Y a d u L l a h ə s ə n L i ekonometrikaya giriġ DƏrslik

 
2.2.
 
Ən kiçik kvadratlar üsulu 
 
Tutaq  ki,  x  iqtisadiyyatı  xarakterizə  edən  hər  hansı  bir  göstəricisidir. 
(məsələn, ölkədə və ya müəssisədə işləyənlərin sayı,  əsas fondların miqdarı və s.). 
x  iqtisadi  göstəricinin  qiymətinin  dəyişməsi  digər  bir  iqtisadi  göstərici  olan  y  
iqtisadi  göstəricisinin  məsələn,  ölkə  və  ya  müəssisənin  məhsul  istehsalının 

 
 
 
95 
həcminin dəyişməsinə səbəb olur. Başqa sözlə x və y iqtisadi göstəriciləri arasında 
funksional    asılılığı  y=f(x)  kimi  ifadə  edək.  Bizdən  bu  asılılığın  konkret  aşkar 
şəkilinin  müəyyənləşdirilməsi  tələb  olunur.  Bu  məqsədlə  n  sayda  sınaq  və  ya 
müşahidə aparılaraq (x
i
, y
i
), i=1...n cütləri üçün aşağıdakı cədvəl düzəldilmişdir. 
                                                         Cədvəl 2.1 
x  
1
x  
2
x  
... 
i
x  
… 
1

n
x
 
n
x  
y
 
1
y  
2
y  
... 
i
y  
… 
1

n
y
 
n
y  
  
Bu məsələnin həlli üçün ilk növbədə bu verilənləri qrafik olaraq təsvir edək: 
düzbucaqlı koordinat sistemində koordinatları uyğun olaraq (x
1
,  y
1
),  (x
2
,  y
2
),  .  .  .,  
(x
i
, y
i
), . . ., (x
n-1
, y
n-1
), (x
n
, y
n
) olan A
1
, A
2
, . . ., A
i
, . . ., A
n-1
, A
n
 nöqtələrini quraq 
(bax: şəkil 2.1). 
  
Şəkil 2.1. 
x və y dəyişənlərinin faktiki qiymətləri və  onlar arasındakı asılılığın qrafiki təsviri. 
 
Əgər x və y dəyişənləri arasında hər hansı asılılıq varsa, onda  A
1
, A
2
, . . ., A
i
, 
.  .  .,  A
n-1
,  A
n
    nöqtələrinin  qrafik  təsviri  müəyyən  xəttin  üzərində  və  ya  ətrafında 
olacaqlar.  Əgər  müşahidələrdən  alınmış  bütün    A
1
,  A
2
,  .  .  .,  A
i
,  .  .  .,  A
n-1
,  A
n
  
nöqtələri    PQ    düz  xəttinin  üzərində  yerləşərsə  (  bu  çox  nadir  halda  rast  gəlinə 
bilər) məsələ xeyli sadələşər. Belə ki, kifayətdir ki, (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), . . .,  (x
i
, y
i
), . . 
., (x
n-1
, y
n-1
), (x
n
, y
n
) nöqtələrindən ixtiyari ikisini götürüb onlardan keçən düz xəttin 

 
 
 
96 
tənliyini yazsaq x və y dəyişənləri arasındakı xətti asılılığı müəyyən etmiş olarıq. 
Qeyd  edək  ki,  praktikada  ideal  hal  çox  nadir  olaraq  alına  bilər  çünki,  x  və  y 
dəyişənlərinin  ölçüləri  müəyyən  dəqiqliklə  hesablanır,  onların  müəyyən  ölçülərlə 
verilmiş  statistik  qiymətlərinə  həmişə  təsadüfi  xarakterli  səbəblər  təsir  edir.  Ona 
görə  də  müşahidələrdən  alınmış  A
1
,  A
2
,  .  .  .,  A
i
,  .  .  .,  A
n-1
,  A
n
  nöqtələri  PQ    düz 
xəttinin 
üzərində 
yerləşən
 
n
1
-
n
2
1
A
,
A
,...,
'
...,
,
A
,
A




i
A
 
nöqtələri
ndən 
fərqlənəcəkdir.  Əgər (x
1
,  y
2
),  (x
2
,  y
2
),…,(x
i
,  y
i
),…,(x
n-1
,  y
n-1
),  (x
n
,  y
n
)  nöqtələri  düz 
xətt boyunca səpələnibsə onda axtarılan asılılığı  
x
y
x



1
0


                                           
(2.1) 
kimi axtarmaq olar. 
Beləliklə məsələ 
0

 və 
1

 əmsallarının (parametrlərin) tapılmasına gətirilir.  
 
