Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA



Yüklə 2,31 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə3/16
tarix07.04.2017
ölçüsü2,31 Mb.
#13619
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

           Лемма  3.  Пусть 

 






,

~



k

s

множество  различных  точек,  имеющее  разве  лишь 

единственную  предельную  точку 



,

,

~



0





s



  множество  чисел 

 


k

h

~

  удовлетворяют 



условию  iii)  и  неравенствам  (9),  (10).  Тогда  бесконечное  произведение 

 




  принадлежит 



пространству 

 




,





p

L

          Задачу  (7)  будем  решать  по  схеме,  предложенной  в  монографии  И.И.  Данилюка  [18]. 

Рассмотрим  следующие  аналитические  внутри  (знак  «+»)  и  вне  (знак  «-»)  единичного  круга 

 функции 



 

:

1





X

 

                              

 

 












dt



z

e

z

e

e

G

z

X

it

it

it

ln

4



1

exp


1

                                        



 

 


.

4

exp



2













dt

z

e

z

e

t

i

z

X

it

it

 

Определим 



 

 

 



 

 










;



2

,

1



,

1

,



,

1

,



1

k

z

z

X

z

z

X

z

Z

k

k

k

 

и положим  



                                         

 


   

.

2



1

z

Z

z

Z

z

Z

 



Непосредственное применение формулы Сохоцкого  –Племеля дает 

 

 



 

 


 

 


 

.

,



2

2

1



1

it

it

t

i

it

it

it

e

Z

e

Z

e

e

Z

e

Z

e

G





 



Отсюда следует, что функция 

 




Z

 удовлетворяет однородному граничному условию  

 

     









,



0

Z

G

Z

.                                    (12) 

Функцию 

 




Z

 назовем каноническим решением однородной задачи 

 

     



.

,

0











F



G

F

       


   (13) 

Подставляя значения 

 



G



 из (12) в (13) получим 

 

 



 

 


 









Z

F

Z

F



Г



.  



Пусть   

 


 

 


z

Z

z

F

z





 ;  

 


 

 












.

1

,



,

1

,



z

z

z

z

z

 

Нетрудно  заметить,  что  функция 



 



Z

  не  имеет  нулей  и  полюсов  на 

Г

.  Поэтому  функции 

 





  и 

 




F

  имеют  одинаковые  порядки  на  бесконечности.  Из  результатов  монографии  [18] 

непосредственно  следует,  что  функция 

 


 принадлежит классу Харди 





H

 при достаточно 

малом 


0



.  Покажем,  что 

 




1

.  Для  этого  достаточно  показать,  что 

 

 


Г

L

1





Дальнейшее следует  непосредственно из теоремы Смирнова. 

Совершенно  очевидно,  что 

 


 





p

it

L

e

F

.  Поэтому,  чтобы  установить  включение 



-

 

11 - 



 

 


1

L



,  достаточно  показать,  что 



 

 


 





p



L

Z

1



.  Естественно это не всегда имеет место.  

Положим 


 

 


 



























d

t

ctg

t

t

u

h

2

4



1

exp


2

sin


0

2

0



0

0



Разобьем  множество 

 


k

  на  два  множества:  положительная  часть 

 




k

h

  и  абсолютные 

значения отрицательной части 

 




k

h

. Обозначим 

 



2



2

sin






k

h

k

k

s

t

t

u

Как следует из результатов монографии [18], 



 



2

Z

 выражается формулой 

 

   


 

 


2



1

0

2



0

2

sin



h

it

t

t

u

t

u

t

u

e

Z











Из формулы  Сохоцкого-Племеля  непосредственно следует  

 

 



 

 

   



 











1



2

,

sup



it

e

Z

vrai



.  

Таким образом,  для  

 

1





it

e

Z

 имеем представление 

 

 


 

   


2



1

1

0



1

2

1



0

2

sin



h

it

it

t

t

u

t

u

t

u

e

Z

e

Z











  следует,  что  произведение  (14),  т.е. 



функция 

 


1



it

e

Z

, принадлежит пространству 

 



q



L

, если соблюдены неравенства 

 

 












.



1

2

;



,

1

2



0





q

h

k

s

q

h

k

k

                                                  (15) 

В результате получаем, что при выполнении неравенства (15) функция 

 


it

e



 принадлежит 

пространству 

1

L

 и следовательно 

 





1

H



z

. Тогда  по теореме единственности [18] (Лемма 

19.1, с. 194) 

 


z

 есть полином 



 

z

P

m

 степени 



m

, и значит 



 

   


z

P

z

Z

z

F

m

. Выясним, при 



каких  условиях  граничное  значение 

 


it

e

F

  принадлежит  пространству 



 



p



L

.  Ясно,  что 

     



it

m

it

it

e

P

e

Z

e

F



. Опят таки, если  обратить внимание к формуле (14) , то получаем, что 

при выполнении неравенств 

 


 













.

