Azяrbaycan Respublikasы Tяhsil Nazirliyi Bakы Qыzlar Universiteti

Теорема 2. Для того, чтобы для каждой сходящейся числовой последо-
вательности 
...
,
,
...
,
,
,
2
1
0
n
s
s
s
s
 и  функций 
...
,
)
(
,
...
,
)
(
,
)
(
,
)
(
2
1
0
t
t
t
t
n




 
имело место равенство 


n
t
n
n
t
s
t
s
t
s
t
s
0
1
1
1
0
0
0
1
lim
..
)
(
...
)
(
)
(
lim












, 
необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированного 

  
0
)
(
lim
0
1





t
t
. 
Теорема  3  (Чезаро).  Пусть  даны  две  числовые  последовательности 
...
,
,
...
,
,
1
0
n
a
a
a
 и 
...
,
,
...
,
,
1
0
n
b
b
b
. Если 
а) 
...)
,
2
,
1
,
0
(
0


n
b
n
; 

Bakı Qızlar Universiteti 
  №2                                    Elmi əsərlər                                       2014 
 
 
125 
б) 










;
1
,
1
|
|
...
...
2
2
1
0
t
при
расходится
t
при
сходится
t
b
t
b
t
b
b
n
n
 
в) 
s
b
a
n
n
t



0
1
lim
, 
тогда ряд  
...
...
2
2
1
0





n
n
t
a
t
a
t
a
a
 
также сходится при 
1
|
|

t
 и   
s
t
b
t
b
t
b
b
t
a
t
a
t
a
a
n
n
n
n
t













...
...
...
...
lim
2
2
1
0
2
2
1
0
0
1
. 
I. Если ряд 
...
...
2
1
0





n
a
a
a
a
 сходится и имеет сумму 
s , то  
s
t
a
t
a
t
a
a
n
n
t








...)
...
(
lim
2
2
1
0
0
1
. 
Доказательство. I. По теореме 3 имеем 

















0
0
2
1
0
2
2
1
0
...)
...
(
...
...
n
n
n
n
n
n
n
t
t
a
a
a
a
t
a
t
a
t
a
a
. 
Переходя к пределу при 


n
 получим: 






















0
0
2
1
0
2
2
1
0
...)
...
(
lim
...)
...
(
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
t
a
a
a
a
t
a
t
a
t
a
a
 
s
a
a
a
a
n
n









1
...
...
lim
2
1
0
. 
Теорема доказана. 
II. Положим 
...)
,
2
,
1
,
0
(
...
2
1
0






n
a
a
a
a
s
n
n
. 
Если существует  
s
n
s
s
s
s
n
n








1
...
lim
2
1
0
, 
то 
s
t
a
t
a
t
a
a
n
n
t








...)
...
(
lim
2
2
1
0
0
1
. 
Доказательство.  II.  Из  предположения  вытекает,  что 
n
a
n
1

 ограни-
чено. Поэтому при 
1
|
|

t
 ряд 



0
n
n
n
t
a
 сходится. По теореме 3 получим:  

Bakı Qızlar Universiteti 
  №2                                    Elmi əsərlər                                       2014 
 
 
126 
.
1
...
lim
)
1
(
...)
...
(
...)
...
(
...
...
2
1
0
0
0
2
1
0
0
0
2
1
0
2
2
1
0
s
n
s
s
s
s
t
n
t
a
a
a
a
t
t
a
a
a
a
t
a
t
a
t
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n








































 
Теорема доказана. 
III.  Если выполняются условия 
1) 




0
,
0
n
n
n
b
b
 расходится, 
2) 
s
b
b
b
b
a
a
a
a
n
n
n













...
...
...
...
lim
2
1
0
2
1
0
, 
тогда  
s
t
b
t
b
t
b
b
t
a
t
a
t
a
a
n
n
n
n
t













...
...
...
...
lim
2
2
1
0
2
2
1
0
0
1
 
в предположении, что ряд в знаменателе сходится при 
1
|
|

t
. 
Доказательство.  III.    Умножая  числитель  и  знаменатель  на 
...
1
1
1
2





t
t
t
, получим:  
.
...
...
lim
...)
...
(
...)
...
(
...
...
...
...
2
1
0
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
s
b
b
b
b
a
a
a
a
t
b
b
b
b
t
a
a
a
a
t
b
t
b
t
b
b
t
a
t
a
t
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n








































 
Теорема доказана. 
IV. Пусть 
n
A
и 
n
B
 - соответственно числитель и знаменатель 
n -ой под-
ходящей дроби для бесконечной непрерывной дроби 
...
5
|
|
3
|
|
1
|
|



a
a
a
, 
так, что 
0
,
3
2
|
|
...
5
|
|
3
|
|
1
|
|







a
n
a
a
a
a
B
A
n
n
. 
Вычислим значение этой непрерывной дроби (в предположении ее схо-
димости) с помощью рядов 