(2.1)
  tənliyi  bizə  x
1
,  x
2
,  .  .  .,  x
i
,  .  .  .,  .  .  .,  x
n-1
,    x
n
  -lərə  uyğun  elə 





n
1
-
n
i
2
1
y
,
y
,...,
y
...,
,
y
,
y
  ordinatlar  çoxluğu  verir  ki,  onlar  PQ    düz  xəttinin 
üzərində  yerləşərsən    A
1
,  A
2
,…,  A
i
  ,…,  A
n-1 
,  A
n
    nöqtələrinin 
n
1
-
n
i
2
1
y
,
y
,...,
y
...,
,
y
,
y
 ordinatları ilə üst-üstə düşmürlər. Müəyyən kənarlaşmalar 
olur. Onda tənliyin 
0

 və 
1

  parametrlərini dəyişməklə A
1
, A
2
,…, A
i
 ,…, A
n-1 
, A
n
 
nöqtələrinə 
yaxınlaşmaq 
və 
ya 
kənarlaşmaq 
olar. 
Kənarlaşmaları 
n
n
1
-
n
1
-
n
i
i
2
2
1
1
A
A
,
A
A
,...,
 
A
A
...,
,
A
A
,
A
A





  parçalarının  uzunluqları  xarakterizə 
edir  və  onları  uyğun  olaraq 
n
n
i






,
,...,
,...
,
1
2
1
  ilə  işarə  edək
  (bax:  şəkil  2.1).
 
Deməli, məsələ xəttin tənliyinin tapılmasına gətirilir və bu tənlik axtarılan asılılığı 
ifadə  edəcək.  Çoxlu  sayda  xəttlər  çəkmək  olar  ki,  bu  nöqtələr  həmin  xətlərin 
ətrafında yerləşmiş olsun. Bu halda xətlərdən hansının seçilməsi və onun tənliyini 
qurmaq  məsələsi  yaranır.  Aşağıdakı  kimi  hərəkət  edirlər:  əvvəlcə  verilənlərin 
hərtərəfli analizi əsasında və qrafikdəki nöqtələrin yerləşməsinə görə müəyyən tip 
tənlik 
seçilir. 
Tənlik 
seçildikdən  sonra  yalnız  onun  parametrlərini 
müəyyənləşdirmək qalır. 

 
 
 
97 
Yuxarıda qeyd etdik ki, məqsədimiz elə bir xətt (əyri) keçirməkdir ki, bu xətt 
(əyri)  (x
1
,  y
2
),  (x
2
,  y
2
),…,(x
i
,  y
i
),…,(x
n-1
,  y
n-1
),  (x
n
,  y
n
)  nöqtələrindən    mümkün 
qədər yaxın keçsin. 
1806-da  fransız  riyaziyyatçısı  Lejandr  təklif  etmişdi  ki,  kənarlaşmaları 
kvadrata  yüksəldib  onların  çəminin  ən  kiçik  qiymətinin  tapılması  nöqtələrin 
yaxınlığından keçən ən yaxşı xəttin (əyrinin) tapılmasına imkan verir. Ona görə də 
Ən  Kiçik  Kvadratlar  Üsulu  (ƏKKÜ) 
(rus:  Способ  Наименших  Квадратов, 
ing.: Ordinary Least Squares (OLS) method)
 adlandırılmışdır
.
  
