Y a d u L l a h ə s ə n L i ekonometrikaya giriġ DƏrslik

1.14.2.
 
 Sıfır hipotezin qurulması 
Tutaq ki, hipotezin qurulması eksperimenti qabaqlayır. Yəni bizə artıq hansısa 
hipotetik əlaqə və ya asılılıq məlumdur. Məsələn, Keyns iqtisadi nəzəriyyəsindən 
məlumdur  ki,  pula  tələb  üç  transaksion,  ehtiyatlaşma  və  spekulyativ  motiv 
əsasında  formalaşır.  Transaksion  motiv  dedikdə  xərc  əməliyyatlarının  ödənilməsi 
nəzərdə  tutulur.  İnsanlar  əmtəə  və  xidmətlər  bazarından  gündəlik  ehtiyaclarını 
ödəmək üçün aldıqları məhsullara görə pul ödəmələri olurlar ki, bu da pula tələb 
yaradır. Ehtiyatlaşma motivi dedikdə insanların əvvəlcədən nəzərdə tutulmadıqları 
işlərə  görə  pulun  lazım  olması  nəzərdə  tutulur.  Ona  görə  də  əvvəlcədən  nəzərdə 
tutulmayan iş üçün müəyyən miqdar ehtiyatda pul saxlayırlar. Bu isə pula tələbin 
həcmini  artırmış  olur.  Spekulyativ  motiv  dedikdə  puldan  pul  qazanmaq  nəzərdə 
tutulur.  Bu  məqsədilə  insanlar  pula  tələb  yaradırlar.  Məsələn,  qiymətli  kağızlar 
bazarından səhm və istiqraz alıb sonradan onu satmaqla pul qazanmağı pula tələbin 
spekulyativ motivinə nümunə göstərmək olar. Belə ki, həmin pul vasitəsilə insanlar 
əmtəə  və  xidmətlərin  alınması  və  ehtiyatda  saxlanması  üçün  deyil,  qiymətli 
kağızlar alınmasına sərf edirlər. Sonra isə onu sataraq daha çox pul qazanırlar.  
Belə hesab edə bilərik ki, maliyyə bazarı Azərbaycanda tam formalaşmadığı 
və  əhalinin  həyat  səviyyəsi  yuxarı  olmadığı  üçün  insanlar  əsasən  pula  tələbi 
gündəlik əmtəə və xidmətlərin alınması üçün yaradırlar. Ona görə də ümumi pula 
tələb  (M)  yaradılan  əmtəə  və  xidmətlərin  dəyərini  (ÜDM)  ödəmək  üçün,  yəni 
transaksion  motiv  əsasında  yaranır.  Başqa  sözlə  ölkədə  pula  tələb  səviyyəsi  faiz 

 
 
 
64 
stavkası və digər amillərdən deyil, əsasən ümumi daxili məhsulun (Y) həcmindən 
asılıdır. 
M = β
1
 + β
2
Y + u 
burada, 
β
1
 
və
 β
2
 parametrlərdir, u isə təsadüfi həddir. 
Ümumi pula tələbin həcmi (daxil edilən təsadüfi kəmiyyətin effektini nəzərə 
almadan)  ÜDM-in  həcmindən  yaranan  (transaksion  motivə  görə)  pula  tələbin 
həcmi ilə üst-üstə düşür. Bu şərt daxilində sıfır hipotezi (H
0
 ilə işarə olunur) belə 
ifadə edə bilərik: 
β
2
  əmsalı  vahidə  bərabərdir  (
β
2
=0
). Həmçinin alternativ hipotez 
də qura bilərik (H
1
 ilə işarə olunur): Əgər eksperimental yoxlamalar H
0
 hipotezinin 
doğru  olmadığını  üzə  çıxararsa,  onda  iqtisadiyyatda  ümumi  pula  tələbin  həcmi 
təkcə transaksion motivlə deyil, digər motivlər əsasında da formalaşır. Yəni, 
β
2 
≠1 
Yuxarıda qəbul olunan hipotezi aşağıdakı kimi işarələmələrlə yaza bilərik: 
H
0 
:  
β
2 
=1
 (Sıfır hipotez) 
H
1 
: 
β
2 
≠1 
  (Alternativ hipotez) 
Əgər  biz  doğrudan  da  hesab  edirik  ki,  ümumi  pula  tələbin  həcmi,  ancaq 
transaksion  motiv  əsasında  yaranır,  onda  sıfır  hipotezin  (H
0
)  doğru  olmasına 
çalışmalıyıq.  
Praktikada  sıfır  hipotezi  elə  qurulur  ki,  onu  doğru  hesab  edilən  alternativ 
hipotezin  köməyilə  yoxlamaq  mümkün  olsun.  Məsələn,  istehlakın  həcmi  (C), 
gəlirin həcmindən (Y) xətti asılıdır: 
C = β
1
 + β
2
Y + u 
 