Bakı Qızlar Universiteti 
  №2                                    Elmi əsərlər                                       2014 
 
 
127 








0
0
!
)
(
,
!
)
(
n
n
n
n
n
n
x
n
B
x
G
x
n
A
x
P
 
основываясь на теорему 3.  
 (Вследствие  рекуррентной  формулы,  связывающей 
n
A
 и 
n
B
, функции 
)
(x
F
и 
)
(x
G
 удовлетворяют  некоторому  однородному  линейному  диффе-
ренциальному уравнению второго порядка).  
 
Из рекуррентных формул 
0
,
1
,
...
,
2
,
1
,
0
,
)
1
2
(
,
)
1
2
(
0
1
1
0
1
2
1
2















B
A
B
A
n
aB
B
n
B
aA
A
n
A
n
n
n
n
n
n
 
получаем для функций 
)
(x
F
, 
)
(x
G
 дифференциальное уравнение  
ay
y
y
x
y






2
, 
которое  подстановкой 
2
)
2
1
(
u
x
a


 приводим  его  к 
0
2
2


y
du
y
d
, 
следовательно, 
u
u
e
c
e
c
y



2
1
, 
2
1
, c
c
 - постоянные. Отсюда  
a
e
e
x
G
e
e
x
F
a
u
a
u
a
u
a
u
2
)
(
,
2
)
(











. 
 
Полагаем 
t
x

2
.    Тогда  теорема  3  применяется  следующим  обра-
зом:  
a
a
a
a
t
n
n
n
n
n
n
n
n
e
e
e
e
a
t
G
t
F
n
B
n
n
A
n
B
A





















)
2
/
(
)
2
/
(
lim
2
1
!
2
1
!
lim
lim
0
1
1
1
. 
Степенной  ряд  функции 
)
2
/
(t
G

 расходится  при 
1

t
,  так  как  все  его 
коэффициенты неотрицательны и 





)
2
/
(
lim
0
1
t
G
t
. 
V. Пусть ряд  
...
...
2
1
0





n
a
a
a
a
 
сходится и имеет сумму  s . Положим 
...
!
!
2
!
1
)
(
2
2
1
0









n
t
a
t
a
t
a
a
t
g
n
n

 
Тогда 
s
dt
t
g
e
t




0
)
(
. 
Доказательство. Положим  
0
,
...
1
2
1
0






s
a
a
a
a
s
n
n
. 
 
Тогда  

Bakı Qızlar Universiteti 
  №2                                    Elmi əsərlər                                       2014 
 
 
128 




































t
x
t
x
t
x
dx
e
x
x
s
dx
x
e
s
s
dx
x
g
e
0
1
0
0
0
1
0
)!
1
(
!
!
)
(
. 
Применяя интегрирование по частям получим 













0
1
0
)!
1
(
)
(
t
t
x
e
t
s
dx
x
g
e
. 
Это означает, что 
s
dt
t
g
e
t




0
)
(
. 
Конце надо отметить, что теорема Чезаро имеет многочисленные при-
менения при умножении рядов, в теории рядов Фурье и др. вопросах. 
Актуальность статьи. Проблема восстановления ограниченной изме-
римой функции многих переменных по ее ряду Фурье, если она обладает 
определенной гладкостью в окрестности заданной точки, а также изучение 
скорости этого восстановления являются актуальными задачами. В работе 
предлагается использовать для этих целей средние Чезаро.  
Научная новизна  статьи. В отличии от аналога принципа, в которой 
требуется  определенная  гладкость  от  функции  во  всех  точках,  в  данной 
работе  от  функций  требуются  измеримость,  ограниченность  и  гладкость 
по отношению к фиксированной точке. 
Практическая целесообразность и применение статьи. Теорема Че-
заро имеет многочисленные применения при умножении рядов, в теории 
рядов Фурье и др. вопросах 
 
Литература  
 
1.  Г.Полиа,  Г.Сеге.  Задачи  и  теоремы  из  анализа.  I  часть.  Ряды, 
интегральное исчисление, теория функций. М.: Наука, 1978, с. 33. 
2. И.И.Волков. Методов суммирования Чезаро. М., 2001. 
3.  А.Зигмунд  Тригонометрический  ряд.  Пер.  с  англ.  (combrige 
university Press), М., 1965. 
4.  Г.Харди. Расходящиеся ряды. Пер. с англ., М., 
 
F.Məmmədov 
 
Ардыъыллыгларын функсийайа чеврилмяси вя Чезаро  
теореминин бязи тятбигляри 
 
Xülasə 
 
 
Məqalədə  məhdud  юlçülən  funksiya  verilmiş  nюqtənin  ətrafında  hamar  ol-
duqda onun Furye sırasına gюrə bərpası məsələsinə baxılır və bunun üçün Çe-
zaro teoremindən istifadə etmək təklif olunur.  

