Y a d u L l a h ə s ə n L i ekonometrikaya giriġ DƏrslik

 
Tapşırıq 
Müşahidələrin  sayı  artıqda  statistik  qiymətin  paylanmasının  dispersiyası  azalır.  Onda 
statistik qiymət daha effektiv  olurmu? 
 
1.8.
 
Sınaqların sayının artırılmasının statistik qiymətlərin 
dəqiqliyinə təsiri 
 
 
Tutaq ki, təsadüfi x dəyişəninin 
Anakütlədakı
 nəzəri riyazi gözləməsi 

 və 
nəzəri  dispersiyası 
2
x

  məlum  deyil  və  n  sayda  müşahidə  aparmaqla 

-nün 
qiymətləndirilməsi üçün seçmə orta 
x
-dən istifadə edilir. Belə sual meydana çıxır: 
seçmə orta 
x
-in dəqiqliyi müşahidələrin sayı n-dən asılıdırmı? 

 
 
 
39 
Ümumiyyətlə, «Böyük Ədədlər Qanunu»na eləcədə «mərkəzi limit teoremə» görə 
müşahidələrin  sayının  artması    qiymətləndirmənin  dəqiqliyini  artırır.  Deməli, 
seçmə orta 
x
-in də dəqiqliyi artır. 
x
-in dispersiyası 
2

/n ilə ifadə olunduğundan,  
                            
n
x
pop
x
x
2
2
)
var(
.




                                  
(1.16) 
göründüyü kimi müşahidələrin sayı n nə qədər böyük olarsa, dispersiyanın qiyməti 
də bir o qədər kiçik olar və 
x
  üçün  ehtimalın sıxlıq  funksiyası 

  ədədi  ətrafında 
daha çox sıxılmış olur 
(bax: şəkil 1.7). 
 
  
 
Şəkil 1.7.
 n-nin artmasının 
x
-in paylanmasına təsiri 
 
Biz  hesab  edirik  ki,  x  dəyişəni  ortası  (riyazi  gözləməsi)  5  və  standart  yayınması 
(kənarlaşması) 
3 olan normal paylanmışdır. Tutaq ki, n=9 olduqda 
x
 dəyişəninin 
standart 
kənarlaşması 
 
1
9
3
2



n
n
x
x


  ədədinə  bərabərdir.  Əgər  seçmənin 
ölçüsü, yəni müşahidələrin sayı 36 olarsa, onda 
x
 dəyişəninin standart yayınması 
(kənarlaşması
)  
2
1
6
3
36
3
)
var(
.
2






n
n
x
pop
x
x
x



 
5


 

 
 
 
40 
olacaqdır. 
Əgər müşahidələrin sayı 81-ə bərabər  olarsa, onda bu standart 
kənarlaşma,
  
3
1
9
3
81
3


 
ədədinə  bərabər  olar.  Göründüyü  kimi,  seçmənin  ölçüsü  artdıqca  (n=9;  n=36; 
n=81)  standart 
kənarlaşmanın
  qiyməti  azalır  (uyğun  olaraq, 
1

x

2
1

x

,
3
1

x

). 
Şəkil  1.7
-də  uyğun  ehtimalların  sıxlıq  funksiyası  göstərilmişdir.  Şəkildən 
göründüyü  kimi,  seçmənin  ölçüsü  nə  qədər  böyük  olarsa, 
x
  üçün  ehtimal  sıxlıq 
funksiyasının qrafiki də 

 ətrafında sıxılaraq yuxarı qalxır. Əgər n sonsuz böyük 
ədəd  olarsa,  onda  ehtimalın  sıxlıq  funksiyasının  qrafiki 
x
=

  nöqtəsindən  keçən 
şaquli  düz  xətdən  fərqlənməyəcəkdir.  Bu  zaman  x  dəyişəninin  təsadüfi  tərkibi 
(hissəsi) çox kiçik olur, ona görə də 
x
 dəyişəni 

-yə çox yaxın olur. Belə ki,  
                                                    




x
n
lim
 
Bu  faktın  daha  geniş  yayılmış təsviri  «plim»  terminindən istifadə  etməklə  yazılır. 
«plim»  yazılışı    «ehtimal  üzrə  limit»  deməkdir  və  göstərir  ki,  limit  ehtimal 
mənasındadır: 
plim 
x
=

 
 
                                           
(1.17) 
1.9.
 
