Лемма 3. Пусть
,
~
k
s
множество различных точек, имеющее разве лишь
единственную предельную точку
,
,
~
0
s
множество чисел
k
h
~
удовлетворяют
условию iii) и неравенствам (9), (10). Тогда бесконечное произведение
принадлежит
пространству
,
p
L
.
Задачу (7) будем решать по схеме, предложенной в монографии И.И. Данилюка [18].
Рассмотрим следующие аналитические внутри (знак «+») и вне (знак «-») единичного круга
функции
:
1
X
dt
z
e
z
e
e
G
z
X
it
it
it
ln
4
1
exp
1
,
.
4
exp
2
dt
z
e
z
e
t
i
z
X
it
it
Определим
;
2
,
1
,
1
,
,
1
,
1
k
z
z
X
z
z
X
z
Z
k
k
k
и положим
.
2
1
z
Z
z
Z
z
Z
Непосредственное применение формулы Сохоцкого –Племеля дает
.
,
2
2
1
1
it
it
t
i
it
it
it
e
Z
e
Z
e
e
Z
e
Z
e
G
Отсюда следует, что функция
Z
удовлетворяет однородному граничному условию
,
0
Z
G
Z
. (12)
Функцию
Z
назовем каноническим решением однородной задачи
.
,
0
F
G
F
(13)
Подставляя значения
G
из (12) в (13) получим
Z
F
Z
F
,
Г
.
Пусть
z
Z
z
F
z
;
.
1
,
,
1
,
z
z
z
z
z
Нетрудно заметить, что функция
Z
не имеет нулей и полюсов на
Г
. Поэтому функции
и
F
имеют одинаковые порядки на бесконечности. Из результатов монографии [18]
непосредственно следует, что функция
принадлежит классу Харди
H
при достаточно
малом
0
. Покажем, что
1
H . Для этого достаточно показать, что
Г
L
1
.
Дальнейшее следует непосредственно из теоремы Смирнова.
Совершенно очевидно, что
p
it
L
e
F
. Поэтому, чтобы установить включение
-
11 -
1
L
, достаточно показать, что
p
L
Z
1
. Естественно это не всегда имеет место.
Положим
d
t
ctg
t
t
u
h
2
4
1
exp
2
sin
0
2
0
0
0
.
Разобьем множество
k
h на два множества: положительная часть
k
h
и абсолютные
значения отрицательной части
k
h
. Обозначим
2
2
sin
k
h
k
k
s
t
t
u
.
Как следует из результатов монографии [18],
2
Z
выражается формулой
2
1
0
2
0
2
sin
h
it
t
t
u
t
u
t
u
e
Z
.
Из формулы Сохоцкого-Племеля непосредственно следует
1
2
,
sup
it
e
Z
vrai
.
Таким образом, для
1
it
e
Z
имеем представление
2
1
1
0
1
2
1
0
2
sin
h
it
it
t
t
u
t
u
t
u
e
Z
e
Z
следует, что произведение (14), т.е.
функция
1
it
e
Z
, принадлежит пространству
q
L
, если соблюдены неравенства
.
1
2
;
,
1
2
0
q
h
k
s
q
h
k
k
(15)
В результате получаем, что при выполнении неравенства (15) функция
it
e
принадлежит
пространству
1
L
и следовательно
1
H
z
. Тогда по теореме единственности [18] (Лемма
19.1, с. 194)
z
есть полином
z
P
m
степени
m
, и значит
z
P
z
Z
z
F
m
. Выясним, при
каких условиях граничное значение
it
e
F
принадлежит пространству
p
L
. Ясно, что
it
m
it
it
e
P
e
Z
e
F
. Опят таки, если обратить внимание к формуле (14) , то получаем, что
при выполнении неравенств
.
1
2
;
,
1
2
0
p
h
k
s
p
h
k
k
it
e
F
принадлежит пространству
p
L
. Совершенно очевидно, что
1
H
z
F
. Тогда из
Теоремы 4 следует, что
p
m
p
H
H
z
F
;
. Таким образом, приходим к следующему
-
12 -
заключению.
Теорема 5. Пусть относительно коэффициента
it
e
G
задачи (13) выполнены
условия i)-iii);
p
p
WL
p
1
,
, и скачки
0
k
h
функции
it
e
G
arg
удовлетворяют
неравенствам
.
1
2
1
;
,
1
2
1
0
p
h
q
N
k
s
p
h
s
q
k
k
k
(16)
Тогда общее однородной решение задачи Римана (13) в классах
p
m
p
H
H
;
имеет вид
z
P
z
Z
z
F
m
, где
z
Z
каноническое решение однородной задачи,
z
P
m
произвольный
полином степени m
.