Tutaq ki, əlaqə 
(2.1)
 şəklindədir yəni xəttidir. 
(2.1)
 tənliyindən 
i
x
-lərə uyğun  
alınmış qiymətləri 

i
y
 və ya 
i
x
y
ilə işarə edək. Onda  
n
n
n
x
n
x
x
y
x
y
y
y
x
y
y
y
x
y
y
n

































1
0
2
2
1
0
2
2
1
1
1
0
1
1
2
1






 
olar. 
Lejandrın  təklif etdiyi kimi 
n



,....
,
2
1
  kənarlaşmalarını  kvadrata  yüksəldib 
onların çəminin (S) minimumunu tapaq: 

 



min
y
x
....
y
x
y
x
....
S
2
n
n
1
0
2
2
2
1
0
2
1
1
1
0
2
n
2
2
2
1
























 
Bu cəmdə 
0

və  
1

 parametrlərin qiyməti məlum deyil, (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), . . ., (x
n
, y
n
) 
cütlərinin  qiymətləri  isə  müşahidələrdən  məlumdur.  Deməli    S  çəminə 
0

  və 
1

 
parametrlərindən asılı funksiya kimi baxa bilərik. 


min
,
1
0



S
 
Məlumdur  ki,  funksiyanın  ekstremum  üçün  zəruri  şərt  ekstremum  nöqtəsində 
xüsusi törəmələrin sıfıra çevrilməsidir (Ferma teoremi).  












0
0
1
0


S
S
 

 
































0
2
.....
2
2
0
2
.....
2
2
1
0
2
2
2
1
0
1
1
1
1
0
1
0
2
2
1
0
1
1
1
0
n
n
n
n
n
x
y
x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x












 

 
 
 
98 




















i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
y
x
x
x
y
x
n
1
2
1
1
1
0
1
1
1
0




                        
(2.2)
 
(2.2) 
xətti tənliklər sistemini həll edib 
0

 və 
1

 parametrlərinin qiymətlərini tapıb 
(2.1)
 xətti reqressiya tənliyində yerinə yazsaq  y  dəyişəninin x-dən xətti asılılığının 
konkret şəklini tapmış olarıq. 
 İqtisadi  proseslərdə  bir  çox  hallarda  iqtisadi  göstəricilər  arasında  xətti 
asılılıq deyil, başqa asılılıq şəkilində olur.  
Əgər x və y  göstəriciləri arasında əlaqə  
1
0


x
y
x

                                                
(2.3) 
şəkildə olarsa, onda 
1
0
,


-i qiymətləndirməklə asılılığın konkret şəklini taparıq.  
Əgər əlaqə hiperbolik şəkildə olarsa, 
            
x
y
1
0




                                      
 (2.4) 
1
0
,


 parametrlərinin tapılması tələb olunur.  
Əgər əlaqə parabolik şəkildədirsə,  
2
2
1
0
x
x
a
y





                                       
(2.5) 
onda 
2
1
0
,
,



-in tapılması əlaqəni konkretləşdirir. 
Əgər 
(2.3)
 şəkilli asılılıq axtarılırsa, onda həmin asılılıq formasını asanlıqla 
xətti şəklə gətirə bilərik.  
Bərabərliyin hər iki tərifini loqarifmləsək, 
)
(
)
(
)
(
1
0
x
Ln
Ln
y
Ln




 
alarıq.  Burada 
*
0
0
*
*
)
(
 
,
)
(
 
,
)
(
 





Ln
y
y
Ln
x
x
Ln
  işarələmələrini  aparsaq,   
(2.3)
 
qeyri-xətti asılılığını 
                                      
*
1
*
0
*
x
y




                                                  
(2.6)
 
kimi  xətti  asılılığa  gətirmiş  olarıq. 
(2.6)
  -nın 
*
0

  və 
1

  tapmaq  üçün  normal 
tənliklər sistemi 
(2.2)
 sisteminə müvafiq olaraq aşağıdakı kimi olacaqdır. 