Tutarlı statistik qiymət  
 
Əgər  ehtimal  üzrə  statistik  qiymətin  limiti  Anakütlənun  xarakteristikalarının 
həqiqi  (doğru)  qiymətinə  bərabər  olarsa,  onda  statistik  qiymət 
tutarlı  (rus: 
состоятельная  оценка,  ing.:  consistent  estimator)
  adlanır.    Başqa  sözlə  böyük 
seçmələr üçün statistik qiymət dəqiq alınarsa onda, bu zaman tutarlı olur. 
Əksər  praktiki  məsələlərin  həllində  meylsiz  statistik  qiymət  həm  də  tutarlı 
olur. Bəzən kiçik ölçülü seçmələrdə statistik qiymət meylli olmasına baxmayaraq, 
tutarlı olur. Hətta elə hal ola bilər ki, kiçik seçmədə sonlu riyazi gözləməyə malik 
olmayan statistik qiymət də tutarlı ola bilər.  

 
 
 
41 
 
Şəkil 1.8.
 
Kiçik seçmədə meylli, lakin tutarlı olan statistik qiymət 
 
Şəkildən  göründüyü  kimi 
(bax:  şəkil  1.8)
  müxtəlif  ölçülü  seçmələrdə 
ehtimalın  paylanması  qrafiki  göstərilmişdir.  Göründüyü  kimi,  müşahidələrin  sayı 
artdıqca (seçmənin ölçüsü artdıqda) ehtimalın paylanması həqiqi qiymət ətrafında 
simmetrik  olur.  Bu  isə  statistik  qiymətin  asimmetrik  meylsiz  olmasını  göstərir. 
Statistik qiymətin Anakütlədakı həqiqi qiymətə çevrilməsi onu göstərir ki, o tutarlı 
qiymətdir.  Belə  qiymətləndirmə  reqressiya  tənliyində  vacib  amildir.  Çünki  bəzən 
kiçik ölçülü seçmələrdə meylsiz statistik qiymət tapmaq mümkün olmur.  Əgər heç 
olmasa meylliyin istiqamətini müəyyən etməklə tutarlı statistik qiymət tapılarsa, bu 
statistik qiymətin heç olmamağından daha yaxşıdır.  
Ancaq  onu  da  bilmək  lazımdır  ki,  prinsipcə  kiçik  ölçülü  seçmələrdə  tutarlı 
statistik  qiymət  tutarsız  qiymətə  nəzərən  daha  pis  olsun  (məsələn,  tutarlı  statistik  
qiymətin böyük orta kvadratik səhvi ola bilər). Əgər meylli qiymətin dispersiyası 
meylsiz  qiymətin  dispersiyasından  kiçikdirsə,  onda  meylli  qiymətə  üstünlük 
vermək olar. Həmçinin kiçik dispersiyaların olmasına görə də tutarlı, lakin meylli 
qiymətə meylsiz qiymətdən və ya tutarsız qiymətdən üstünlük vermək olur.  
 
 

 
 
 
42 
Tapşırıqlar 
1. Statistik qiymətin meylsiz olması tutarlılıq üçün zəruri və kafi şərtdirmi? 
2.  x  təsadüfi  dəyişəni  eyni  ehtimalla  1  və  2  qiymətlərin  y    təsadüfi  dəyişəni    isə  eyni 
ehtimalla  3  və  4  qiymətlərini  alır.  x  və  y  kəmiyyətləri  bir-birindən  asılı  olmayaraq  paylanıb,  z  
kəmiyyəti z=x/y  kimi təyin olunub və 1/4  bərabər ehtimallı  aşağıdakı cədvəldə göstərilən dörd  
qiymət alır: 
                                                                                                           Сədvəl 1.5 
                   Y 
X                   
1 
2 
3 
3 
1,5 
4 
4 
2 
 