Burada  biz  sıfır  hipotez  kimi  istehlakın  həcminin  gəlirdən  asılı  olmadığını 
qəbul  etsək  (daha  doğrusu 
β
2
=  0),  onda  əks  proseduradan  istifadə  edə  bilərik. 
Alternativ hipotez ondan ibarət olur ki, 
β
2
 sıfra bərabər deyil, yəni gəlir səviyyəsi 
istehlak  səviyyəsinə  təsir  edir.  Əgər  biz  sıfır  hipotezi  rədd  etsək,  onda  istehlakın 
gəlirdən  asılı  olduğu  müəyyən  olunur.  Yuxarıda  qəbul  olunan  işarələmələrdən 
istifadə etsək sıfır və alternativ hipotezi riyazi şəkildə aşağıdakı kimi yaza bilərik: 
H
0 
:  
β
2 
= 0
  
H
1 
: 
β
2 
≠ 0 
   
İndi isə cüt reqresiya modelinin təhlilinə baxaq. 

 
 
 
65 
y
i
 = β
1
 + β
2 
x
i
 + u
i
   
 
 
 
 
 
Burada, sıfır hipotezinin yoxlanılmasına,  
β
1
 sabit əmsalın və 
β
2
 meyllilik əmsalının 
əhəmiyyətliliyinin yoxlanılması proseduru kimi baxılır. Ümumi hala baxsaq, yəni 
sıfır hipotez kimi 
β
2
-nin hansısa bir konkret qiymətə bərabər olduğunu qəbul edək: 
0
2
2
1
0
2
2
0
:
;
:






H
H
 
Biz  məqsədimizdən  asılı  olaraq  sıfır  hipotezin  qəbul  edilməsi  və  ya  rədd 
edilməsi üçün cəhdlər edə bilərik. Ancaq, bu zaman yaddan çıxarmaq lazım deyil 
ki, əvvəldən hesab olunur ki, Qauss-Markov şərtləri ödənilir. 
Əgər  H
0
  hipotezi  doğrudursa,  onda  reqresiya  təhlili  vasitəsilə  tapılan  b
2
 
qiyməti 
0
2

  riyazi  gözləməsi  və 
)
var(
2
x
n
u

  dispersiya  ilə  normal  paylanmaya 
malikdir. Belə fərziyyə qəbul edək ki, qalıq (u) həddi normal paylanmaya malikdir. 
Əgər bu belədirsə, onda 
b
2
 kəmiyyəti də normal paylanmaya  malikdir. 
(bax: şəkil 
1.10) 
  
b
2
 qiymətlənməsi üçün standart kənarlaşma (s.k) aşağıdakı kimi hesablanır: 
)
var(
)
.
(
2
2
x
n
k
s
u
b


 
Əgər  sıfır  hipotez  doğrudursa  (
0
2
2
0
:



H
),  onda  normal  qanunun 
strukturunu nəzərə alsaq görərik ki, 
b
2
 parametrinin qiymətləndirilməsindən alınan 
əksər qiymətlər 
0
2

-dan iki standart kənarlaşma sərhəddində yerləşir.
 
 
 
 

 
 
 
66 
 
2
b  - nin ehtimal sıxlıq 
funksiyası
 
           0  
     
  
s.k
*
2
0
2


.
.k
s

0
2

 
0
2
b
 
  
s.k
*
2
0
2


.
.k
s

0
2

                                    
2
b        
 
Şəkil 
1.10
. b
2
 qiymətlənməsi üçün normal paylanmanın strukturu (standart səhv (kənarlaşma) 
(s.k) və riyazi gözləmə (
0
2

) ilə işarə olunmuşdur). 
 
