Y a d u L l a h ə s ə n L i ekonometrikaya giriġ DƏrslik

2.11.
 
Avtokorrelyasiyanın aradan qaldırılması 
 
Birinci  tərtib  avtokorrelyasiyaya  ədəbiyyatlarda  daha  çox  diqqət  yetirirlər. 
Çünki 
bu 
daha 
mürəkkəb 
avtokorrelyasiyanın 
olub-olmadığının 
müəyyənləşdirilməsinə  imkan  verir.  Birinci  tərtib  avtokorrelyasiya  modeldə 

 
 
 
122 
aparılan  sadə  çevirmə  ilə  aradan  qaldırıla  bilər.    Tutaq  ki,  reqressiya  tənliyi 
aşağıdakı kimi verilmişdir: 
i
i
i
u
bx
a
y



                               
 
(2.25) 
Proses avtokorrelyasiyaya malik olduğu üçün 
i
u
 - qalığını 
i
1
i
i
u
u





                                               
(2.26) 
kimi  yazaq. 
Əgər (
2.25
) tənliyini bir dövr əvvəlki gecikmə ilə yazıb 

-ya vursaq,  
1
i
1
i
1
i
u
x
b
a
y










   
                             
(2.27) 
alarıq. 
(2.27)-ü (2.25)-
dən çıxsaq, 
1
i
i
1
i
i
1
i
i
u
u
x
b
bx
)
1
(
a
y
y














 
                      
(2.28) 
i
1
i
i
1
i
i
x
b
bx
y
)
1
(
a
y












       
              
(2.29) 
(2.29)
  modelinin  avtokorrelyasiyadan  azad  olunmasını  düşünə  bilərik,  çünki 
təsadüfi hədd yeni 
i

-ə gətirilmişdir.  
Daha ümumi çoxluq (toplu) reqressiya modeli üçün 
i
mi
m
i
2
2
i
1
1
0
i
u
x
a
...
x
a
x
a
a
y






 
 
              
(2.30) 
i
u
  ilə  əlaqəli  AR(1)  avtokorrelyasiyanın  aradan  qaldırılması  prosedurası  eyni  ilə 
yuxarıda göstərilən kimidir: 
1
i
1
mi
m
1
i
1
1
0
1
i
u
x
a
...
x
a
a
y














 
            
(2.31) 
(2.30)-
dan (
2.31
)-ı çıxsaq və qruplaşdırma aparsaq,  
i
1
mi
m
mi
m
1
i
1
1
1
i
0
i
x
a
x
a
...
x
a
y
)
1
(
a
y
















 
    
(2.32) 
Qeyd  edək  ki, 
(2.32)
  modeli  qeyri-xəttidir,  çünki  x-in  gecikməsini  göstərən 
dəyişənin  əmsalı  onun  cari  qiymətinin  və 
1
i
y

-in  əmsallarının  (

)  hasilinin 
qiymətinə  bərabərdir.  Bu  onu  göstərir  ki,  həmin  əmsalların  qiymətləndirilməsi 
üçün adi ən kiçik kvadratlar üsulundan istifadə edilə bilməz. Əgər istifadə edilərsə, 
onda  tapılmış  əmsalların  Anakütlədakı  nəzəri  qiymətləri  xarakterizə  etməsinə 
təminat verilə bilməz. Belə qiymətləndirmə üçün digər üsullardan, məsələn, qeyri-

 
 
 
123 
xətti  ən  kiçik  kvadratlar  üsulundan  və 
maksimum  həqiqətə  uyğunluq
 
üsullarından istifadə etmək daha yaxşı olardı.  
 
2.12.
 
Heteroskedastiklik 
 
Burada  ekonometrik  modelləşdirlmə  üçün  mühüm  əhəmiyyət  kəsb  edən 
heteroskedastiklik  öyrəniləcəkdir.  Bu  termin  səhvlər  vektorunun  kovariasaiya 
matrisi diaqonal olduqda, lakin baş diaqonal elementləri müxtəlif olduqda işlədilir. 
Başqa  sözlə,  müxtəlif  müşahidələrdəki  səhvlər  asılı  olmurlar,  lakin  onların 
dispersiyaları müxtəlif olur
(bax: şəkil 2.7). 
Reqressiya  tənliklərindəki  məlum  olmayan  parametrlərin  qiymətləndirilməsi 
problemi formal olaraq ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulu (ÜƏKKÜ) ilə həll 
edilir.  Lakin  bu  zaman  səhvlər  vektorunun  kovariasiya  matrisinin  (

)  məlum 
olması tələb olunur ki, bunun da məlum olması nadir hallarda mümkün olur. Ona 
görə  nəzəri  mənbələrlə  yanaşı  ÜƏKKÜ-nun  praktiki  istifadəsinin  bir  sıra 
cəhətlərinə toxunulması zəruridir. 
 