Göstərin ki, 
)
(
)
(
)
(
y
E
x
E
z
E

 
 
1.10. Seçmə və nəzəri kovariasiya 
 
Kovariasiya  (rus:  ковариация  ,  ing.:  covariance)
  anlayışı  korrelyasiya-
reqressiya  təhlilinin  əsas  məsələlərinin  qoyuluşu  və  şərhində  mühüm  əhəmiyyət 
kəsb edən korrelyasiya əmsalının daxil edilməsinə zəmin yaradır. Kovariyasiya iki 
dəyişən arasındakı qarşılıqlı asılılığın ölçüsüdür.  
Tutaq  ki,  x  və  y  təsadüfi  dəyişənləri  verilmişdir  və  n  müşahidə  aparılaraq 
n
i
y
x
i
i
,
1
),
,
(

  qiymətləri  müəyyənləşdirilmişdir.  Təsadüfi  x  və  y  dəyişənləri 
arasındakı 
seçmə  kovariasiya  (rus:  выборочная  ковариация,  ing.:    sample 
covariance)
)
,
cov(
y
x
 ilə işarə edilir və aşağıdakı düsturla hesablanır
10
:                 



y
y
x
x
n
y
x
i
n
i
i





1
1
)
,
cov(
  
                          
(1.18) 
Kovariasiya  əmsalının  hesablanmasının  bir  sıra  vacib  qaydaları  vardır  ki, 
onlar bilavasitə kovariasiyanın tərifindən alınır. 
I qayda. Əgər 
y=u+v
  olarsa, onda  
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
v
x
u
x
y
x


 
                                                 
10
 Bəzi ədəbiyyatlarda müvafiq cəm n-ə deyil (n-1)-ə bölünür. 

 
 
 
43 
Doğrudan da,  





 










)
,
cov(
)
,
cov(
1
1
1
1
)
,
cov(
)
,
cov(
1
1
1
1
v
x
u
x
v
v
x
x
n
u
u
x
x
n
v
v
x
x
u
u
x
x
n
v
u
v
u
x
x
n
v
u
x
y
x
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i





























 
II qayda. Əgər y= az  olarsa (burada a – sabitdir), onda  
)
,
cov(
)
,
cov(
z
x
a
y
x

 
Doğrudan da,  






)
,
cov(
1
)
,
cov(
)
,
cov(
1
1
z
x
a
z
z
x
x
n
a
z
a
az
x
x
n
az
x
y
x
n
i
i
i
i
n
i
i












 
III qayda.  Əgər y= a olarsa   (burada,  a – sabitdir), onda  
0
)
,
cov(

a
x
 
Doğrudan da, 
          



0
1
)
,
cov(
)
,
cov(
1







a
a
x
x
n
a
x
y
x
n
i
i
 
Bu əsas qaydalardan istifadə etməklə daha mürəkkəb ifadə ilə verilmiş 
kovariasiyanı sadələşdirmək olar. Məsələn, əgər dəyişənlərdən biri bir neçə 
dəyişənin funksiyası kimi verilmişdirsə,  
t
a
v
a
u
a
a
y
3
2
1
0




 
Burada, 

3
2
1
0
,
,
,
a
a
a
a
 sabitlərdir. 
Onda, 
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
)
,
cov(
3
2
1
3
2
1
0
t
x
a
v
x
a
u
x
a
t
x
a
v
x
a
u
x
a
a
x
y
x








 
Kovariyasiyanın hesablama qaydalarından və xassələrindən istifadə etməklə 
ona başqa bir hesablama düsturu tapmaq olar. 
y
x
y
x
n
y
x
i
n
i
i










1
1
)
,
cov(
               
 
 
(1.19) 
Doğrudan da,  



y
x
y
x
n
y
x
n
y
x
n
y
x
n
y
x
n
y
x
n
x
y
y
x
y
x
n
y
x
y
x
y
x
y
x
n
y
y
x
x
n
y
x
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i























































1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
,
cov(
 

 
 