1



2

;

,



1

2

0





p

h

k

s

p

h

k

k

 

 



it

e

F

  принадлежит  пространству 



 



p



L

.  Совершенно  очевидно,  что 

 


1



H

z

F

.  Тогда  из 

Теоремы  4  следует,  что 

 


 

 








p



m

p

H

H

z

F

;

.  Таким  образом,  приходим  к  следующему 



-

 

12 - 



 

заключению. 



Теорема  5.    Пусть  относительно  коэффициента 

 


it

e

G

    задачи  (13)  выполнены  

условия  i)-iii);   









p



p

WL

p

1

,



,    и  скачки 

 


0

k



h

  функции 

 


it

e

G

arg


  удовлетворяют 

неравенствам 

 


 

 


 











.



1

2

1



;

,

1



2

1

0







p

h

q

N

k

s

p

h

s

q

k

k

k

                                 (16) 

Тогда  общее  однородной  решение  задачи  Римана  (13)  в  классах 

 


 







p

m

p

H

H

;

  имеет  вид 

     

z

P

z

Z

z

F

m



,  где 

 

z

Z

    каноническое  решение  однородной задачи,  

 


z

P

m

 произвольный 

полином  степени  m



Из этой теоремы непосредственно следует следующее   

Следствие    1.  Пусть  выполнены  все  требования  Теоремы  5.  Тогда  при  условии 

 


0





F

  однородная  задача  Римана    (13)  в  классах   

 


 







p



p

H

H

1

;



    имеет  только 

тривиальное решение 

 


0



z

F



 

ЛИТЕРАТУРА 

1.

 



Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных 

областях  . ДАН СССР, 1979, т.246, №6, с. 1303-1304 

2.

 

Моисеев  Е.И.    О  некоторых  краевых  задачах  для  уравнений  смешанного  типа  .  Дифф. 



уравн., 1992, т.28, №1, с. 123-132 

3.

 



Моисеев Е.И.  О решении задачи Франкля в специальной  области . Дифф. уравн., 1992, 

т. 28, №4, с. 682-692 

4.

 

Моисеев Е.И.  О существовании и единственности решения одной классической задачи 



. Докл. РАН, 1994, т. 336, №4, с. 448-450 

5.

 



Седлецкий  А.М.  Биортогональные  разложения  в  ряды  экспонент  на  интервалах 

вещественной оси // Усп. мат. наук,  1982, т.37, в.5, с.51-95. 

6.

 

Моисеев Е.И.  О базисности систем синусов и косинусов . ДАН СССР, 1984, т. 275, №4, 



с. 794-798 

7.

 



Моисеев  Е.И.    О  базисности    одной  системы синусов.  Дифференц. уравнения, 1987, т. 

23, №1, с. 177-179 

8.

 

Билалов  Б.Т.    Базисность  некоторых  систем  экспонент,  косинусов  и  синусов.    Дифф. 



уравнения. 1990,т.26,№1,  с. 10-16 

9.

 



Билалов  Б.Т.  Базисные  свойства  некоторых  систем  экспонент  ,  косинусов  и  синусов. 

Сибирский матем. журнал, 2004, Т.45, №2 , с.264-273 

10.

 

Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов в весовом пространстве. Дифф. 



уравнения, 1998, т.34, №1, с.40-44. 

11.


 

Моисеев Е.И. Базисность в весовом пространстве одной системы собственных функций 

дифференциального  оператора.  Дифф.  уравнения, 1999, т.35, №2, с.200-205. 

12.


 

 Pukhov  S.S.,  Sedletskii  A.M.  Bases  of  exponents,  sines  and  cosines  in  weight  spaces    on 

finite  interval.  Dokl.  RAN,  vol.  425, 4 (2009), pp.452-455. 

13.


 

Cruz-Uribe  D.  V.,  Fiorenza  A.  Variable  Lebesgue  Spaces:  Foundations  and  Harmonic 

Analysis.  Springer,  2013. 

14.


 

Bilalov  B.T.,  Guseynov  Z.G.  Basicity  of  a  system  of  exponents  with  a  piece-wise  linear  phase 

in  variable  spaces.  Mediterr.  J.  Math.  vol.  9    ,  no3  (2012),  487–498,  DOI:    10.1007/s00009-

011-0135-71660-5446/12/030487-12 



-

 

13 - 



 

15.