 
1.15.
 
Statistik paylanmalar  
 
1.15.1.
 
Normal paylanma 
Normal 
paylanma 
(t.türkcə: 
Normal  Dağılım;  rus.:  Нормальное 
распределение;  ing.:  Normal  Distribution)
  məşhur  kəsilməz  paylanmadır. 
Təsadüfi  kəmiyyətin  paylanmasının  ən  mühüm  tipidir.  Dəqiq  desək  çoxlu  sayda 
bir- birindən ancaq miqyasa və sürüşməyə görə fərqlənən normal paylanan tam ailə 
mövcüddur. Riyazi gözləməsi  
μ və dispersiyası σ
 2 
olan normal paylanma 
)
,
(
2


N
 
kimi  işarə  edilir.
  Standart  normal  paylanma  dedildə  riyazi  gözləməsi  sıfır  və 
dispersiyası  olan birə bərabər olan normal paylanma başa düşülür və 
)
,
( 1
0
N
 kimi 
yazılır
. 

 
 
 
67 
Birölçülü  halda  x-təsadüfü  kəmiyyətinin  normal  paylanmasının  sıxlıq 
funksiyası aşağıdakı kimidir
11
:
 
 
2
2
2
2
1




)
(
)
(



x
e
x
f
 
Standart normal paylanmasının sıxlıq funksiyası aşağıdakı kimidir: 
, 
burada, e –natural ədddir: 
3.14
2.72;
e




xp
e
 . 
Təsadüfi  kəmiyyətə  bir-birindən  asılı  olmayan  çoxlu  sayda  toplananın  cəmi  kimi 
baxmaq  olar.  Bu  toplananların  hər  birinin  ölçüsü  bütün  cəmlə  müqayisədə  az 
fərqlənir. Ühtimal nəzəriyyəsinin “Mərkəzi limit teoremi”nə əsasən gözləmək olar 
ki,  hər  bir  toplanan  təsadüfü  kəmiyyətin  paylanması  normal  paylanmadan  az 
fərqlənir. Bu normal paylanmanın aparıcı paylanma olmasını izah edir. Demək olar 
ki,  əksər  praktiki,  o  cümlədən  iqtisadi  məsələlərdə  göstəricilərin  normal 
paylanması tələb olunur.  
İnteqral  ehimalın  paylanması  funksiyası  adətən 
erf(x)
  xüsusu  funksiyaı  ilə 
ifadə edilir:
  
 
 
Birölçülü  normal  paylanmanın  sıxlıq  funksiyasının,  habelə  ehtimal 
paylanması  funksiyasının qiymətləri  hesablanaraq  cədvəl şəkilinə salınmışdır.  Bu 
cədvəllər ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikaya aid əksər kitablarda vardır. 
                                                 
11
 Математика и кибернетика в экономике, Словарь-Спровочник, М.:Экономика,1975, ст.383-385 

 
 
 
68 
Normal  paylanma  ilə  əlaqəli  bir  sıra  paylanma  vardır.  Məsələn,  bir  ölçülü 
normal paylanma ilə 
2

-paylanma və t-paylanma əlaqəlidir.
 
 
1.15.2.
 
2

(xi-kvadratı) paylanması 
 
k sərbəstlik dərəcəsi ilə
  x
i-kvadratı paylanması 
(t.türkcə:Ki-Kare Dağılım; 
rus.:  Распределение  хи-квадрат;  ing  Chi-Square  Distribution)
  –  sıfr  riyazi 
gözləmə  və  birə  bərabər  dispersiyası  (və  ya  birə  bərabər  standart  səhvi)  olan  k 
sayda təsadüfü kəmiyyətin kvadratları cəmidir. Bu paylanma normal paylanmaya 
yaxındır. 
Bu  paylanma  standart  normal  paylanmış  təsadüfü  kəmiyyətlərin  kvadratlarının 
cəmidir. 
Tutaq  ki, 
k
X
X
X
,...,
,
2
1
-birgə  asılı  olmayan  standart  normal  təsafüfü 
kəmiyyətlərdir, onda, 
                  
