Y a d u L l a h ə s ə n L i ekonometrikaya giriġ DƏrslik

1.
 
İstehlak xərclərinin (C) Ümumi Daxili Məhsuldan (Y) asılılığının  
Y
b
a
С



 
xətti  funksiyasının 
a
  və 
b
  parametrlərini  ƏKKÜ  ilə  tapın  və 
b
  əmsalının  iqtisadi 
mənasını göstərin.  
2. ÜDM-in (Y) əsas fondlar (K) və əhalinin sayından (L) asılı Kobb-Duqlas funksiyasının 






1
0
L
K
a
Y
 
y
L
Y







  və  
k
L
K







  ilə işarə etsək,  

k
y
а
0

 
alarıq. Burada, 
0
a  və 

parametrlərini  ƏKKÜ ilə tapın və 

 parametrlərinin iqtisadi 
mənasını göstərin. 
 
2.3.
 
Xətti cüt reqressiya modeli.  Statistik təhlil  
 
Tutaq ki, x və y təsadüfi kəmiyyətləri arasında xətti əlaqə mövcuddur: 
x
y




 
 
 
 
 
 
Fərz edilir ki, x və y-in bütün mümkün qiymətləri üçün belə bir əlaqə vardır. 
Müşahidə  edilən 
хi
  və 
yi
  kəmiyyətləri  arasındakı  düstura  təsadüfi  səhvi 
(rus: 
ошибка, ing.: eror)
 əlavə etsək: 
y
x
i
n
i
i
i
 


 

,
,
1
     
 
 
(2.11)
 
alarıq. Burada: 

i
- təsadüfi səhvdir. 

 
 
 
103 
Cüt  xətti  reqressiyanın  parametrlərinin  qiymətləndirilməsi  problemi  ondan 
ibarətdir ki, 
 
х
i
, 
 
y
i
müşahidələrinə uyğun 

  və

qiymətlərinin tapılması gərək 
Q - ”yaxınlıq meyarı”nın minimum qiymətini təmin etsin. Bunun üçün daha çox ən 
kiçik kvadratlar üsulundan (ƏKKÜ) istifadə edirlər. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, 
bu zaman minimallaşdırma meyarı kimi y-in müşahidə olunan və reqressiya tənli-
yinə  görə  hesablanan  (”nəzəri”)  qiymətlərinin  fərqlərinin  kvadratları  cəmi 
götürülür. 




min
2





i
i
i
bx
a
y
Q
, 
burada: 
i
x
  və 
i
y
-lər  məlum  kəmiyyətlər  (müşahidələr),  a  və 
b
  isə 

  və 

 
parametrlərinə  uyğun  qiymətlənmədir  (hələlik  məlum  deyillər).  Qiymətləndirilən 
reqressiya tənliyi 
i
e
i
x
b
a
i
y




 
 
 
 
 
(2.12)
 
şəklini  alır.  Burada: 
i
e
,
i

  səhvinin  müşahidə  olunan  qiymətidir.  ƏKKÜ-dan 
istifadə edilən zaman 
i

 səhvinə Qauss-Markov şərtləri adlanan aşağıdakı tələblər 
irəli sürülür: 
1) 
i

- təsadüfi kəmiyyətdir; 
2)
 
i

- nin riyazi gözləməsi sıfıra bərabərdir: 
 
0

i
M

; 
3) 

i
- səhvinin (kənarlaşmasının)  qiymətinin dispersiyası sabitdir; ixtiyari  
          
i
 və 
j
 üçün 
 
 
2





j
i
D
D
;  
4) 
i

- kəmiyyətləri müxtəlif 
j
i,
-larda statistik asılı olmayandırlar; 
5) 
i

- kəmiyyətləri 
x
i
 qiymətləri ilə statistik asılı deyillər; 
6) 
i

- kəmiyyəti 
 
2
;
0

N
 normal paylanmaya malikdir; 
Əgər (1, 2, 3, 4, 6) şərtləri (müddəaları) ödənilərsə, onda ƏKKÜ ilə alınan a 
və 
b
-nin qiymətləri aşağıdakı xassələrə malik olurlar: 
a) qiymətlənmə meylsizdir, daha doğrusu hər bir parametrin riyazi gözləməsi 
onun  həqiqi  qiymətinə  bərabərdir: 
 
 




b
M
a
M
;
.  Bu  göstərir  ki,  xətti 
reqressiyanın müddəalarında sistematik səhvlər mövcud deyil. 

 
 
 
104 
b) əgər müşahidələrin sayı kifayət qədər böyük olarsa, onda a-nın çox güman 
ki,  qiyməti 

  -nın  qiymətinə, 
b
-nin  qiyməti 

  -nın  qiymətinə  yaxındır.  Böyük 
ədədlər  qanununa  görə,  bu  onu  göstərir  ki,  qiymətlənmənin  tutarlılığı  (statistik 
əhəmiyyətliliyi) seçmənin ölçüsünü artırdıqda qalxır.          
Başqa sözlə, 
 
 
0
lim
;
0
lim






b
D
a
D
n
n
. 
c)  qiymətlənmə  bütün  meylsiz 

  və 

  qiymətlənmələri  içərisində  ən  kiçik 
dispersiyaya malik olduqda effektiv (səmərəli) adlanır. 
 
2.4. Reqressiya tənliyinin təsadüfi həddi haqqında ilkin Ģərtlər.  
 
Qauss-Markov şərtləri 
Ehtimal  nəzəriyyəsi  və  riyazi  statistika  kursundan  aydındır  ki,  reqressiya 
əmsalı  (

)  təsadüfi  həddin  (

)  xassəsindən  kifayət  qədər  asılıdır.  Daha  doğrusu 
ən  kiçik  kvadratlar  üsulu  ilə  tapılan  reqressiya  tənliyinin  parametrləri  (a  və  b) 
bütün  mümkün  nəticələrdən  ən  yaxşısı  olması  (
Anakütlədakı
  qiymətə  ən  yaxın 
olması) üçün təsadüfi hədd yuxarıda göstərilən altı şərti – Qauss-Markov şərtlərini 
ödəməlidir.  Qeyd  edək  ki,  müasir  ədəbiyyatlarda    reqressiya  tənliyinin  təsadüfi 
tərkibinin  üzərinə  qoyulan  ilkin  şərtlər  (Qauss-Markov  şərtləri)  daha  da 
təkmilləşdirilərək dörd şərt kimi formalaşdırılmışdır.[
10
, səh. 79-82]. 
Qauss-Markov şərtlərinə baxaq: 
1-ci Qauss-Markov Ģərti: 
0
)
(
)
(


i
i
M
E


. 
Bütün müşahidələr üçün təsadüfi kəmiyyətlərin riyazi gözləmə sıfırdır. 
Birinci  şərtin  mahiyyəti  ondan  ibarətdir  ki,  ixtiyari  müşahidədə  təsadüfi  
həddin riyazi gözləməsi sıfır olmalıdır.  Bu o deməkdir ki, təsadüfi səhv sistematik 
olaraq  müsbət  və  mənfi  qiymətlər  alır  və  bu  müsbət  və  mənfi  qiymətlər  orta 
hesabla bir-birini yox edir.  
reqressiya  tənliyinə  sabit  əmsal  daxil  edildikdə  düşünmək  olar  ki,  bu  birinci 
şərt  avtomatik  ödənir.  Belə  ki,  sabit  həddin  rolu  reqressiya    tənliyinə    daxil 

 
 
 
105 
edilməyən  izahedici  dəyişənlərin  nəticə  göstəricisinə  (y)  ixtiyari  sistematik 
tendensiyanı müəyyən edilməsindən ibarət olur.   
2-ci Qauss-Markov Ģərti: 
2
)
(
)
var(





i
i
D
. 
İkinci  şərtin  mahiyyəti  ondan  ibarətdir  ki,  bütün  müşahidələr  üçün  təsadüfi 
həddin dispersiyası sabit ədədə bərabərdir. Bu o deməkdir ki, təsadüfi hədd bəzən 
böyük, bəzən də kiçik qiymətlər ala bilər, lakin bu ona səbəb olmamalıdır ki, səhv 
bir müşahidə üçün böyük, digər müşahidə üçün kiçik olsun.  
Bu sabit dispersiya adətən 
2

 ilə işarə edilir və şərt aşağıdakı kimi yazılır: 
n
i
D
i
i
,
1
)
(
)
var(
2






  
Birinci şərtə görə, 
0
)
(

i
E

 olduğundan, 
)
(
)
(
)
(
)
var(
2
2
2
i
i
i
i
E
E
E







 
Beləliklə, 
2
2
)
(



i
E
 

  -  kəmiyyəti,  yəni  təsadüfi  həddin  standart  kənarlaşması  məlum  olmur. 
reqressiya  təhlilinin  əsas  məsələlərindən  biri  təsadüfi  həddin  standart 
kənarlaşmasının qiymətləndirilməsindən ibarətdir. 
Əgər  reqressiya  tənliyində  bu  ikinci  şərt  ödənilməzsə,  onda  adi  ən  kiçik 
kvadratlar  üsulu  ilə  tapılan  reqressiya  əmsalı  səmərəsiz  olacaqdır.  Bu  zaman 
məsləhət  görülür  ki,  parametrlərin  (reqressiya  əmsallarının)  qiymətləndirilməsi 
üçün digər üsullardan (məsələn, çəkili ən kiçik kvadratlar üsulu, ümumiləşmiş ən 
kiçik kvadratlar üsulu, Monte-Karlo üsulu və s.) istifadə edilsin.  
3-cü Qauss-Markov Ģərti: 
)
(
0
)
,
cov(
j
i
j
i




. 
Bu  şərtdə  nəzərdə  tutulur  ki,  ixtiyari  iki  müşahidədə  təsadüfi  həddin 
qiymətləri arasında simmetrik əlaqə olmamalıdır. Başqa sözlə, təsadüfi hədlər bir-
birindən asılı olmamalıdır.  
Birinci  şərtə  görə, 
0
)
(
)
(


j
i
E
E


  olduğundan,  üçüncü  şərti  aşağıdakı  kimi 
yaza bilərik: 
)
(
0
)
,
(
j
i
E
j
i




 

 
 
 
106 
Əgər  bu  şərt  ödənilməzsə,  onda  reqressiya  tənliyinin  parametrlərinin  adi  Ən 
kiçik kvadratlar üsulu ilə  qiymətləndirilməsi yenə də səmərəsiz (effektsiz) nəticə 
verir.  
4-cü  Qauss-Markov  Ģərti:  Təsadüfi  hədd  izahedici  dəyişənlərdən  asılı 
olmayaraq paylanmaya malik olmalıdır.  
Bu  şərtə  görə  ixtiyari  izahedici  dəyişənlərin  hər  bir  müşahidədəki  qiyməti 
reqressiya tənliyində nəzərə alınmayan kənar səbəblərlə müəyyən olunan endogen 
verilməlidir. Əgər bu şərt ödənilərsə, onda təsadüfi hədd və asılı olmayan dəyişən 
arasındakı nəzəri kovariasiya sıfıra bərabər olur. Belə ki, 
0
)
(

i
E

. Onda  
)
,
(
)
(
)
,
((
))
)(
((
)
,
cov(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
E
E
x
x
E
x
x
E
x










 
Beləliklə, dördüncü şərti aşağıdakı kimi yaza bilərik: 
0
)
,
(

i
i
x
E

 
Normallıq haqqında fərziyyə: Qauss-Markov şərtləri ilə bərabər adətən təsadüfi 
həddin  normal  paylanmaya  malik    olması  haqqında  ilkin  şərt  qəbul  edilir.  İş 
ondadır  ki,  əgər 

  təsadüfi  həddi  normal  qanunla  paylanarsa,  onda  reqressiya 
əmsalı  (parametrlər)  da  normal  qanunla  paylanacaqdır.    Bu  şərt  reqressiya 
tənliyinin  qiymətləndirilməsi  ilə    tapılan  parametrlərin  statistik  əhəmiyyətliliyi 
müəyyən  edən  hipotezlərin  yoxlanılmasında  və  bu  parametrlər  üçün  inamlı 
intervalların müəyyən edilməsində lazım gəlir.  
Normallıq haqqında fərziyyə mərkəzi limit teoreminə  əsaslanır. Bu teoremin 
mahiyyəti  ondan  ibarətdir  ki,  əgər  təsadüfi  kəmiyyət  çoxlu  sayda  digər  təsadüfi 
kəmiyyətlərin qarşılıqlı təsirlərinin ümumi nəticəsidirsə (onların hər biri  digərinə 
nəzərən  üstünlük  təşkil  etməsi),  onda    bu  təsadüfi  kəmiyyət  hətta  onun  ayrıca 
tərkibi normal paylanmaya malik olmasa belə təxminən normal paylanmaya malik 
olur.  
reqressiya  tənliyi  təsadüfi  hədlər  aşkar  şəkildə  daxil  olmayan  çoxlu  sayda 
faktorlarla müəyyən edilir. Ona görə də hətta bu faktorların paylanmaları haqqında 
heç bir şey bilmiriksə belə onların normal qanunla paylanmaları haqqında fərziyyə 

 
 
 
107 
qəbul  edə  bilərik.    Digər  tərəfdən paylanmada  çox  nadir hallarda təsadüfi  tərkibi 
olan proseslər normal paylanmaya malik olmur.  
 
2.4.
 
Reqressiya tənliyinin parametrlərinin qiymə tləndirilməsi 
 
 reqressiya  tənliyinin  parametrlərinin,  yəni  a  və 
b
-nin  qiymətləri  Q 
funksiyasının minimallaşdırılması yolu ilə (ən kiçik kvadratlar üsulu) tapıla bilər. 
Əgər Q - minimumdursa, onda onun xüsusi törəmələri sıfıra bərabərdir: 
0
;
0
/
/


b
a
Q
Q
 
Bu  şərt  iki  dəyişəni  (a  və 
b
)  və  iki  xətti  tənliyi  olan  sistem  əmələ  gətirir. 
Onların qiyməti sistem tənliyi həll etməklə tapılır. 
Həll aşağıdakı kimidir: 
)
x
var(
)
y
,
x
cov(
i
2
)
x
i
x
(
i
)
y
i
y
)(
x
i
x
(
b







    
 
(2.13)
 




x
b
y
a
,    
 
 
 
(2.14)
 
burada:   
n
x
x
n
y
y
i
i
i
i




;
  x  və  y-in  orta  qiymətidir  (riyazi  gözləmə), 
i
x
 
verilənlərinə uyğun gələn 
i
y
 kəmiyyəti təsadüfi adlanır. Buradan çıxır ki, a və 
b
-
nin qiymətləri də təsadüfidir. Onların riyazi gözləmələri uyğun olaraq 

 və 

 -ya 
bərabərdir. 
a  və 
b
-nin  qiymətləri  nə  qədər 

  və 

  ətrafında  olarsa  (dispersiyaları  az 
olarsa), bir qədər onlar əhəmiyyətli olarlar. Dispersiyanın tərifinə görə 
.
)
(
)
(
;
)
(
)
(
2
2






a
M
a
D
b
M
b
D
 
Onların düsturları aşağıdakı kimidir: 
               






i
i
x
x
S
S
D
2
2
2
b
)
b
(
    
 
 
(2.15)
 

 
 
 
108 
             







i
i
i
i
a
x
x
n
x
S
S
a
D
2
2
2
2
)
(
   
 
 
(2.16)
 
burada: 
2
2
2



n
e
S
i
i
- izaholunmaz dispersiyadır (asılı dəyişənin qiymətinin reqressiya 
xətti ətrafında dağılması), 
S
a
 və 
b
S
  a və 
b
parametrlərinin standart meylləridir. 
Qiymətləndirilən  reqressiya  tənliyinin  statistik  keyfiyyətinin  yoxlanılması 
aşağıdakı addımlardan ibarətdir. 
- hər bir reqressiya əmsalının statistik əhəmiyyətliliyinin  yoxlanması; 
- reqressiya tənliyinin ümumi keyfiyyətinin yoxlanması; 
-  reqressiya  tənliyinin  qiymətləndirilməsi  zamanı  verilənlərin  mövcud 
xüsusiyyətlərinin yoxlanması. 
Əgər  reqressiya  tənliyinin  köməyi  ilə  iqtisadi  göstəricilər  (dəyişənlər) 
arasındakı  qarşılıqlı  əlaqə  təhlil  edilərsə,  onda  qiymətləndirmənin  nəticəsi 
ağlabatan iqtisadi izaha malik olmalıdır. Bu qiymətləndirmə aşağıdakı suallara da 
cavab verir: 
-  nəzəri  cəhətdən  izah  edən  faktorun  (yuxarıda  göstərilən  xətti  reqressiya 
tənliyində bu x dəyişənidir) statistik əhəmiyyətliliyi varmı ?; 
- bu faktorların təsir istiqamətini göstərən əmsallar müsbət və ya  mənfidirmi 
və nə üçün ?; 
-  reqressiya  əmsallarının  qiymətləri  nəzəri  mülahizələrdə  nəzərdə  tutulan 
intervallara daxildirmi ? 
 
2.5.
 
Reqressiya əmsalları üçün hipotezlərin yoxlanılması: t-test 
 
 
Statistik  tədqiqat  hipotezin  nəzəri  qurulması    və  ya  empirik  təhlil  ilə 
başlanır.  Həqiqətdə  nəzəriyyə  və  praktika  bir-birini  tamamlayırlar.  Ona  görə  də 
hipotezin  yoxlanması  məsələsinə  iki  nöqteyi  -  nəzərdən  yanaşırlar.  Birinci 
yanaşma  ondan  ibarətdir  ki,  əvvəlcə  hipotez  formalaşdırılır.  Sonra  isə 
eksperimentlər  aparmaqla  onun  qəbul  edilib-edilməməzliyi  yoxlanılır.  Bu 

 
 
 
109 
hipotezin  əhəmiyyətliliyinin  yoxlanılmasına  gətirir.  İkinci  yanaşmada  isə  əvvəlcə 
eksperimentlər  aparılır.  Sonra  hansı  nəzəri  hipotezin  eksperimentin  nəticələrinə 
uyğun olması müəyyən edilir. Bu inamlı intervalların qurulmasına gətirir. 
Hipotezin  əhəmiyyətliliyin  yoxlanması:  Birinci  yanaşmadan  başlayaq.  Yəni 
hesab edək ki,  əvvəlcə  hipotez qurulur,  sonra  isə  eksperimentlər  aparılır.  İqtisadi 
nəzəriyyədən  iqtisadi  göstəricilər  arasında  hipotetik  əlaqələrin  və  ya  asılılıqların 
olması  bizə  məlumdur.  Məsələn,  hesab  etmək  olar  ki,  iqtisadiyyatda  ümumi 
inflyasiya (
p

, %-lə) əmək haqqı artımı (
w

, %-lə)  ilə yaranan inflyasiya tempindən 
asılıdır və bu asılılıq xətti tənliklə təsvir olunur: 
u
w
p







, 
Burada, 

  və

  parametrlərdir, 
u
  -  təsadüfü  həddir.  Sonra  isə  belə  bir  hipotez 
qurmaq  olar  ki,  daxil  edilən  təsadüfü  həddin  effektini  nəzərə  almadan,  ümumi 
inflyasiya  əmək  haqqının  artması  ilə  yaranan  inflyasiyaya  bərabərdir.    Bu  sıfır 
hipotez adlanır və H
0
 ilə işarə edilir. H
0
 hipotezi o zaman baş tutur ki, 
1


 olsun. 
Alternativ hipotez də müəyyən edilir və H
1
 ilə işarə edilir. Alternativ hipotez (H
1
- 
hipotezi)  aparılan  eksperiment  yoxlamaların  H
0
  hipotezinin  düzgün  olmamağını 
göstərir. Başqa sözlə  alternativ H
1 
 hipotezi həmin göstəricilərin bir-birinə bərabər 
olmamağıdır. Yəni, 
1


. Beləliklə formalaşdırılmış iki hipotezi aşağıdakı kimi 
yaza bilərik: 
1
:


o
H
; 
1
:
1


H
. 
 