Из этой теоремы непосредственно следует следующее
Следствие 1. Пусть выполнены все требования Теоремы 5. Тогда при условии
0
F
однородная задача Римана (13) в классах
p
p
H
H
1
;
имеет только
тривиальное решение
0
z
F
.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных
областях . ДАН СССР, 1979, т.246, №6, с. 1303-1304
2.
Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа . Дифф.
уравн., 1992, т.28, №1, с. 123-132
3.
Моисеев Е.И. О решении задачи Франкля в специальной области . Дифф. уравн., 1992,
т. 28, №4, с. 682-692
4.
Моисеев Е.И. О существовании и единственности решения одной классической задачи
. Докл. РАН, 1994, т. 336, №4, с. 448-450
5.
Седлецкий А.М. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах
вещественной оси // Усп. мат. наук, 1982, т.37, в.5, с.51-95.
6.
Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов . ДАН СССР, 1984, т. 275, №4,
с. 794-798
7.
Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов. Дифференц. уравнения, 1987, т.
23, №1, с. 177-179
8.
Билалов Б.Т. Базисность некоторых систем экспонент, косинусов и синусов. Дифф.
уравнения. 1990,т.26,№1, с. 10-16
9.
Билалов Б.Т. Базисные свойства некоторых систем экспонент , косинусов и синусов.
Сибирский матем. журнал, 2004, Т.45, №2 , с.264-273
10.
Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов в весовом пространстве. Дифф.
уравнения, 1998, т.34, №1, с.40-44.
11.
Моисеев Е.И. Базисность в весовом пространстве одной системы собственных функций
дифференциального оператора. Дифф. уравнения, 1999, т.35, №2, с.200-205.
12.
Pukhov S.S., Sedletskii A.M. Bases of exponents, sines and cosines in weight spaces on
finite interval. Dokl. RAN, vol. 425, 4 (2009), pp.452-455.
13.
Cruz-Uribe D. V., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces: Foundations and Harmonic
Analysis. Springer, 2013.
14.
Bilalov B.T., Guseynov Z.G. Basicity of a system of exponents with a piece-wise linear phase
in variable spaces. Mediterr. J. Math. vol. 9 , no3 (2012), 487–498, DOI: 10.1007/s00009-
011-0135-71660-5446/12/030487-12
-
13 -
15.
Б и л а л о в Б . Т. , Гусейнов З.Г. Критерий базисности возмущенной системы экспонент в
лебеговых пространствах с переменным показателем суммируемости. Доклады Академии
Наук, 2011, т.436, №5, с.586-589
16.
Kokilashvili V., Samko S. Singular Integrals in Weighted Lebesgue Spaces with Variable
Exponent .Georgian Math.J., 2003, v.10, №1, pp. 145-156.
17.
Б и л а л о в Б . Т. , М а м е д о в Ф . И. , Б а н д а л и е в Р . А. , О классах гармонических
функций с переменным показателем суммируемости. Докл. НАН Аз., 2007, т. LXIII, в.5,
с. 16-21
18.
Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости, М., «Наука», 1975, 256 с.
XÜLASƏ
İşdə, əmsalları sonsuz sayda kəsilməyə malik olan xüsusi bircins Riman sərhəd məsələsinə
baxılmışdır. Əmsallar üzərində müəyyən şərtlər daxilində bu məsələnin nöterliyi ( Fredqolmluğu)
isbat edilmiş, dəyişən üstlü cəmlənən Hardi siniflərində məsələnin ümumi həlləri qurulmuşdur.
NDU-nun Elmi Şurasının 30 may 2015-ci il tarixli qərarı ilə çapa tövsiyə
olunmuşdur (protokol № 10)
Məqaləni çapa təqdim etdi: Riyaziyyat üzrə fəlsəfə doktoru, dosent
E.V.Ağayev
NAXÇIVAN DÖVLƏT UNİVERSİT ET İ. ELMİ ƏSƏRLƏR, 2015, № 9 (65)
NAKHCHIVAN ST AT E UNIVERSIT Y
.
SC IENTIFIC WO RKS, 2015, № 9 (65)
НАХЧЫВАНСКИЙ ГОСУДАРСТ ВЕННЫЙ УНИВЕРСИТ ЕТ . НАУЧНЫЕ ТРУДЫ, 2015, № 9 (65)
-
14 -
SAHİB ƏLİYEV
sahibali60@yahoo.com
ELŞAD AĞAYEV
ağayev.elshad@gmail.com
ELŞƏN MƏMMƏDOV
Naxçıvan Dövlət Universiteti
SƏFA ƏLİYEV
Naxçıvan Universiteti
UOT: 511
BƏZİ KOMPOZİT MATERİALLARDA GƏRGİNLİK
DEFORMASİYA VƏZİYYƏTİ
Açar sözlər: kompozit material, tarazlıq, tənlik, normal və toxunan qüvvə, bircins muhit,
Teylor sırası
Key words: composite materiale, balance, equation, normal and touching force, ordinary
environment, Teylor series
Kлючевые слова: композитные материали, баланс, уровнение, нормалъное и
прикасаю, однородное среда, ряды Тейлора.