2
2
2
2
1
k
X
X
X
Y




...
    
təsadüfü kəmiyyəti k sərbəstlik dərəcəsi ilə xi-kvadrat paylanmasına malikdir. 
xi-kvadratı paylanmasından adətən statistik hipotezlərin yoxlanmasında geniş 
istifadə  olunur.  Bu  paylanma  ilə  əlaqədar  olan  razılıq  kriteriyası 
(критерий 
согласия)
 məşhurdur ki bu statistika xi-kvadratı paylanmasına malikdir. Həmcinin 
bu paylanmadan seçmələrin dispersiyalarının qiymətləndirilməsi zamanı da istifadə 
edilir.  
xi-kvadratı paylanmasından ehtimal sıxlıq funksiyası aşağıdakı kimidir: 
 
İnteqral sıxlıq funksiyası isə aşağıdakı kimidir:  
 
 
Burada, 
(.)
Г
 -qanma- funksiya, 
(.,.)

 isə tam olmayan qamma- funksiyadır. 

 
 
 
69 
 
Qamma-funksiya  həqiqi  ədəd  halında  faktorialın  ümumiləşməsidir.  x=0 
noqtəsində və ya x-ın mənfi tam qiymətlərində qamma-funksiya 
polyosa
(полюса) 
malik  olur.  Müsbət  həqiqi  x  və  ya  mənfi  tam  olmayan  x  üçün  qamma-funksiya 
aşağıdakı düsturla müəyyən olunur: 
 
 
Arqumentin müsbərt tamqiymətli qiymətlərində aşağıdakı düstur doğru olur: 
Γ(k)=(k-1)! 
Qeyd  etmək  lazımdır  ki,  yuxarıda  göstərdiyimiz  fdüsturlar  kompleks 
arqumentlər üçün də təıtbiq edilə bilər. Lakin, kompleks arqumentlər üçün  qamm-
funksiya nadir hallarda istifadə olunur. 
Tam olmayan qamma- funksiya aĢağıdakı kimi müəyyən olunur: 
 
 
 
Bu  düsturlar  aşağı  tam  olmayan  qamma-funksiyanı  və  yuxarı  tam  olmayan 
qamma-funksiyanı  verir(  hansı  inteqrallaşdırma  sərhədinin  -aşağı  yoxsa  yuxarı 
qeyd olunmasından asılı olaraq).  
  
Bu  fuksiyalarla  requlyarlaşdırma  funksiyaları  adlandırılan  qamma-
funksiyaları sıx əlaqəlidir: 
 
 
1.15.3.
 
 Styudentin t-paylamması  
 
t- paylanma təkcə normal paylanma ilə deyil 
2

-paylanma ilə də əlaqəlidir.  

 
 
 
70 
Başqa sözlə, təsadüfü  
2
1

k
Z
t

, 
kəmiyyətinin  paylanmasına  Styudent  t-paylanması
(rus.:  t-распределение 
Стьюдента; ing.:  t-distribution Student's)
 deyilir. Styudentin t- paylamması 
 
bir 
parametrli
  (həmin  bu  parametr  sərbəstlik  dərəcəsinin  sayını  göstərir)
  təsadüfi 
kəmiyyətin  kəsilməz  birölçülü  paylanmasıdır.  Burada, 
Z
  -  müşahidə  olunan 
təsadüfü  kəmiyyətdir  və  standart  normal  paylanan  (yəni,  riyazi  gözləməsi  sıfır, 
dispersiyası  birə  bərabər  olan    təsadüfü  kəmiyyətdir:  N(0;  1)); 
2

  -  isə   
Z
  -dən 
asılı  olmayan  təsadüfi  kəmiyyətdir,  və  k  sərbəstlik  dərəcəsi  ilə  xi-kvadratı 
paylanmasına malikdir.  
  Styudent paylanmasının ehtimal sıxlıq funksiyası aşağıdakı kimidir: 
 
 
 