 
 
 
99 



















*
*
1
*
1
1
*
1
*
0
*
*
1
1
*
0
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
y
x
x
x
y
x
n




                                   
(2.7)
 
və ya 























)
(
 
)
(
 
))
(
 
(
)
(
 
)
(
 
)
(
 
)
(
 
)
(
 
1
1
2
1
1
0
1
1
1
0
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
y
Ln
x
Ln
x
Ln
x
Ln
Ln
y
Ln
x
Ln
Ln
n




         
(2.8)
 
olacaqdır. 
Deməli, 
(2.3)
  şəklində  asılılığın 
0

və   
1

parametrlərini 
(2.8)
  sistemindən 
tapmaq olar. 
Əgər dəyişənlər arasında hiperbolik asılılıq mövcuddursa, yəni 
(2.4)
  şəkilli 
asılılıq axtarılırsa, onda 
0

və  
1

 parametrləri aşağıdakı sistemdən tapıla bilər. 
     





















i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
x
y
x
x
y
x
n
1
2
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1




                                   
(2.9) 
Əgər  dəyişənlər  arasında 
(2.5)
  parabolik  asılılıq  axtarılırsa,  onda 
0

,
1

  və 
2

 parametrləri  








































n
1
i
i
2
i
n
1
i
4
i
n
1
i
3
i
n
1
i
2
i
n
1
i
i
i
n
1
i
3
i
n
1
i
2
i
n
1
i
i
n
1
i
i
n
1
i
2
i
n
1
i
i
y
x
x
x
x
y
x
x
y
x
x
n
x
x
2
1
0
2
1
0
2
1
0









                    
(2.10)
                           
normal tənliklər sistemindən tapılır. 
Nümunə  1
.  Aşağıda  verilmiş  cədvələ  əsasən  dəyişənlər  arasındakı  asılılığı  xətti  şəkildə 
axtarın və onun parametrlərini ən kiçik kvadratlar üsulu ilə tapın. 
                                                                                Cədvəl 2.2 
x 
-1 
1 
2 
3 
5 
6 
y 
7,2 
5,8 
5 
3,9 
2 
0,6 
 

 
 
 
100 
Həlli
:  Burada x və y dəyişənləri arasında xətti asılılıq olduğundan bu funksiyanın ümumi 
şəkli belədir: 
y=bx+a 
Yuxarıda  deyilənlərdən  göründüyü  kimi,  belə  asılılığın  şəklini  tapmaq  üçün,  yəni  a  və  b 
parametrlərini  müəyyənləşdirmək  üçün 
(2.2)
  tənliklər  sistemini  həll  etməliyik.  Bunun  üçün  əv-
vəlcə aşağıdakı köməkçi cədvəli düzəldək: 
  Cədvəl 2.3 
n 
x
i
 
y
i
 
2
i
x  
x
i
 y
i
 
1 
-1 
7,2 
1 
-7,2 
2 
1 
5,8 
1 
5,8 
3 
2 
5 
4 
10 
4 
3 
3,9 
9 
11,7 
5 
5 
2 
25 
10 
6 
6 
0,6 
36 
3,6 

 
16 
24,5 
76 
33,9 
 
Verilmiş  (x
i
,  y
i
),  i=1...n  koordinatlarına  uyğun  A
i
,  i=1...n  (burada  n=6)  nöqtələrini  düzbucaqlı 
koordinat sistemində göstərək. 
 
Şəkil 2.2 
Şəkil 2.2
-dən göründüyü kimi A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
 nöqtələri arasında demək olar ki, xətti 
asılılıq var. Deməli, bu asılılığın şəklini tapmaq üçün aşağıdakı sistemə müraciət etmək olar: 
































598
,
6
943
,
0
3
,
94
100
5
,
24
6
16
7
,
101
48a
-
228
196
48
128
)
3
(
9
,
33
16
76
)
8
(
5
,
24
6
16
a
b
b
a
b
b
a
d
a
b
a
b
 
Deməli, x və y dəyişənləri arasında asılılığın şəkli aşağıdakı kimidir: 
y = -0,943x +6,598 

 
 