Bir-birini kəsməyən ixtiyari sayda əyri laylardan ibarət elastiki cismə baxaq .
Əlaqələndirici və aparıcı layları ilə bağlı kəmiyyətləri (1) və (2) indeksləri ilə işarə edək.
Hər bir layı O
)
(k
m
x
)
(
1
k
m
x
)
(
2
k
m
x
)
(
3
k
m
düzbucaqlı koordinat sistemi ilə əlaqələndirək . Fərz
edək ki , aparıcı layı x
)
2
(
1m
O
)
2
(
m
x
)
2
(
3 m
müstəvisi üzərində yerləşir və hər bir aparıçı layının
qalınlığı sabitdir .Əlaqələndirici və aparıcı layların qalınlığını bircins və anizotrop götürək .
Göstərilən cisimdə
״
qasqulzusnos
״
müntəzəm yayılmış normal və toxunan qüvvələrin
təsiri ilə əmələ gələn gərginlik-deformasiya vəziyyətini tədqiq edək.
Hər bir lay üçün tarazlıq tənliklərini ümumiləşdirilmiş Huk qanunu və Koşi
münasibətlərini yazaq
0
)
(
)
(
k
jm
m
k
ij
x
m
k
ij
m
k
il
m
k
m
k
m
k
ij
e
;
k
im
m
k
j
k
jm
m
k
i
m
k
ij
x
u
x
u
e
)
(
)
(
2
1
k
im
m
k
i
m
k
x
u
(1)
(1)-də ümumi qəbul edilmiş işarələrdən istifadə edilmişdir.
Tutaq ki, aparıcı və əlaqələndirici layları arasında kontaktlıq şərtləri ödənilir. m
2
laylarının yuxarı səthini S
m
, aşağı səthini isə S
m
lə işarə edək. Və kontaktlıq şərtlərini
aşağıdakı şəkildə yazaq.
m
m
m
m
S
m
i
S
m
i
m
j
S
m
ij
m
j
S
m
ij
u
u
n
n
),
2
(
)
1
(
,
2
,
1
;
_
(2)
Burada
m
m
j
S
n
,
səthinə çəkilmiş normallardır.
)
2
(
m
layının orta səthinin tənliyini
)
,
(
)
,
(
)
2
(
3
)
2
(
1
)
2
(
3
)
2
(
1
)
2
(
2
m
m
m
m
m
m
m
x
x
f
x
x
F
x
(3)
1
,
0
-kiçik parametrdir.
-
15 -
Aparıcı layı qalınlığının sabitlik şərtindən və (3) tənliyindən istifadə edərək
m
S
səthləri
üçün aşağıdakı tənlikləri almaq olar.
2
1
2
3
3
1
2
1
3
1
3
1
3
3
1
3
1
)
2
(
3
)
2
(
3
3
1
)
2
(
3
1
)
2
(
2
1
3
1
3
1
)
2
(
1
2
1
,
,
1
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
t
t
t
F
t
t
t
F
t
t
L
t
t
t
F
t
t
L
H
t
x
t
t
L
H
t
t
F
x
t
t
t
F
t
t
L
H
t
x
(4)
(4) –də t
,
,
3
1
m
m
t
parametrlərdir.
)
2
(
)
2
(
m
H
m
əlaqələndirici layının qalınlığının yuxarısıdır. (4) tənliklərində bu səthlərə
çəkilmiş ortonormollar üçün ifadə çıxaraq.
t
t
A
t
t
A
n
t
t
A
t
t
A
n
t
t
A
t
t
A
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
)
(
)
(
;
)
(
)
(
;
)
(
)
(
3
,
1
3
,
1
3
,
3
3
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
1
3
,
1
1
,
1
(5)
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
t
x
t
x
t
x
t
x
t
t
A
3
)
2
(
3
1
)
2
(
2
3
)
2
(
2
1
)
2
(
3
3
,
1
1
)
(
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
t
x
t
x
t
x
t
x
t
t
A
3
)
2
(
1
1
)
2
(
3
3
)
2
(
3
1
)
2
(
1
3
,
1
2
)
(
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
t
x
t
x
t
x
t
x
t
t
A
3
)
2
(
2
1
)
2
(
1
1
)
2
(
2
3
)
2
(
1
3
,
1
3
)
(
2
3
1
3
2
3
1
2
2
3
1
1
2
3
,
1
)
,
(
)
,
(
,
m
m
m
m
m
m
m
m
t
t
A
t
t
A
t
t
A
t
t
A
İxtiyari m-ci təbəqənin gərginlik deformasiya vəziyyətini xarekterizə edən kəmiyyəti
parametrinə nəzərən sıralar şəklində axtaraq.