2
1
2
1
2
2
1





















 


k
n
x
k
k
k
x


, 
burada,  








0
1
dt
t
e
y
y
t
 - Eylerin Qamma funksiyasıdır (tam müsbət qiymətlər 
üçün 


!
1
n
n



). 
t-paylanmaya  malik  təsadüfü  kəmiyyətin  onun  əyrisindən  çıxır  ki,  riyazi  gözləmə 
sıfra  bərabərdir,  dispersiyası  isə  k/(k-2)  ədədinə  bərabərdir.  Yəni, 
 
0


)
(t
E
t
M
, 
 
2



k
k
t
t
D
)
var(
. 
Styudent  paylammasının  şəkili  normal  paylanmanın  şəkilinə  oxşayır. 
Aşağıdakı şəkildə standart normal və  t-paylanmanın sıxlıq funksiyalarının qrafiki 
təsviri  verilmişdir.  Sərbəstlik  dərəcəsinin  sayı  artdıqca  normal  paylanmaya  daha 
yaxın olur. Fərq ondadır ki, Styudent paylammasında quyruq normal paylanmaya 
nəzərən daha az sürətlə sıfıra yaxınlaşır. (
şəkil NT).
 

 
 
 
71 
 
 
 
 
Şəkil  NT. 
Standart  normal  paylanmanın  sıxlığına  (N
0 
,1
)
 
nəzərən  Styudent 
paylanmasının sıxlığının (T
k
) müqayisəsi. 
 
 
Şəkil NT
-dan göründüyü kimi sınaqların sayı  


k
  olduqda t-paylanma 
normala yaxınlaşır. Praktiki olaraq müəyyən edilmişdir ki, k > 30 olduqda 
t-paylanmanı  təxmini  olaraq  normal  paylanma  hesab  etmək  olar.  Qeyd 
edək ki, k-ın kiçik qiymətlərində Styudent paylanması normal paylanmadan 
kifayyət qədər fərqlənir. 
  Tutaq ki, x
1
,...,x
n 
 normal paylanan x-təsadüfü kəmiyyətinə uyğun seçmədir. 
Onda, 
n
s
x
E
x
/
)
(
_

  təsadüfü  kəmiyyəti  (n-1)  sərbəstlik  dərəcəsi  ilə  Styudent 
paylanmasına və  ya  t-paylanmaya  malikdir; 
2
1
2
1
)
(
_
x
x
n
k
k




  təsadüfü  kəmiyyəti  isə 
(n-1)  sərbəstlik  dərəcəli 
2

-paylanmasına  malik  olur.  Burada, 
2
s
-təsadüfü  x 
kəmiyyətinin  seçmə  dispersiyasıdır, 
_
x
-isə  seçmədəki  orta  qiymətdir.  Bu 
kəmiyyətlər aşağıdakı kimi hesablanır: 
1
2
1
2





n
x
x
s
n
k
k
)
(
_
;    
n
x
x
n
k
k



1
_
 
Qeyd edək ki, təsadüfü kəmiyyətin seçmə üzrə statitik xarakteristikalarının 
hesablanması zamanı, məsələn orta kvadratik kənarlaşmanı (
x
s
), 

 
 
 
72 
2
1
1
)
(
_
x
x
n
s
n
k
k
x




, (burada, x
k
- təsadüfü x kəmiyyətinin seçmədə aldığı k-cı 
qiymətini  göstərir.  k=1,2,...,n;  n-seçmədəki  müşahidələrin  sayıdır,  başqa  sözlə  x-
kəmiyyətinin qiymətlərinin sayıdır.). 
düsturu ilə hesabladıqda, anakütlədəki müvafiq standart səhvin həqiqi qiymətindən 
müəyyən  meyl  yaranır.  Belə  ki,  bu  zaman  sistematik  olaraq,  uyğun  parametrin 
anakütlədəki dispersiyasını azaldır
12
. Ona görə də 
2
x
s
 kəmiyyətini vahiddən böyük 
1