 
101 
Nümunə  2. 
Azərbaycanda  1997-2004-illədə  ümumi  daxili  məhsulun  (ÜDM)  həçmi 
aşağıdakı çədvəldəki kimi olmuşdur:
 
Cədvəl 2.4 
İllər (t) 
1997 
1998 
1999 
2000 
2001 
2002 
2003 
2004 
ÜDM, milyard ABŞ 
dolları, (y) 
4,0 
4,5 
4,6 
5,3 
5,7 
6,2 
7,3 
8,5 
 
ÜDM-in zaman faktorundan asılılığının konkret şəklini tapın.  
Həlli: 
  Əgər  cədvələ  nəzər  yetirsək  görərik  ki,  ildən  ilə  ÜDM–in  həcmi  artır.  Bu  bizə  ilk 
baxışdan ÜDM-in zamandan asılı xətti funksiya kimi axtarmağımıza əsas verir. Beləliklə, 
t
y
1
0




 
Hesablamanın sadə olması üçün zaman faktoru t-ni t = (t-2000) kimi yazaq. Onda zaman faktoru 
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 kimi olacaq. 


































i
i
i
i
i
i
i
y
i
i
i
y
i
2004
1997
2
2004
1997
1
2004
1997
0
2004
1997
2004
1997
1
0
2000
2000
2000
2000
7




 













6
,
0
6
,
5
4
,
48
44
4
1
,
46
4
8
1
0
1
0
1
0






 
)
2000
(
6
,
0
3
,
5



t
y
 
Bu  onu  göstərir  ki,  baza  ili  olan  2000-ci  ildə  Azərbaycanda  ÜDM-in  həcmi  5,3  milyard  ABŞ 
dollarına bərabərdir və hər il orta hesabla baza ilinə nəzərən ÜDM-in həcmi 600 milyon ABŞ 
dolları artır. 
Tapşırıqlar 
Aşağıdakı  cədvəldə  Azərbaycanın  bir  sıra  iqtisadi  göstəricilərinin  statistik  qiymətləri 
verilmişdir. 
Cədvəl 2.5 
İllər 
Ümumi 
daxili 
məhsul (cari 
qiymətlərlə), 
milyard 
AZN 
ÜDM-
in 
deflyato
ru, %-lə 
İqtisadiyyat
da məşğul 
olanların 
orta illik 
sayı, milyon 
nəfərlə 
Əsas 
fondlar  
(nominal 
qiymətlə), 
milyard 
AZN 
Real ümumi 
daxili 
məhsul 
(1990-ci ilin 
qiymətləri 
ilə), min 
AZN 
Real əsas 
fondlar, 
(1990-ci 
ilin 
qiymətləri 
ilə), min 
AZN 
İstehlak 
xərcləri, 
milyard 
AZN 
Çəmi 
əhalinin 
sayı, 
milyon 
nəfərlə 
T 
NUDM 
UDMD 
L 
EF 
Y 
K 
C 
EHS 

 
 
 
102 
1995 
2,1 
645,8 
3,6 
12,2 
122,5 
700,3 
 
 
1996 
2,7 
126,5 
3,7 
15,5 
124,1 
705,2 
 
 
1997 
3,2 
109,2 
3.7 
15,6 
131,3 
650,1 
2.8 
7,8 
1998 
3,4 
99,1 
3,7 
16,3 
144,3 
685,5 
3.3 
7,9 
1999 
3,8 
102,2 
3,7 
16,9 
154,9 
696,7 
3,5 
8,0 
2000 
4,8 
112,5 
3,7 
18,1 
174,8 
661,8 
3,8 
8,0 
2001 
5,3 
102,5 
3,7 
21,0 
189,2 
746,4 
4,0 
8,1 
2002 
6,1 
103,1 
3,7 
22,3 
209,3 
770,4 
4,8 
8,1 
2003 
7,2 
104,0 
3,7 
25,4 
237,2 
843,6 
5,2 
8,2 
2004 
8,4 
108,4 
3,8 
29,1 
256,5 
889,5 
28,4 
8,3 
2005 
11,9 
110,2 
3,9 
 
330,0 
 
- 
8,4