 

Б и л а л о в  Б . Т. ,  Гусейнов З.Г. Критерий базисности возмущенной системы экспонент в 

лебеговых пространствах с переменным показателем суммируемости. Доклады Академии 

Наук,  2011, т.436, №5, с.586-589 

16.

 

Kokilashvili  V.,  Samko  S.  Singular  Integrals  in  Weighted  Lebesgue  Spaces  with  Variable 



Exponent  .Georgian  Math.J.,  2003, v.10, №1, pp. 145-156. 

17.


 

Б и л а л о в   Б . Т. ,   М а м е д о в   Ф . И. ,   Б а н д а л и е в   Р . А. ,   О  классах  гармонических 

функций с  переменным показателем суммируемости.  Докл. НАН Аз., 2007, т. LXIII, в.5, 

с. 16-21 

18.

 

Данилюк И.И. Нерегулярные  граничные задачи на плоскости, М., «Наука»,  1975, 256 с.  



 

XÜLASƏ 

 

 

İşdə,  əmsalları  sonsuz  sayda  kəsilməyə    malik  olan  xüsusi    bircins  Riman  sərhəd  məsələsinə 



baxılmışdır.  Əmsallar  üzərində  müəyyən  şərtlər  daxilində  bu  məsələnin    nöterliyi  (  Fredqolmluğu)  

isbat  edilmiş,  dəyişən  üstlü  cəmlənən  Hardi  siniflərində  məsələnin  ümumi  həlləri  qurulmuşdur. 

 

 

 



 

NDU-nun  Elmi  Şurasının  30  may  2015-ci  il  tarixli  qərarı  ilə  çapa  tövsiyə 

olunmuşdur  (protokol  № 10) 

         Məqaləni  çapa  təqdim  etdi:  Riyaziyyat  üzrə  fəlsəfə  doktoru,  dosent                      



E.V.Ağayev 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NAXÇIVAN DÖVLƏT  UNİVERSİT ET İ.  ELMİ ƏSƏRLƏR,  2015,  № 9 (65) 



 

NAKHCHIVAN ST AT E UNIVERSIT Y

.

  SC IENTIFIC  WO RKS,  2015,  № 9 (65) 

 

НАХЧЫВАНСКИЙ  ГОСУДАРСТ ВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТ ЕТ .  НАУЧНЫЕ  ТРУДЫ,  2015,  № 9 (65) 



-

 

14 - 



 

 

SAHİB ƏLİYEV 

sahibali60@yahoo.com

 

ELŞAD AĞAYEV 

ağayev.elshad@gmail.com

 

ELŞƏN MƏMMƏDOV 

Naxçıvan Dövlət Universiteti 

SƏFA ƏLİYEV 

Naxçıvan Universiteti 

UOT:  511 

BƏZİ  KOMPOZİT  MATERİALLARDA   GƏRGİNLİK 

DEFORMASİYA   VƏZİYYƏTİ 

 

        

Açar  sözlər:  kompozit  material,  tarazlıq,  tənlik,  normal  və  toxunan  qüvvə,  bircins  muhit, 

Teylor  sırası 

       

Key  words:  composite  materiale,  balance,  equation,  normal  and  touching  force,  ordinary 

environment,  Teylor  series 

      

Kлючевые слова: композитные материали, баланс, уровнение, нормалъное и 

прикасаю, однородное среда, ряды Тейлора. 

 

        Bir-birini    kəsməyən    ixtiyari    sayda    əyri    laylardan    ibarət    elastiki    cismə    baxaq  . 



Əlaqələndirici  və  aparıcı  layları   ilə   bağlı   kəmiyyətləri   (1)  və  (2)  indeksləri   ilə   işarə   edək. 

        Hər    bir    layı      O

)

(k



m

      x


)

(

1



k

m

      x


)

(

2



k

m

      x


)

(

3



k

m

      düzbucaqlı   koordinat  sistemi  ilə  əlaqələndirək . Fərz  

edək    ki  ,  aparıcı    layı    x

)

2



(

1m

      O

)

2



(

m

      x


)

2

(



3m

    müstəvisi    üzərində    yerləşir    və    hər    bir     aparıçı   layının  

qalınlığı   sabitdir  .Əlaqələndirici    və  aparıcı  layların  qalınlığını   bircins   və  anizotrop   götürək  . 

      Göstərilən    cisimdə   

  ״

qasqulzusnos



 

״

      müntəzəm    yayılmış    normal    və    toxunan    qüvvələrin  



təsiri   ilə   əmələ   gələn   gərginlik-deformasiya   vəziyyətini   tədqiq   edək. 

