|
Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA
-
3 -
NAXÇIVAN DÖVLƏT UNİVERSİTETİ-196 7
İSSN 2222-940X
ELMİ ƏSƏRLƏR
FİZİKA-RİYAZİYYAT VƏ TEXNİKA
ELMLƏRİ SERİYASI
SERIES OF PHYSİCAL, MATHEMATİCAL AND
TECHNİCAL SCIENCES
СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ И
ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК
№ 4(69)
NAXÇIVAN, NDU, “QEYRƏT”-2015
НАУЧНЫЕ ТРУДЫ
SCIENTIFIC WORKS
-
4 -
NAXÇIVAN DÖVLƏT UNİVERSİT ET İ. ELMİ ƏSƏRLƏR, 2015, № 9 (65)
NAKHCHIVAN ST AT E UNIVERSIT Y
.
SC IENTIFIC WO RKS, 2015, № 9 (65)
НАХЧЫВАНСКИЙ ГОСУДАРСТ ВЕННЫЙ УНИВЕРСИТ ЕТ . НАУЧНЫЕ ТРУДЫ, 2015, № 9 (65)
RİYAZİYYAT
ТОФИГ НАДЖАФОВ
Нахчыванский Государственный Университет
tofiq –necefov @mail.ru
МИРАН АЛЕСКЕРОВ
Институт Математики и Механини Национальный
Академии Наук Азербайджана
УДК:510
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РИМАНА В ОБОБЩЕННЫХ КЛАССАХ ХАРДИ
Keywords: задача Римана, переменный показатель, класс Харди
1.
Введение
При решении многих уравнений смешанного типа методом Фурье возникают системы
косинусов и синусов следующего вида
Z
n
t
n
cos
,
(1)
N
n
t
n
sin
,
(2)
где
R
действительный параметр (
N
натуральные числа,
N
Z
0
). При
обосновании решения следует изучать базисные свойства подобных систем в надлежащих
пространствах функций. Более подробно относительно касающихся вопросов можно
рассмотреть напр., работы [1-4]. Базисные свойства систем (1), (2) в лебеговых и соболевых
пространствах функций ( в том числе и в весовых пространствах) хорошо изучены в работах
[5-12]. Следует отметить, что в последнее время в связи с приложением интерес к изучению
различных вопросов в пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем
суммируемости возрос. Этому направлению посвящены многочисленные работы.
Подробную информацию об этих вопросах можно получить из монографии [13].
Будем рассматривать систему вида
N
n
e
t
B
e
t
A
,
int
int
,
(3)
где
C
B
A
,
0
:
;
некоторые комплекснозначные функции. Ясно, что система (3)
обобщает системы (1) и (2). При изучении базисных свойств систем вида (3) в лебеговых
пространствах задачи Римана теории аналитических функций играют исключительную роль.
В настоящей работе рассматривается специальная однородная краевая задача Римана,
коэффициент которой имеет бесконечное число разрывов. При определенных условиях на
коэффициент задачи доказывается нетеровость этой задачи и строится общее решение в
классах Харди с переменным показателем суммируемости. Следует отметить, что частные
случаи этой задачи ранее были рассмотрены в работах [14;15].
2.
Необходимые сведения
Примем следующие стандартные обозначения.
Z
целые числа;
R
действительные
числа;
C
комплексная плоскость;
)
(
комплексное сопряжение;
nk
символ Кронекера;
A
характеристическая функция множества
.
A
Пусть
,
1
,
:
p
некоторая измеримая по Лебегу функция. Класс всех
измеримых на
,
(относительно лебеговой меры) функций обозначим через
0
L . Примем
обозначение
-
5 -
.
dt
t
f
f
I
t
p
def
p
Пусть
.
:
0
f
I
f
p
L
L
Относительно обычных линейных операций сложение функций и умножение на число, при
t
p
vrai
p
,
sup
,
L
превращается в линейное пространство. Относительно нормы
1
:
0
inf
f
I
f
p
def
p
,
L
является банаховым и его обозначим через
)
(
p
L
. Положим
.
ln
2
1
:
,
,
,
0
);
(
)
(
:
2
1
2
1
2
1
2
1
t
t
C
t
p
t
p
t
t
t
t
C
p
p
p
WL
def
Везде
q
обозначает сопряженную к
p
функцию:
1
1
1
t
q
t
p
. Примем
t
p
vrai
p
,
inf
,
t
p
vrai
p
,
sup
. Имеет место обобщенное неравенство Гельдера
q
p
g
f
p
p
c
dt
t
g
t
f
;
,
где
p
p
p
p
c
1
1
1
;
. Непосредственно из определения следует следующее свойство,
которым будем пользоваться.
При получении основных результатов важную роль играет следующий факт.
