D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

3.7–§. To’g’ri burchakning proeksiyalanish xususiyatlari

Teorema. Agar to’g’ri burchakning bir tomoni tekislikka parallel bo’lib, ikkinchi tomoni bu tekislikka perpendikulyar bo’lmasa, mazkur to’g’ri burchak shu tekislikka haqiqiy kattalikda proeksiyalanadi.

Bu teoremani isbotlash uchun 3.21,a-rasmdan foydalanamiz. Shakldagi ABC=90^o ga teng va uning ikki tomoni H tekislikka parallel vaziyatda joylashgan deb faraz qilamiz. Bu vaziyatda uning gorizontal proeksiyasining qiymati o’ziga teng bo’lib proeksiyalanadi, ya’ni  =90^o bo’ladi.

a) b)
3.20-rasm

a) b) v)
3.21-rasm
To’g’ri burchakning BC tomonidan H tekislikka perpendikulyar qilib P tekislik o’tkazamiz. U holda ABP bo’lib, H∩P= P_H hosil bo’ladi. Agar to’g’ri burchakning BC tomonini AB tomoni atrofida aylantirib, ixtiyoriy BC₁ vaziyatga keltirsak ham uning bu tomonining proeksiyasi P_H bilan ustma-ust tushadi. Shunga ko’ra ABC₁=A′B′C′=90^o bo’ladi. Demak:
ABC=90^o bo’lib, AB||H va BC∥H bo’lsa, A′B′C′=90^o bo’ladi.
Chizmada ABC(AB∥H) va DEF(DE∥V) to’g’ri burchaklarning tasvirlanishi 3.21,b va 3.21,v-rasmlarda keltirilgan.
To’g’ri burchakning proeksiyalanish xususiyatidan chizma geometriyada metrik masalalarni echishda keng foydalanadi.

3.8–§. Chizmalarda ko’rinishlikni aniqlash

Geometrik figuraning fazodagi o’zaro vaziyatlariga oid masalalar echishda tasvirlarni yaqqolashtirish maqsadida ularning ko’rinadigan va ko’rinmaydigan qismlarini aniqlashga to’g’ri keladi.
Faqat birinchi oktantda joylashgan geometrik shakllarning kuzatuvchiga nisbatan yaqin turgan elementlari ko’rinadi, uning orqasidagi elementlari ko’rinmaydi. Boshqa oktantlarda joylashgan shakl yoki uning tarkibiy qismi ko’rinmas deb hisoblanadi.
Geometrik shakllarning kuzatuvchiga nisbatan chizmada ko’rinishligi raqobatlashuvchi nuqtalardan foydalanib aniqlanadi.

Ta’rif. Bitta proeksiyalovchi nurda (to’g’ri chiziqda) joylashgan nuqtalar raqobatlashuvchi nuqtalar deyiladi.

Agar kuzatuvchi proeksiyalovchi nur yo’nalishida raqobatlashuvchi nuqtalarga qarasa, u o’ziga yaqin bo’lgan nuqtani yoki proeksiyalar tekisligidan uzoqroq joylashgan nuqtani ko’radi.

Masalan, 3.22,a-rasmda berilgan bir proeksiyalovchi nurda joylashgan va V ga nisbatan raqobatlashuvchi bo’lgan A va B nuqtalarga s yo’nalish bo’yicha qaralganda, kuzatuvchiga yaqin bo’lgan yoki V tekislikdan uzoqroq joylashgan B nuqta ko’rinadi. Shuningdek, H ga nisbatan raqobatlashuvchi bo’lgan C va D nuqtalarga s₁ yo’nalish bo’yicha qaralsa, H tekislikdan uzoqroq joylashgan C nuqta ko’rinadi.
Chizmada raqobatlashuvchi nuqtalarning ko’rinishligini ularning koordinatalari orqali aniqlash ham mumkin. Raqobatlashuvchi nuqtalarning H tekislikka nisbatan ko’rinishligini z applikatasi, V tekislikka nisbatan y ordinatasi va W tekislikka nisbatan x abssissasi aniqlaydi.
H tekislikka nisbatan applikatasi eng katta bo’lgan raqobatlashuvchi nuqta kuzatuvchiga ko’rinadi.

а) б)
3.22-расм
3.22,b–rasmda , va raqobatlashuvchi nuqtalarning proeksiyalari berilgan. Bunda y_A<y_B va z_Sz_D bo’lgani uchun V tekislikka nisbatan B nuqta, H tekislikka nisbatan C nuqta ko’rinuvchi nuqtalar bo’ladi.
Fazoda turli vaziyatlarda joylashgan geometrik shakllarning chizmada ko’rinishligi ularga tegishli bo’lgan ayrim raqobatlashuvchi nuqtalarning ko’rinishligini tekshirish yo’li bilan aniqlanadi.
3.23,a-rasmda va uchrashmas to’g’ri chiziqlar berilgan. Bu to’g’ri chiziqlar gorizontal proeksiyalarning o’zaro kesishgan va H ga nisbatan raqobatlashuvchi bo’lgan nuqtalari 1′2′ ustma-ust proeksiyalangan. Bu nuqtalardan qaysi birini ko’rinishligini aniqlash uchun ularning gorizontal proeksiyasidan proeksiyalovchi chiziq o’tkazib, to’g’ri chiziqlarning frontal va proeksiyalarida 1″ va 2″ nuqtalar belgilanadi va z₁z₂ ekanligi aniqlanadi. Natijada, A chiziqqa tegishli 1 nuqta kuzatuvchiga ko’rinadi, b chiziqqa tegishli 2 nuqta esa uning ostida bo’ladi. Demak, va to’g’ri chiziqlarga yuqoridan qaraganda A to’g’ri chiziq b to’g’ri chiziqqa nisbatan kuzatuvchiga yaqin joylashgan.

а) б)
3.23-расм
3.23,b-rasmda ham va chiziqlarni V ga nisbatan qaraganda y₃>y₄ bo’lgani uchun 3 nuqta kuzatuvchiga ko’rinadi. Shuning uchun va to’g’ri chiziqlarga oldidan qaraganimizda d to’g’ri chiziq c to’g’ri chiziqqa nisbatan kuzatuvchiga yaqinroq joylashgan.

Nazorat savollari

1. 
   To’g’ri chiziqning proeksiyalari qanday hosil bo’ladi?
   
2. 
   Umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziq nima?
   
3. 
   To’g’ri chiziqning izlari nima?
   
4. 
   Qanday xususiy vaziyatdagi to’g’ri chiziqlarni bilasiz?
   
5. 
   Umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziq kesmasining haqiqiy uzunligi qanday yasaladi?
   
6. 
   O’zaro parallel to’g’ri chiziqlarning proeksiyalari qanday bo’ladi?
   
7. 
   Kesishuvchi va ayqash to’g’ri chiziqlarning proeksiyalari bir-biridan qanday farqlanadi?
   
8. 
   To’g’ri burchakning proeksiyalanishi haqidagi teoremani tushuntirib bering.
   
9. 
   Ko’rinishlikni aniqlashda raqobatlashuvchi nuqtalardan qanday foydalaniladi?