-
16 -
0
0
0
,
,
,
,
,
),
(
;
;
q
q
q
q
m
k
i
q
m
k
i
q
m
k
ij
q
m
k
ij
q
m
k
ij
q
m
k
ij
U
U
e
(7)
)
2
(
im
x
və
1
m
i
n
üçün (4) və (5) ifadələrində
-na nəzərən sıralar şəklində göstərək .
(7)-dəki hər bir yaxınlaşmanı Teylor sırasına ayıraq. Nəticədə (2) ilə birlikdə
2
2
m
H
X
müstəvisində hər bir yaxınlaşma üçün qeyri - bircins kontaklıq
münasibətlərini aşqar layının əyilməsi
3
x
-dən asılı olmadıqda ilk dörd yaxınlaşma
üçün yazaq.
Sıfırıncı yaxınlaşma
m
m
m
m
t
H
m
i
t
H
m
i
1
)
2
(
1
)
1
(
,
0
,
)
2
(
2
,
0
,
)
1
(
2
(8
m
m
m
m
t
H
m
i
t
H
m
i
u
u
1
)
2
(
1
)
1
(
,
0
,
)
2
(
,
0
,
)
1
(
Birinci yaxınlaşma
m
m
m
m
m
m
m
m
m
t
H
m
m
t
H
m
t
H
m
i
t
m
m
t
H
m
i
dx
df
dx
df
1
)
2
(
1
2
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
,
2
1
,
1
,
2
12
,
0
,
)
1
(
1
2
1
,
1
)
1
(
2
; 8(a)
m
m
m
m
m
t
H
m
i
t
m
i
t
H
m
i
u
u
1
)
2
(
1
1
)
1
)(
,
0
,
)
2
(
1
1
,
)
2
(
)
,
(
1
,
)
1
(
~
~
İkinci yaxınlaşma
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
t
H
m
i
t
m
m
t
H
m
t
H
m
i
t
m
m
t
H
m
i
dx
df
P
dx
df
P
1
)
2
(
1
1
2
1
)
1
(
1
1
)
1
(
1
,
1
,
)
2
(
1
)
(
2
1
,
1
,
2
12
,
1
,
)
1
(
1
2
1
,
1
)
1
(
2
; 8(b)
m
m
m
m
t
H
m
i
t
H
m
i
u
u
1
)
2
(
1
)
1
)(
,
2
,
)
2
(
)
,
(
2
,
)
1
(
~
~
Burada
-
17 -
)
(
2
1
,
)
(
)
(
1
1
,
)
(
)
2
(
2
1
2
,
)
(
2
)
(
2
1
k
m
m
k
ij
m
k
m
m
k
ij
m
m
m
m
k
ij
m
k
i
x
f
x
dx
df
P
)
(
2
)
(
1
2
)
(
1
)
2
(
)
(
2
1
,
)
(
1
)
(
1
1
,
)
(
)
2
(
1
2
,
)
(
1
2
)
(
1
2
~
1
k
m
m
k
k
m
m
m
k
m
m
k
m
k
m
m
k
i
m
k
m
m
m
k
m
k
x
u
dx
df
H
x
u
f
x
u
dx
df
u
u
k
m
m
k
k
m
m
m
k
m
m
k
m
k
m
m
k
i
m
k
m
m
m
k
i
m
k
i
x
u
dx
df
H
x
u
f
x
u
dx
df
u
u
1
0
1
2
1
1
)
(
2
0
,
)
(
1
)
(
1
0
,
)
(
)
2
(
1
1
,
)
(
1
)
(
1
1
2
~
Qeyd edək ki , 0 -cı yaxınlaşmanın qiyməti bütün layların ideal yerləşdiyi kompozit
materiallarda xarici qüvvələrin təsiri nəticəsində meydana gələn gərginlik-deformasiya
vəziyyətinə uyğundur. 1-ci,2-ci və sonrakı yaxınlaşmalar uyğun əyri laylara malik kompozit
materiallarda gərginlik deformasiya vəziyyətinə uyğun olacaq.
Dostları ilə paylaş: |