Свойство А
13
. Если
p
p
p
1
:
, то класс
,
0
C
(финитные и
. (14)
Из Леммы 3 следует, что бесконечное произведение
k
k
k
t
t
принадлежит
p
L
,
если
k
k
и выполнены неравенства
k
t
p
k
k
,
1
. А теперь обратим внимание
к выражению (14). По результатам монографии [18] имеет место соотношение
1
0
,
sup
t
u
vrai
. Тогда из Свойство А и Леммы 3 бесконечно дифференцируемые)
всюду плотный в
p
L
.
Обозначим через S сингулярный интеграл
t
d
t
f
i
Sf
,
2
1
,
где
C
некоторая кусочно-гельдерева кривая на C . Определим весовой класс
,
p
L
:
p
def
p
L
f
f
L
:
,
,
с нормой
p
def
p
f
f
,
. В работе
17
установлена справедливость следующего
утверждения.
Утверждение 2
16
. Пусть
p
WL
p
1
,
. Тогда сингулярный оператор S
ограниченно действует из
,
p
L
в
,
p
L
только тогда, когда выполнены
-
6 -
m
k
q
p
k
k
k
,
0
,
1
1
; (4)
где весовая функция
определена выражением
m
k
k
k
t
t
t
0
,
R
t
m
k
m
k
0
0
,
,
.
Через
0
p
H обозначаем обычный класс Харди, где
,
1
0
p
некоторое число.
Положим
)
(
:
),
(
1
),
(
p
p
L
f
H
f
H
, где
1
:
z
C
z
и
f
некасательные
граничные значения
f
на
. В работе [17] доказана следующая
Теорема 1. Пусть
1
,
p
WL
p
, и выполнены неравенства (4). Тогда если
),
(
p
H
F
,то
),
(
p
L
f
:
,
)
(
)
(
2
1
)
(
dt
t
f
t
K
z
F
z
(5)
где
it
z
ze
t
K
1
1
)
(
ядро Пуассона. Наоборот, если
),
(
p
L
f
, то функция
F
,
определенная выражением (5), принадлежит классу
),
(
p
H
.
Следуя классическому случаю нетрудно определяется весовой класс Харди
),
(
p
m
H
аналитических в
)
(
\
C
функций, имеющих порядок
m
m
0
на бесконечности.
Пусть
z
f
аналитическая на
\
C
функция, имеющая конечный порядок
m
m
0
на
бесконечности, т. е.
)
(
)
(
)
(
2
1
z
f
z
f
z
f
,
где
)
(
1
z
f
полином степени
m
m
0
(
0
)
(
1
z
f
при
0
0
m
),
)
(
2
z
f
правильная часть
разложения
)
(z
f
в ряд Лорана в бесконечно удаленной точке. Если функция
z
f
z
1
)
(
2
принадлежит классу
),
(
p
H
, то будем говорить, что функция
z
f
принадлежит классу
),
(
p
m
H
.
Совершенно аналогично классическому случаю доказывается справедливость
следующей теоремы.
Теорема 2. Пусть
,
1
,
p
WL
p
и выполнены неравенства (4). Если
),
(
p
H
f
, то
,
0
1
,
0
)
(
)
(
),
(
r
e
f
re
f
p
it
it
где
f
некасательные граничные значения
f
на
.
Так же справедлива следующая
Теорема 3. Пусть
,
1
,
p
WL
p
и имеют место неравенства (4). Если
),
(
p
m
H
f
,
то
,
0
1
,
0
)
(
)
(
),
(
r
e
f
re
f
p
it
it
где
f
некасательные граничные значения
f
на
извне
.
Покажем справедливость аналога классической теоремы Смирнова. Предположим,
что
1
,
p
WL
p
, и выполняются неравенства (4). Пусть
1
H
u
и
),
(
p
L
u
, где
u
–
некасательные граничные значения u на
. Тогда известно, что
:
)
(
1
L
f
-
7 -
.
)
(
2
1
)
(
d
z
f
i
z
u
Следовательно,
),
(
)
(
i
i
e
f
re
u
п.в. на
)
,
(
при
.
0
1
r
Отсюда непосредственно
следует, что
.
),
(
p
L
f
Тогда из Теоремы 1 получаем
),
(
p
H
u
. Итак, справедлива
Теорема 4. Пусть
1
,
p
WL
p
, и выполнены неравенства (4). Если
1
H
u
и
),
(
p
L
u
, то
),
(
p
H
u
.
Рассмотрим следующую задачу Римана в классах
:
),
(
),
(
p
m
p
H
H
,
),
(
)
(
)
(
)
(
f
F
G
F
(6)
где
),
(
p
L
f
некоторая функция. Под решением задачи (6) понимается пара
аналитических функций
),
(
),
(
))
(
);
(
(
p
m
p
H
H
z
F
z
F
, граничные значения которых п.в. на
удовлетворяют равенство (6).
Dostları ilə paylaş: |
|
|