Bakı Qızlar Universiteti 
  №2                                    Elmi əsərlər                                       2014 
 
 
129 
 
F.Mamedov 
 
Cонверсион сейуенъе ас а фунътион анд  
соме апплиъатионс оф Ъесаре  
                                                    
Summary 
 
The  article  considers  the  problem  of  the  restoration  of  a  bounded 
measurable function from its Fourier series when the function has a smoothness 
in  the  neighborhood  of  a  given  point.  The  paper  proposes  to  use  for  these 
purposes Cesaro theorem. 
 
 
Редаксийайа дахил олуб: 21.05.2014 
                                                                                                       
 
 
 

Bakı Qızlar Universiteti 
  №2                                    Elmi əsərlər                                       2014 
 
 
130 
 
«
c
bx
ax
y



2
 kvadrat funksиyasыnыn qrafиkиnиn qurulmasы» 
mюvzusunun alqorиtmиn blok-sxemlя tяsvиr цsulundan иstиfadя 
etmяklя tяlиmи 
 
Чиngиz Hяmzяyev,  
тexnика  цzrя fяlsяfя doktору, досент 
 ADPU 
Aygцn Haшыmova,  
ADPU-nun magиstrantы 
 
Aчar sюzlяr: аlqorиtmlяшdиrmя, blok-sxem, bяrabяrsиzlиk, proqramlaшdыr-
ma 
Ключевые  слова:    алгоритм,  блок-схема,  неравенство,  программиро-
вание   
Key words:  algorиthm, flowchart, иnequalиty, programmиng 
 
Mцasиr dюvrdя komyuterlяrиn mяишяtиmиzя daxиl olmasы, иnsan fяalиyyя-
tиnиn bцtцn sahяlяrиndя gцclц avtomatlaшdыrыlmыш vasиtяlяr sиstemиndяn иstи-
fadя edиlmяsи цmumtяhsиl mяktяblяrиndя tяlиm vя tяrbиyяnиn tamamиlя ye-
nиdяn qurulmasыnы zяrurиlяшdиrmишdиr. Иndи tяlиmи elя tяшkиl etmяk lazыmdыr 
kи, hazыrlanan gяnc cяmиyyяtиn иnformatиklяшdиrиlmяsиndя ишtиrak edя bиlsиn. 
Artыq яnяnяvи tяlиm цsullarы иlя gяnc nяslи hяyat цчцn hazыrlamaq mцmkцn 
deyиldиr.  Tяlиm  цчцn  yenи  orиjиnal  цsullarыn  tapыlmasы,  az  vaxt  яrzиndя  чox 
bиlиyиn verиlmяsи, mцasиr tяtbиqи elmlяrиn elementlяrиnиn mяktяbя daxиl edиl-
mяsи,  шagиrdlяrиn  fяallыьыnыn  artыrыlmasы,  mяktяb  rиyazиyyatыnыn  proqramla-
rыnыn,  dяrslиk  vя  dяrs  vяsaиtlяrиnиn  tam  шяkиldя  dяyишdиrиlmяsи  dюvrцn 
tяlяbиnя чevrиlmишdиr. 
ЫX синифдя шаэирдляря ашаьыдакы мювзулар юйрядилмишдир: 
1) 
2
ax
y

функсийасы, онун графики вя хассяляри; 
2) 
n
ax
y


2
 вя 
2
)
(
m
x
a
y


 функсийаларынын графикляри; 
Мцяллим бу мювзулара аид суаллар вермякля ясас анлайышлары тякрарлайыр: 
а) квадрат функсийанын графики неъя адланыр? 
б) квадрат функсийаларын графикляри неъя гурулур? вя с.  
Гыса тякрардан сонра мцяллим йени мювзунун адыны сюйляйир вя лювщядян 3-
ъц  блок-схеми  асыр.  Ондан  истифадя  гайдасыны  йада  салыр  (буна  10  дягигя  вахт 
сярф олунур). Сонра мцяллим карточкалары пайлайыр вя шаэирдляр 15 дягигя ярзин-
дя чалышмалары щялл едирляр. Мцяллим карточкалары гиймятляндирмяк цчцн йыьыр. 
Беля карточкаларын нцмунялярини эюстяряк 
Карточка №1 
Алгоритмин блок-схеминдян истифадя едяряк функсийанын графикини гурун вя 
онун хассялярини тясвир един: 

Bakı Qızlar Universiteti 
  №2                                    Elmi əsərlər                                       2014