n
n
 əmsalına vurulur və dispersiyanın meylsiz qiyməti yaranır. Statistik qiymətin 
nəzəri  cədvəlində  (anakütlədəki  paylanma  müvafiq)  seçmədəli  müşahidələrin 
sayından  deyil,  sərbəstlik  dərəcəsibdən  istifadə  edilir.  Sərbəstlik  dərəcəsi 
seçmədəki  müşahidələrin  sayından,  qiymətləndirilən  göstəricinin  tabe  olduğu 
əlaqənin  sayını  çıxmaqla  alınır.  Məsələn,  Styudent  paylanması  cədvəlindən 
müşahidələrin  sayı  n  olan  kiçik  seçmədəki  orta  qiymət  üçün  istifadə  etdikdə 
sərbəstlik  dərəcəsi  n-1  olur.  Çünki,  seçmədəki  orta  qiyməti  hesabladıqda  bu 
kəmiyyət seçmədəki hədlərin cəmi ilə əlaqəli olur. 
Qeyd  edək  ki,  Bu  paylanma
13
  XIX  əsrin  əvvəllərində  Böyük  Britaniyada 
Qinnesin  pivə  zavodunda  pivənin  keyfiyyətinin  yoxlanmasını  həyata  keçirən 
Uilyam  Hossen  tərəfindən  yaradılmışdır.  Zavodun  rəhbərliyi  qarşısında  
kommersiya sirrinin yayılmamağı öhdəliyinin olması ilə əlaqədar olaraq Hossen öz 
məqaləsini  “Biometrika” jurnalında “Student” (Tələbə) ləqəbi ilə dərc etdirmişdir. 
O  zamandan  etibarən  bu  paylanma  Styudentin  t-paylanması  kimi  elmə  daxil 
olmuşdur. 
 
1.15.4. F-paylanma 
 
                                                 
12
 Математика и кибернетика в экономике, Словарь-Спровочник, М.:Экономика,1975, ст.255 
13
 Styudentin t-paylanması bir statistikadır. Bu statistikadan seçmədəki orta qiymətin və ya dispersiyanın 
qiymətləndirilməsində meyar (kriteriya) kimi istifadə etdikdə t-kriteriya və ya t-test adlandırılır. 

 
 
 
73 
Əyər  bizdə  iki  təsadüfü 
Y
1 
  və  Y
2 
  kəmiyyətləri  olarsa  və  onlar  müvafiq 
olaraq a və b sərbəstlik dərəcələri ilə xi-kvadratı paylanmasına malikdirlərsə onda 
onların nisbətinin
 
 
paylanması mövcuddur. Bu a və b sərbəstlik dərəcəsi ilə   F-paylanmma 
(t.türkcə: 
F-  Dağılım;  rus.:  F-  распределение;  ing.:  F-Distribution)
  adlanır.  Həmçinin  bu 
paylanma  FiĢer  paylanması  adı  ilə  də  məşhurdur.  Buradan  göründüyü  kimi  F-
paylanma t-paylanmadan fərqli olaraq iki parametrə (a və b) malikdir. Hər hansı a 
və  b  üçün  F-paylanmanın  ehtimal  sıxlıq  funksiyasının    şəkildə  təsvir  olunmuş 
qrafikindən  görmək olar ki parametrlərin (a və b sərbəstlik dərəcələrinin)  artması 
ilə F-paylanma Normal paylanmaya yaxınlaşır. 
 Ehtimal  sıxlıq  funksiyasının    analtik  şəkili 
aşağıdakı kimidir:  
 
F-paylanmanın inteqral sıxlıq funksiyası 
aşağıdakı kimidir:  
 
Burada,  B(.,.)  –Beta-funksiya,  I(.)  requlyarlaşdırılan  tam  olmayan  Beta 
funksiyadır. 
Beta-funksiya aşağıdakı kimi təyin edilir: 

 
 
 
74 
 
Beta-funksiyanı qamma-funksiya ilə ifadə edən digər bir düsturda mövcuddur
: 
 
Tam olmayan Beta –funksiya 
aşağıdakı kimi təyin edilir: 
 
 
. 
Bu funksiya ilə requlyarlaşdırılan 
Tam olmayan Beta –funksiya ilə sıx 
əlaqəlidir. 
 
Tam olmayan Beta –funksiya ya statistikada tez-tez rast gəlinir. Məsələn, binomial 
paylanma, F-paylanma və Styudentin t-paylanması bu funksiya ilə ifadə olunur.