 
44 
Təsadüfi    x    və    y    dəyişənləri  arasında  nəzəri  kovariasiya 
(rus:  
теоретическая  ковариация,  ing.:    theoretical  covariance) 
bu  dəyişənlərin  orta 
qiymətlərindən  (riyazi  gözləmələrindən)  kənarlaşmalarının  hasilinin  riyazi 
gözləmələri kimi təyin edilir və 
xy

 yaxud 
)
,
cov(
.
y
x
pop
 ilə işarə edilir: 
                  






y
x
xy
y
x
E
y
x
pop







)
,
cov(
.
,  
 
                  
(1.20) 
Burada, 
x

  və 
y

-  uyğun  olaraq  x  və  y  dəyişənlərinin  nəzəri  orta 
qiymətləridir. 
Əgər x və y kəmiyyətləri asılılığı yoxdursa onda onların nəzəri kovariasiyaları 
sıfıra bərabərdir. Doğrudan da,  






0
)
)
(
)(
)
(
(
)
(
)
(









y
x
y
x
y
x
y
E
x
E
y
E
x
E
y
x
E






 
Qeyd  edək  ki,  dəyişənlər  bir-birinə  bərabər  olduqda  yəni,  x=y  olarsa  onda 
kovariasiya dispersiyaya çevrilir. 





2
2
)
var(
.
)
((
)
,
cov(
.
x
x
x
x
x
pop
x
E
x
x
E
x
x
pop











               
(1.21) 
Əgər 
Anakütlədakı
  nəzəri  kovariasiya  məlum  deyilsə,  onda  onun  qiymətinin 
tapılması  üçün  aparılan  müşahidələr  əsasında  hesablanan  seçmə  kovariasiyadan 
istifadə etmək olar. Lakin bu zaman  kovariasiya üçün hesablanan statistik qiymət 
mənfi meylli olur, belə ki,  
                             


 
y
x
pop
n
n
y
x
E
,
cov
.
1
)
,
cov(


. 
 
 
 
(1.22) 
Buna  səbəb  onunla  bağlıdır  ki,  seçmə  kənarlaşmalar  x  və  y  kəmiyyətlərinin 
seçmə ortalarına nəzərən ölçülür. x və y kəmiyyətlərinin seçmə ortaları isə həqiqi 
orta  qiymətlərindən  aşağı  qiymət  almaları  kimi  kənarlaşmalara  malik  olmaları 
ənənəsinə  malikdir.  Ona  görə  də  nəzəri  kovariasiyanın  meylsiz  qiymətini 
hesablamaq üçün seçmə kovariasiyanın qiymətini 
)
1
(

n
n
-ə vururlar. 
Nümunə
:
  Aşağıdakı  cədvəldə  əsas  istehsal  fondları  (x)  və  gündəlik  məhsul  istehsalı  (y)  50 
eynitipli müəssisə üçün verilmişdir.  
 
 
 

 
 
 
45 
Cədvəl 1.6 
Əsas istehsal 
fondlarının 
həcmi, min AZN 
(x) 
İntervalların 
ortası 
Gündəlik məhsul istehsalının həcmi, ton (y) 
Cəmi, 
i
n
 
Qrup 
ortası, 
ton, 
i
y
 
i
j
x
y
 
7-11 
11-15 
15-19 
19-23 
23-27 
9 
13 
17 
21 
25 
20-25 
22,5 
2 
1 
- 
- 
- 
3 
10,3 
25-30 
27,5 
3 
6 
4 
- 
- 
13 
13,3 
30-35 
32,5 
- 
3 
11 
7 
- 
21 
17,8 
35-40 
37,5 
- 
1 
2 
6 
2 
11 
20,3 
40-45 
42,5 
- 
- 
- 
1 
1 
2 
23,0 
Cəmi ,  
j
m
 
5 
11 
17 
14 
3 
50 
- 
Qrup ortası (
j
x
), min AZN 
25,5 
29,3 
31,9 
35,4 
39,2 
- 
- 
 