      Hər    bir    lay    üçün    tarazlıq    tənliklərini    ümumiləşdirilmiş    Huk    qanunu    və    Koşi  

münasibətlərini   yazaq 

 

                  



0

)

(



)

(





k



jm

m

k

ij

x

      



 

 


 

 


 

m

k

ij

m

k

il

m

k

m

k

m

k

ij

e





   ;     



                    

 


 

 












k



im

m

k

j

k

jm

m

k

i

m

k

ij

x

u

x

u

e

)

(



)

(

2



1

           

 

 


 

k

im

m

k

i

m

k

x

u



                                    (1)           



       

      (1)-də  ümumi   qəbul   edilmiş   işarələrdən   istifadə   edilmişdir. 

      Tutaq    ki,      aparıcı          və    əlaqələndirici    layları        arasında      kontaktlıq      şərtləri      ödənilir.  m

 


2

  

laylarının      yuxarı    səthini    S





m

  ,    aşağı      səthini    isə    S



m

    lə    işarə      edək.    Və      kontaktlıq   şərtlərini   

aşağıdakı    şəkildə    yazaq. 

 

           



 

 








m



m

m

m

S

m

i

S

m

i

m

j

S

m

ij

m

j

S

m

ij

u

u

n

n

),

2



(

)

1



(

,

2



,

1

;



_



            (2) 

 

Burada   





m



m

j

S

n

,

  səthinə   çəkilmiş   normallardır. 



)

2

(



m

  layının   orta  səthinin   tənliyini 

 

                              



)

,

(



)

,

(



)

2

(



3

)

2



(

1

)



2

(

3



)

2

(



1

)

2



(

2

m



m

m

m

m

m

m

x

x

f

x

x

F

x



                                    (3) 

 

 


1

,

0



-kiçik   parametrdir. 



-

 

15 - 



 

       Aparıcı    layı    qalınlığının    sabitlik    şərtindən    və    (3)    tənliyindən    istifadə    edərək   



m

S

    səthləri  

üçün   aşağıdakı   tənlikləri   almaq   olar. 

 

                      



 







2



1

2

3



3

1

2



1

3

1



3

1

3



3

1

3



1

)

2



(

3

)



2

(

3



3

1

)



2

(

3



1

)

2



(

2

1



3

1

3



1

)

2



(

1

2



1

,

,



1

,

)



,

(

)



,

(

)



,

(

)



,

(

,



,







































m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

t

t

t

F

t

t

t

F

t

t

L

t

t

t

F

t

t

L

H

t

x

t

t

L

H

t

t

F

x

t

t

t

F

t

t

L

H

t

x

                 (4) 

 

(4) –də    t









,

,

3



1

m

m

t

      parametrlərdir. 

 

)

2



(

)

2



(

m

H

m

      əlaqələndirici      layının    qalınlığının        yuxarısıdır.    (4)    tənliklərində      bu      səthlərə   

çəkilmiş     ortonormollar    üçün    ifadə    çıxaraq. 

 

 



          

t

t

A

t

t

A

n

t

t

A

t

t

A

n

t

t

A

t

t

A

n

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

)

(



)

(

;



)

(

)



(

;

)



(

)

(



3

,

1



3

,

1



3

,

3



3

,

1



3

,

1



2

,

2



3

,

1



3

,

1



1

,

1











              (5) 

 

                 



m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

t

x

t

x

t

x

t

x

t

t

A

3

)



2

(

3



1

)

2



(

2

3



)

2

(



2

1

)



2

(

3



3

,

1



1

)

(













 

                    



m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

t

x

t

x

t

x

t

x

t

t

A

3

)



2

(

1



1

)

2



(

3

3



)

2

(



3

1

)



2

(

1



3

,

1



2

)

(













               

                      



m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

t

x

t

x

t

x

t

x

t

t

A

3

)



2

(

2



1

)

2



(

1

1



)

2

(



2

3

)



2

(

1



3

,

1



3

)

(













                                                                          





 



 

2



3

1

3



2

3

1



2

2

3



1

1

2



3

,

1



)

,

(



)

,

(



,

m

m

m

m

m

m

m

m

t

t

A

t

t

A

t

t

A

t

t

A





 



       

İxtiyari    m-ci      təbəqənin      gərginlik      deformasiya      vəziyyətini      xarekterizə      edən      kəmiyyəti     

   


parametrinə    nəzərən    sıralar     şəklində    axtaraq. 