 
Şəkil 2.6 
 Homoskedastiklik 

 
 
 
124 
 
Şəkil 2.7
 Heteroskedastiklik 
 
Yuxarıda qeyd edildi ki, heteroskedastiklik onu göstərir ki, səhvlər korrellyar 
(rus.:  korrelirovannıy,  ing.:  correlated
)  təşkil  etmirlər  (asılı  deyillər),  lakin  sabit 
dispersiyaya  da  malik  deyillər.  Klassik  olaraq  səhvlər  sabit  dispersiyaya  malik 
olduqda  homoskedastiklik  adlandırılır 
(bax:  şəkil  2.6).
  Qeyd  etmək  lazımdır  ki, 
heteroskedastiklik  əgər  təhlil  edilən  obyekt  yumşaq  deyilərsə  bircins  olmadıqda 
kifayət  qədər  tez-tez  rast  gəlinir.  Məsələn,  əgər  müəssisənin  ödədiyi  vergilərin 
həcminin  hansısa  bir  amildən  tutaq  ki,  müəssisənin  gəlirindən  asılılığı  tədqiq 
edirdisə,  onda  təbii  olaraq  gözləmək  olar  ki,  böyük  müəssisələr  üçün  vergilərin 
dəyişməsinin  miqdarı  kiçik  müəssisələrə nisbətən böyük  olacaq.  Bu  isə  səhvlərin 
dispersiyasının sabitliyinin pozulmasına gətirib çıxara bilər. 
Heteroskedastikliyin aradan qaldırılmasının bir sıra üsulları vardır. Bu üsullar 
heteroskedastikliyin  müxtəlif  şəkildə  meydana  çıxması  ilə  əlaqədar  olaraq  tətbiq 
edilir. 
 
2.12.1.
 
Çəkili ən kiçik kvadratlar üsulu 
 
Tutaq ki, 

 
 
 
125 
                               










b
a
x
x
x
y



),
,
1
(
,
,           
           
(2.33) 
fərz edilir ki, səhvlər vektorunun (

) 

 kovariasiya matrisi diaqonaldır, 
n
i
i
i
,...,
2
,
1
,
)
cov(
2




 
bəzən aşağıdakı kimi təsvir etmək əlverişli olur: 



n
i
i
i
1
2
2



 
burada, 

i
  elə normallaşdırılıb ki, 
n
n
i
i



1

 
olsun.  Onda 
n
i
i
,...,
2
,
1
,
1



  olduqda  model  klassik  hala  gətirilir.  ÜƏKKÜ  bu 
halda çox sadə olur. (
2.33
)-nin hər bir tənliyi uyğun 

i
   kəmiyyətinə bölünür. 
i
k
j
i
ij
j
i
i
u
x
y




1



 ,   
 
 
 
(2.34)
 
burada, 
i
i
i
u



,  həmçinin 
D
(u
i
)=var(u
i
)=1,  cov(u
i 
,u
s
)=0,  i

s.  (
2.34
)-ə  standart 
ƏKKÜ  tətbiq  edilir.  ÜƏKKÜ  ilə  qiymətləndirmə  b=(b
1
,…,b
k
)
/
-lərə  görə 
minimallaşdırma nəticəsində alınır. 
2
1
1
1
)
(




















n
i
k
j
ij
j
i
i
x
b
y
b
f

 
Bu  çevirmənin  mahiyyətini  başa  düşmək  çətin  deyil.  Belə  ki,  adi  ƏKKÜ  ilə 
qalıqların kvadtarlarının cəmini minimallaşdırırıq. 
 
min
)
(
1
2
1













n
i
k
j
ij
j
i
x
b
y
b

 
Yumşaq  desək,  müxtəlif  cəmlər  (toplananlar)  müxtəlif  dispersiyalara  malik 
olduğu üçün müxtəlif statistik töhvə verir. Nəticədə ƏKKÜ ilə qiymətləndirməyə 
effektivsizliyə gətirir. Hər bir müşahidəni 
i

1
 əmsalı ilə «çəkməklə» biz belə qeyri-
bircinsliyi aradan qaldırırıq. Qeyd edək ki, bu onu göstərir ki, biz kiçik dispersiyalı 

 
 
 
126 
müşahidəyə böyük «çəki» veririk. Ona görə də ÜƏKKÜ-u hetereskedastikliyi olan 
sistemlər üçün çəkili ən kiçik kvadratlar üsulu adlandırırlar. 
 
2.12.2.
 
Heteroskedastikliyin aradan qaldırılması 
 
Əgər 

i
    ədədi  məlum  deyilsə  (bir  qayda  olaraq  praktikada  belə  olur),  onda 
2
i

 
dispersiyasını qiymətləndirən əlverişli, yəni istifadəsi mümkün ola bilən ÜƏKKÜ-
dən istifadə olunması zəruridir. Belə ki, bu parametrlərin sayı n-ə bərabər olduğu 
üçün 

  matrisinin  strukturuna  əlavə  məhsudiyyətlər  olmadan  dispersiyanın 
qəbuledilən  qiymətləndirilməsinin  alınmasına  ümüd  olmur.  Aşağıda  biz 
hetereskedastikliyə  malik bir neçə  sinif modellərə  baxacağıq.  Bu  modellərdə  belə 
məhdudiyyətlərin 
qoyulması 
hesabına 

 
matrisinin 
kafi 
şəkildə 
qiymətləndirilməsinə  nail olmaq olur.  Bu  zaman  əlverişli  (mümkün)  ÜƏKKÜ  və 
S
L
FG

ˆ
-  qiymətləndirilməsindən  istifadə  edilir[
8,  səh.169-177
].  Korreksiya 
aşağıdakı hallar üçün həyata keçirilir. 
1.
 
Səhvlərin  standart  kənarlaşmaları  asılı  olmayan  dəyişənə  proporsional 
olması. 
Bir  sıra  hallarda  hesab  etmək  olar  ki,  səhvin  standart  kənarlaşması  asılı 
olmayan dəyişənlərdən birinə düz proporsionaldır, məsələn, 
2
2
2
:
ik
i
k
x
x



. Onda i-
ci  tənliyi  x
ik
,  (i=1,2,…,n)-yə  bölüb  və  asılı  olmayan  yeni 
ik
ij
ij
x
x
x


  dəyişənlər  və 
yeni  asılı  dəyişən 
k
j
n
i
x
y
y
ik
i
ij
,...,
2
,
1
,
,...,
2
,
1
,




  daxil  edilərək  klassik  reqressiya 
modeli  alırıq.  ƏKKÜ  ilə  bu  modelin  əmsallarının  qiymətləndirilməsi  birbaşa 
olaraq  ilkin  verilən  modelin  qiymətləndirlməsini  verir.  Onu  da  yada  saxlamaq 
lazımdır  ki,  x-də  birinci  reqressor  (asılı  olmayan  sabit  faktor)  vahidlərdən 
düzəldilmiş  dəst  olduğu  üçün  yeni  modeldə  sərbəst  həddin  və 
ik
i
x
x
1
1


-nin 
əmsalının  qiymətləndirilməsi  ilkin  modeldəki  uyğun  x
tk
-nin  əmsalının  və  sərbəst 
həddin qiymətləndirilməsi olur. 

 
 
 
127 
2.
 
Səhvlərin dispersiyası ancaq iki qiymət alır: 
1
2
1
2
,...,
2
,
1
,
n
i
i




,  üçün 
2
1
1
2
2
2
,...
1
,
n
n
n
i
i






, üçün 
Ancaq, 
2
1

 və 
2
2

 məlum deyil. Başqa sözlə birinci n
1
 sayda müşahidədə səhvlərin 
dispersiyası  bir  qiymət,  sonrakı  n
2
  sayda  müşahidədə  isə  başqa  qiymət  alır.  Bu 
halda təbii olaraq aşağıdakı variantlarda ümumiləşmiş ən kiçik kvadratlar üsulunun 
tətbiqi mümkündür. 
a.  adi  reqressiya  modeli  qiymətləndirilərək  qalıqlar  vektorunu  almaq  və  onu 
uyğun olaraq ölçüləri n
1
 və n
2
 olan iki e
1
 və e
2
 alt vektorlarına ayırmaq; 
b. 
2
1

  və 
2
2

  dispersiyaları  üçün 
1
1
1
2
1
ˆ
n
e
e



  və 
2
2
2
2
2
ˆ
n
e
e



  qiymətləndirməsi 
qurmaq; 
c.  birinci n
1
 sayda tənliyi 
1
ˆ

,  sonrakı n
2
  sayda tənliyi  isə 
2
ˆ

-yə  bölərək  yeni 
dəyişənlər yaratmaq; 
d.  yeni  yaradılmış,  daha  doğrusu  çevrilmiş  modellər  üçün  adi  qiymətləndir-
məni həyata keçirmək.  
Sübut olunub ki, 
2
1
ˆ

    və 
2
2
ˆ

  statistik  qiymətlənməsi  meyllidir  [
8,səh.154-59
] 
ancaq  onlar  tutarlıdır  [
9
].  Aydındır  ki,  bu  üsul  dispersiyanın  iki  deyil,  daha  çox 
qiymət aldığı hallar üçün də ümumiləşdirilə bilər. 
3.
 
Dispersiyanın  tutarlı  (sostoətelğnoe-tutarlı,  sübutlu,  mötəbər,  doğru) 
qiymətləndirilməsi. 
İndi isə tutaq ki, hetereskedastikliyə malik olan (10) modelində 

 parametrlər 
vektorunun  qiymətləndirilməsi  üçün  adi  ƏKKÜ  istifadə  edilir.  Müəyyən 
olunmuşdur  ki,  [
8,  fəsil  5
]  bu  kimi  qiymətləndirmə  tutarlıdır  və  statistik  meylli 
deyil, lakin onun kovariasiya matrisinin 


 
1
2




x
x
var
D
S
L
O
a
r



ˆ
ˆ
)
ˆ
(
 
standart  qiyməti  meyllidir  və  tutarlı  deyil.  Qeyd  edək  ki,  kompüter  paketlərində 
reqressiya əmsallarının qiymətləndirilməsi zamanı reqressiya əmsallarının standart 
səhvləri  elə  bu  düsturla  hesablanır.  Hetereskedastiktiyə  düzəliş  və  kovariasiya 

 
 
 
128 
matrisinin yaxşılaşdırılması üçün daha çox iki qiymətləndirmə üsullarından 1) Ağ  
(White)  şəklində  standart  səhvlər  və  2)  Nyu-Vest  şəklində  standart  səhvlər 
üsullarından istifadə edirlər [
8, səh.173-75
].  
Uayt (White, 1980) göstərmişdir ki, 
 
 
 
1
1
2
1
1
ˆ
)
ˆ
(















x
x
x
x
e
n
x
x
n
var
D
n
s
s
s
s


, 
(2.35)
   
qiymətlndirməsi,  yəni  reqressiya  əmsallarının  qiymətləndirilməsinin  kovariasiya 
matrisinin qiyməti tutarlıdır. 
(2.35)
  düsturu  ilə  hesablanan  standart  kənarlaşmalar  Uayt  (White)  şəkilli 
standart  səhvlər  və  ya  heteroskedastiklik  olduğu  halda  tutarlı  standart  səhvlər 
adlanır.  
 
2.12.3.
 
Heteroskedastikliyin yoxlanması üçün testlər 
 
Xırdalıqlarına  kimi  tədqiq  etmədən  heteroskedastikliyin  yoxlanması  üçün 
ümumi  isifadə  olunan  bir  neçə  statistik  testlər  göstərək.  Bir  qayda  olaraq  hər  bir 
testin  təsvirindən  (mahiyyətindən)  aydın  olur  ki,  onların  hansı  əhəmiyyətlidir. 
Bütün bu testlərdə əsas hipotez olan 
2
2
2
2
1
0
...
:
n
H






 hipotezi alternativ H
1
:H
0
 
doğru deyil hipotezinə qarşı yoxlanılır. 
Uayt  (White)  testi  istisna  olmaqla  əksər  testlər  bu  və  ya  digər  situasiyalarda 
heteroskedastikliyin  təcrübədən  asılı  olmayaraq  xarakterinə  aid  olan  struktur 
məhdudiyyətin olub-olmamasının yoxlanmasına yönəldilib [
8
,səh.177-183]. 
Uayt  (White)  testinin  mahiyyəti  aşağıdakından  ibarətdir.  Modeldə 
heteroskedastiklik  halı  səhvlərin  dispersiyası  hər  hansı  şəkildə  asılı  olmayan 
dəyişənlərdən asılılığı kimi mövcud olur və hetereskedastiklik hansısa şəkildə ilkin 
verilən modelin adi reqressiya qalıqlarında əks olunur. Bu ideyadan istifadə edərək 
Uayt  (White,  1980)  heteroskedastikliyin  strukturuna  heç  bir  fərziyyə  irəli 
sürmədən  H
0
  hipotezinin  yoxlanılması  üsulunu  təklif  etmişdir.  Əvvəlcə  ilkin 
verilən modelə adi ƏKKÜ tətbiq edilərək e
i
, i=1,2,…,n reqressiya qalıqları tapılır. 

 
 
 
129 
Sonra  bu  qalıqların  (RESİD)  kvadratlarının  (
2
i
e
)  bütün  x  reqressorlarından    (xətti 
asılı  olmayan  faktorlardan),  onların  kvadratlarından,  cüt-cüt  hasillərindən  və 
sabitdən asılılığının reqressiya tənliyinə baxılaraq qiymətləndirilir. 
i
i
i
e
bx
a
y



 
 
 
 
 
(2.36)
 
2
3
2
1
2
i
i
i
x
c
x
c
c
e



   
 
 
 
(2.37)
 
Onda H
0
 hipotezində nR
2
 asimptotik olaraq 


1
2

N

 paylanmasına malik olur. 
Burada R
2
-determinasiya əmsalıdır, n- ikinci reqressiya tənliyindəki müşahidələrin 
(sınaqların),  N-isə  (
2.37
)  tənliyindəki  reqressorların  sayıdır.  Uayt  testinin  üstün 
cəhəti  onun  universal  olmasıdır.  Lakin  H
0
  hipotezi  rədd  edildikdə  bu  test 
heteroskedastikliyin  funksional  şəkli  haqda  heç  nə  demir.  Bu  zaman 
heteroskedastikliyin  korreksiya  edilməsinin  yeganə  üsulu  Uayt  şəklində  standart 
səhvin tətbiq edilməsi olur. 
 
2.13.
 
Zaman sıraları və qeyri-stasionarlıq problemi 
 
Qeyd  edək  ki,  əksər  ekonometrik  modellər  adətən  zaman  sıraları  əsasında 
realizə edilir. İqtisadi kəmiyyətin müxtəlif zaman anlarında (adətən ay, rüb və il) 
müşahidələrinin məcmusu zaman sırası 
(rus:  временные ряды,  ing:  time series)
 
adlanır.  Mahiyyət  etibarı  ilə  iqtisadi  göstəricilərin  bir-birinə  təsir  etməsi  və  cari 
qiymətlərinin  əvvəlki  dövrlərdəki  (ildəki)  qiymətlərindən  asılı  olması  qalıqların 
Qaus-Markov şərtlərinin, daha doğrusu dəyişənlərin qiymətlərinin stasionarlığının 
pozulmasına gətirib cıxarır.  
Stasionarlıq dedikdə dəyişənin zamanla əlaqədar olaraq bir sıra xassələrinin 
dəyişməməsi başa düşülür.  
2.13.1.
 
Ciddi stasionarlıq və ya dar mənada stasionarlıq  
Əgər  dəyişənin  zamanla  əlaqədar  olaraq  qiymətinin  dəyişməsinə 
baxmayaraq  onun  paylanmasının  sıxlıq  funksiyası  dəyişməz  olaraq  qalarsa  onda 
proses ciddi stasionar adlandırılır. Başqa sözlə ciddi stasionar sıraları zamana görə 
sürüşdürdükdə paylanmanın sıxlıq funksiyası dəyişməz olaraq qalar.  Bəzən bu tip 

 
 
 
130 
stasionarlığı  güclü  də  adlandırırlar.    Ciddi  stsionarlığı  siranın  daha  cox  işlədilən 
statistik  xüsusiyyətlərinə  (riyazi  gözləmə,  dispersiya)  görə  də  xarakterizə  etmək 
olar.   
Dar mənada stasionar (ciddi stasionar) prosesin şağıdakı xassələri vardır: 

 
riyazi gözləməsi zamandan asılı deyil; 

 
Dispersiya zamandan asılı deyil; 

 
Avtokovariasiya  və  avtokorelyasiya  funksiyaları  a)  ancaq  zaman 
fərqlərindən asılıdır; b) cüt funksiyadır. 
Zaman  anları  arasındakı  bütün  mümkün  məsafələrdə  covariasiyanın  qiymətlər 
toplusu  təsadüfü  prosesin  avtokovariasiya  funksiyası  adlanır.  Məlumdur  ki, 
koralyasiya  əmsalı  kovalyasiyanın  iki  dispersiyanın  hasilinin  kvadrat  köklərinə 
bölünməsindən alınır. Dispersiya sabit olduğundan, onda biz korelyasiyanın ancaq 
kovalyasiyadan  asılılığını  almış  oluruq.  Bu  zaman  sırasının  avtokorelyasiya 
funksiyasını  müəyyən  edir.  Avtokorelyasiya  funksiyası  zaman  sırasının  müxtəlif 
sürüşmələrində (məsələn, illik verilənlər üçün bir il və ya iki il və s.) qiymətinin 
hansı dərəcədə statistik əhəmiyyətini göstərir. 
2.13.2.