Konkret  bu  halda,  əgər  həqiqətən  ümumi  inflyasiyanın,  əmək  haqqı  artımı 
ilə  yaranan  inflyasiya  tempindən  asılılığı  hesab  olunursa  onda  H
0
  hipotezinin 
müdafiə olunmasına cəhd edilir. Lakin praktikada daha çox sıfır hipotez qurularaq, 
daha sonra doğruluğu fərz edilən alternativ hipotez vasitəsi ilə yoxlanılır. Məsələn 
sadə bir tələb funksiyasına baxaq: 
u
x
y





, 
 burada,  y  -  ərzaq  məhsuluna  tələbin  kəmiyyətini,  x  isə    gəliri  göstərir.  Keynisin 
iqtisadi  nəzəriyyəsinə  əsaslanaraq  tam  məntiqidir  ki,  ərzaq  məhsuluna  tələb 

 
 
 
110 
gəlirdən  asılıdır.  Əgər  burada  sıfır  hipotez  qəbul  olunarsa,  bu  o  deməkdir  ki,  y 
kəmiyyəti  x-dən  asılı  deyil,  yəni, 
0


.  Alternativ  hipotez  isə  onu  göstərir  ki,  x 
dəyişəni y-ə təsir edir. Yəni, 
0


. Əgər sıfır hipotez rədd edilərsə, bu onu göstərir 
ki, asılılıq mövcuddur. Beləliklə qəbul edilmiş işarələmələrə görə sıfır və alternativ 
hipotez uyğun olaraq aşağıdakı şəkildə olacaqdır: 
H
0
-hipotezi: y dəyişəni x dəyişənindən asılı deyil, yəni 
0
:


o
H
 
və 
H
1
-hipotezi: y dəyişəni  x dəyişənindən asılıdır, yəni 
0
:
1


H
. 
İndi  isə  yuxarıda  göstərdiyimiz  cüt  reqressiya  modelində 

  reqressiya 
əmsalının əhəmiyyətliliyinin yoxlanmasına baxaq. Eyni prosedura qaydası 

 sabit 
həddinə də aiddir. Sıfır hipotezi kimi 

  əmsalının hər hansı  bir konkret  qiymətə, 
tutaq  ki, 
0

  -a,  alternativ  hipotez  kimi  isə 

  əmsalının  həmin  qiymətə  bərabər 
olmadığını  qəbul  edək  (
0
:



o
H
; 
0
1
:



H
).  Fərz  edək  ki,  Qauss-Markovun 
dörd  şərti  ödənilir.  Biz  sıfır  və  ya  alternativ  hipotezlərdən  hər  hansı  birini 
məqsədimizdən asılı olaraq qəbul və ya rədd etməyə çalışmalıyıq. 
Əgər, H
0
-hipotezi doğrudursa, onda ən kiçik kvadratlar üsulu ilə tapılan 

-
nın  qiyməti 
Anakütlədakı
  b-nin  riyazi  gözləməsi  (yəni 
0

  )  və 
)
var(
2
x
n
u


 
dispersiyası ilə paylanmaya  malikdir. İndi fərz edilir ki, qalıq hədd (u) N-normal 
paylanmaya  malikdir.  Əgər  bu  doğrudan  da  belədirsə,  onda  b  –də  normal 
paylanmaya  malik  olacaqdır.  (bax:  şəkil 
2.3
).  Şəkildə  qısaldılmış  şəkildə 
göstərilmiş  “
b
S
”,  b-nin  qiymətinin  standart  kənarlaşmasının  kəmiyyətini  göstərir. 
Daha doğrusu, 
)
var(
2
x
n
S
u
b



 

 
 
 
111 
 
 
Şəkil 
2.3
.  b-qiymətləndirilməsi üçün Normal paylanmanın strukturu 
 
Normal  paylanmanın  strukturunu  nəzərə  alsaq,  əgər 
0
0
:



H
  hipotezi 
doğrudursa onda, b-nin əksər qiymətləri 
0

-ın iki standart kənarlaşmanın arasında 
olacaqdır. 
İnamlı intervallar: 
kr
t
b
s
s
b


)
(
.

 və ya 
kr
t
b
s
s
b



)
(
.

 
kr
kr
t
b
s
s
b
t
b
s
s
b
).
(
.
).
(
.





 
b
S
2
0


 
b
S

0

 
b
S

0

 
b
S
2
0


 
б цчцн ещтималын 
сыхлыг функсийасы  
 
b
 
0

 

 
 
 
112 
 
Şəkil 2.4