Cədvəldə 
i
x     və 
i
y   ilə  uyğun  intervalların  ortası, 
i
n     və 
j
m
  ilə  onların  uyğun  olaraq  çəkiləri 
işarə edilmişdir. Tələb olunur ki,  x və y göstəriciləri arasındakı kovariasiyanı hesablayın.  
Həlli:
  Əvvəlcə  orta  göstəriciləri  hesablayaq.  Hər  bir 
i
x -nin  (i=1,2...l)  qiyməti  üçün,  daha 
doğrusu cədvəlin hər bir sətri üçün qrup ortası 
i
y  aşağıdakı kimi hesablanır: 
i
m
j
ij
j
i
n
n
y
y



1
,                
l
i
,
1

 
 
 
             
(1.23) 
Burada, 
)
,
(
j
i
ij
y
x
n

  cütlərinin  çəkiləri  və  ya  tezlikləridir.  Məsələn, 
)
,
(
1
1
y
x
  cütü  üçün  çəki  
(tezlik) 
2
11

n
; 
)
,
(
2
1
y
x
-cütü üçün çəki (tezlik) 
1
12

n
; uyğun olaraq 
0
13

n
;  
0
14

n
;  
0
15

n
. 
2
11

n
 olması o deməkdir ki, əsas istehsal fondları 20-25 min AZN (ortası 22,5 min AZN) olan 
(
1
x ) müəssisə içərisində gündəlik məhsul istehsalı 7-11 ton olan (ortası 22,5 min AZN) olan 
1
(x ) 
müəssisə    içərisindən  gündəlik  11-15  ton  (ortası  13  ton)  olan 
)
(
2
y
  müəssisə  1  dənədir. 

13
n

14
n
0
15

n
 olması o deməkdir ki, əsas istehsal fondları 20-25 min AZN (ortası 22,5) olan 
1
(x )  müəssisələri  içərisindən  heç  birinin  gündəlik  məhsul  istehsalı  orta  hesabla  13  tondan  çox 
deyil.  
Aydındır ki,  



m
j
ij
i
n
n
1
,             
l
i
,
1

                
 
 
(1.24) 
Məsələn,  

 
 
 
46 
2
1
1
0
0
0
.
.
.
3
0
0
0
1
2
55
54
53
52
51
5
15
14
13
12
11
1






















n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
 
 
 
və   
m
j
n
m
l
i
ij
j
,
1
,
1




                          
 
(1.25) 
Məsələn,  
3
1
2
0
0
0
.
.
.
5
0
0
0
3
2
55
45
35
25
15
5
51
41
31
21
11
1






















n
n
n
n
n
m
n
n
n
n
n
m
 










l
i
m
j
ij
m
j
j
l
i
i
n
m
n
n
1
1
1
1
 
              
 
(1.26) 
Bizim nümunədə n=50 . Deməli, 
(1.23)
 düsturuna görə, 
0
.
23
;
3
.
20
;
8
.
17
.
3
.
13
13
0
4
*
17
6
*
13
3
*
9
3
.
10
3
0
0
0
1
*
13
2
*
9
5
4
3
2
25
5
24
4
23
3
22
2
21
1
2
1
15
5
14
4
13
3
12
2
11
1
1
























y
y
y
n
n
y
n
y
n
y
n
y
n
y
y
n
n
y
n
y
n
y
n
y
n
y
y
 
Analoji olaraq, hər bir    
j
x
  üçün           
             
j
l
i
ij
i
j
m
n
x
x



1
,   
m
j
,
1

 
                          
(1.27)
 
2
.
39
;
4
.
35
;
9
.
31
;
3
.
29
5
.
25
5
0
*
5
.
42
0
*
5
.
32
3
*
5
.
27
2
*
5
.
22
5
4
3
2
1
51
5
41
4
31
3
21
2
11
1
1














x
x
x
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
x
 
Orta kəmiyyətlər 
n
n
x
x
l
i
i
i



1
 
 
 
 
 
(1.28) 
n
m
y
y
m
j
j
j



1
 
 
 
 
 
(1.29) 
Düsturları ilə hesablandığından, 

 
 
 
47 
1
.
32
50
2
*
5
.
42
11
*
5
.
37
21
*
5
.
32
13
*
5
.
27
3
*
5
.
22
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1











n
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
x
 min AZN 
və ya  
AZN
x
x
x
x
x
x