
n
x
x
x
x
n
x
x
n
x
x
n
S
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
)
(
)
(
1
1
)
(
)
)(
(
2
)
(
1
1
)
(
)
(
2
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1
1
)
)
(
)
)(
(
2
)
((
1
1
))
(
)
((
1
1
)
(
1
1




















 
Bu ifadənin riyazi gözləməsini götürsək,  
          














)
)
(
)
(
1
1
(
)
(
1
2
2
2
n
i
i
x
n
x
n
E
S
E


 
2
2
2
2
2
1
2
)
1
(
1
1
1
1
)
var(
1
)
var(
.
1
)
(
1
)
(
1
1



































n
n
n
n
n
n
n
x
n
n
x
pop
n
n
x
E
n
n
x
E
n
n
i
i
     
(1.15)
 
alarıq. 
 Ona görə də 
2
S
 kəmiyyəti 
2

 - nin meylsiz qiymətidir. 
 

 
 
 
36 
Tapşırıqlar 
1. Asılı olmayan x
1
 və x
2
   müşahidələri üçün 
1
,
2
1
2
2
1
1








x
x
z
 
dəyişəni verilmişdir. 
1
2


  xüsusi  halı  və 
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2








  bərabərliyindən  istifadə 
edərək, 
1
;
8
,
0
;
6
,
0
;
5
,
0
;
4
,
0
;
2
,
0
;
0
1
1
1
1
1
1
1














qiymətlərində  z 
dəyişəninin nəzəri ortasının dispersiyasını hesablayın. Tapılan nöqtələri qrafikdə göstərin. 
1

 və 
2

 çəki əmsallarının bir-birinə bərabər olması vacibdirmi? 
2.
 
n müşahidə üçün 
n
n
x
x
x
z







...
2
2
1
1
 
ümumiləşmiş düsturunun 

 meylsiz qiymət verməsi üçün 
1
...
2
1




n



 
şərtinin  ödənilməsini göstərin.  
 
1.7. Effektiv statistik qiymət 
 
Statistik 
qiymətləndirmədə  meylsiz  qiymət  arzu  ediləndir,  lakin 
qiymətləndirmənin  yeganə  xassəsi  deyil.  Qiymətləndirmənin  daha  vacib  tərəfi 
etibarlılığın  olmasıdır.  Daha  doğrusu  qiymətləndirmədə  mümkün  maksimum 
ehtimalla  nəzəri  xarakteristikalara  yaxın  qiymət  alınmış  olsun.  Yəni  ehtimalın 
sıxlıq funksiyası gərək daha çox kəmiyyətin həqiqi qiyməti ətrafına «sıxılsın». Bu 
isə o deməkdir ki, mümkün qədər kiçik dispersiya olmalıdır 
(bax: şəkil 1.6).
 
Tutaq  ki,  nəzəri  orta  üçün  eyni  bir  informasiya  əsasında  hesablanmış  iki 
qiymət  vardır  və  onların  hər  ikisi  meylsizdir.  Onların  ehtimallarının  sıxlıq 
funksiyaları aşağıdakı şəkil 
1.6-
da göstərilib. 
Təsadüfi x dəyişəni üçün 1-qiymətdə ehtimalın sıxlıq funksiyası orta qiymət 
ətrafında daha çox sıxılıb, nəinki 2-qiymətdə. Göründüyü kimi 1-qiymətində daha 
dəqiq  qiymət  alınır.  Başqa  sözlə,  1-qiyməti  daha 
səmərəlidir  və  ya  effektivdir 
(rus:  еффективная  оценка,  ing.:  effective  estimate)
.  Effektiv  qiymət  odur  ki, 
dispersiya ən az olsun. Bütün müşahidələrin bərabər çəkisi olduqda dispersiya ən 
az olur.  

 
 
 
37 
 
 
                                                               
Şəkil 1.6.
 
Effektiv statistik qiymət
 
 
Doğrudan  da,  tutaq  ki,  asılı  olmayan 
1
x
  və 
2
x
  müşahidələri  aparılmışdır  və 
2
2
1
1
x
x
y




. Onda nəzəri dispersiyanın qiyməti  
2
2
2
2
1
2
2
1
1
)
(
)
var(
.
)
var(
.









x
x
pop
y
pop
 
Yuxarıda  göstərilmişdir  ki,  meylsiz  qiymət    üçün 
1

  və 
2

 
kəmiyyətinin 
cəminin vahidə bərabər olması zəruridir: 
1
2
2
1
1
1








 
və 
1
2
2
2
1
)
1
(
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1




















 
Biz 
1

  və 
2

 
-ni  elə  seçməliyik  ki,  dispersiya  ən  kiçik  olsun.  Onda 
1
2
2
1
2
1




  ifadəsinə  ən  kiçik  qiymət  verən 
1

    elə  dispersiyanı  da 
minimumlaşdırır. 
1
2
2
1
2
1




  ifadəsinin  ən  kiçik  qiymətini  törəməsinin  sıfıra 
çevrildiyi nöqtədə alır (Ferma teoremi) 

 

 
 
 
38 
2
1
1
2
1
0
2
4
1
2
1
1









 
Beləliklə,  biz  göstərdik  ki,  seçmə  orta  bərabər  ehtimallarda  (çəkilərdə) 
statistik  qiymətlər  arasında  ən  kiçik  dispersiyaya  malik  olur.  Bu  onu  göstərir  ki, 
ehtimal paylanması həqiqi orta ətrafında daha sıxdır. Deməli, daha dəqiqdir. Başqa 
sözlə, seçmə orta bütün meylsiz qiymətlər arasında  daha çox effektiv qiymətdir. 
Biz  bunu  ancaq  2  müşahidə  halı  üçün  göstərdik,  lakin  bu  nəticə,  əgər 
müşahidələr  bir-birindən  asılı  olmayanda  seçmənin  ixtiyari  ölçüsü  üçün  də 
doğrudur. 
Aşağıdakıları qeyd edək: 

 
Qiymətin  effektivliyini  ancaq  və  ancaq  eyni  bir  informasiyadan  istifadə 
etdikdə müqayisə etmək olar. 

 
Biz  burada  effektivlik  anlayışını  meylsiz  qiymətlərin  müqayisəsi  ilə 
göstərdik.  Lakin  bu  anlayış  meylli  qiymətləri  müqayisə    etməklə  də 
ümumiləşdirilə bilər.