 


-

 

16 - 



 

            

 

 


 

 


 









0

0



0

,

,



,

,

,



),

(

;



;

q

q

q

q

m

k

i

q

m

k

i

q

m

k

ij

q

m

k

ij

q

m

k

ij

q

m

k

ij

U

U

e





    (7) 


 

)



2

(

im



x

      və    

1

m



i

n

   üçün   (4)  və  (5)    ifadələrində   

 -na   nəzərən   sıralar    şəklində    göstərək . 



(7)-dəki    hər      bir      yaxınlaşmanı      Teylor      sırasına      ayıraq.  Nəticədə    (2)    ilə      birlikdə    

 


2

2

m



H

X



      müstəvisində      hər      bir      yaxınlaşma      üçün      qeyri    -  bircins        kontaklıq   

münasibətlərini      aşqar      layının      əyilməsi 

3

x

    -dən        asılı      olmadıqda        ilk      dörd      yaxınlaşma   

üçün    yazaq. 

Sıfırıncı    yaxınlaşma 

 

               







m

m

m

m

t

H

m

i

t

H

m

i

1

)



2

(

1



)

1

(



,

0

,



)

2

(



2

,

0



,

)

1



(

2





                                           (8 

             





m



m

m

m

t

H

m

i

t

H

m

i

u

u

1

)



2

(

1



)

1

(



,

0

,



)

2

(



,

0

,



)

1

(





 

Birinci    yaxınlaşma 

 

                



 



 



 

 


 





m



m

m

m

m

m

m

m

m

t

H

m

m

t

H

m

t

H

m

i

t

m

m

t

H

m

i

dx

df

dx

df

1

)



2

(

1



2

1

)



1

(

1



1

)

1



(

1

,



2

1

,



1

,

2



12

,

0



,

)

1



(

1

2



1

,

1



)

1

(



2









  ;                           8(a) 

 




m



m

m

m

m

t

H

m

i

t

m

i

t

H

m

i

u

u

1

)



2

(

1



1

)

1



)(

,

0



,

)

2



(

1

1



,

)

2



(

)

,



(

1

,



)

1

(



~

~





 

 

İkinci    yaxınlaşma 



                 

               



 



 



 

 


 





m



m

m

m

m

m

m

m

m

m

t

H

m

i

t

m

m

t

H

m

t

H

m

i

t

m

m

t

H

m

i

dx

df

P

dx

df

P

1

)



2

(

1



1

2

1



)

1

(



1

1

)



1

(

1



,

1

,



)

2

(



1

)

(



2

1

,



1

,

2



12

,

1



,

)

1



(

1

2



1

,

1



)

1

(



2







      ;                         8(b)                              





m



m

m

m

t

H

m

i

t

H

m

i

u

u

1

)



2

(

1



)

1

)(



,

2

,



)

2

(



)

,

(



2

,

)



1

(

~



~



      


 

Burada 


-

 

17 - 



 

        


 

)

(



2

1

,



)

(

)



(

1

1



,

)

(



)

2

(



2

1

2



,

)

(



2

)

(



2

1

k



m

m

k

ij

m

k

m

m

k

ij

m

m

m

m

k

ij

m

k

i

x

f

x

dx

df

P







           



                    

 


)

(

2



)

(

1



2

)

(



1

)

2



(

)

(



2

1

,



)

(

1



)

(

1



1

,

)



(

)

2



(

1

2



,

)

(



1

2

)



(

1

2



~

1

k



m

m

k

k

m

m

m

k

m

m

k

m

k

m

m

k

i

m

k

m

m

m

k

m

k

x

u

dx

df

H

x

u

f

x

u

dx

df

u

u

















 

                   

 

 


 

 


k

m

m

k

k

m

m

m

k

m

m

k

m

k

m

m

k

i

m

k

m

m

m

k

i

m

k

i

x

u

dx

df

H

x

u

f

x

u

dx

df

u

u

1

0



1

2

1



1

)

(



2

0

,



)

(

1



)

(

1



0

,

)



(

)

2



(

1

1



,

)

(



1

)

(



1

1

2



~















         



                 

          Qeyd    edək    ki  ,  0  -cı    yaxınlaşmanın    qiyməti    bütün    layların    ideal    yerləşdiyi    kompozit  

materiallarda    xarici    qüvvələrin  təsiri    nəticəsində    meydana  gələn    gərginlik-deformasiya  

vəziyyətinə    uyğundur.  1-ci,2-ci    və    sonrakı    yaxınlaşmalar    uyğun    əyri    laylara    malik    kompozit  

materiallarda   gərginlik   deformasiya   vəziyyətinə   uyğun   olacaq.                                  

 


Yüklə 2,31 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin