1.
Основные результаты
Относительно коэффициентов
A
и
B
системы (3) примем следующие
предположения.
i)
,
0
;
1
1
L
B
A
;
ii)
;
кусочно-непрерывные на
,
0
функции с точками разрыва
N
k
k
t
и
N
k
k
, соответственно. Предположим, что множество
k
k
k
t
s
~
может иметь
единственную предельную точку
,
0
~
0
s
и функция
t
t
t
~
имеет в точке
0
~
s
справа и слева конечные пределы.
iii)
1
~
k
k
s
h
, где
0
~
~
0
~
~
~
k
k
k
s
s
s
h
скачки функции
~
в точках
k
s~ .
Определим
.
0
,
,
0
,
1
1
t
t
B
t
A
t
t
A
t
B
e
G
it
Пусть
,
0
p
L
f
некоторая функция и положим
.
0
,
,
0
,
1
1
t
t
B
t
f
t
t
A
t
f
t
g
Рассмотрим следующую краевую задачу Римана в классах
p
m
p
H
H
:
,
,
0
F
G
F
(7)
Обозначим
it
e
G
t
arg
. Имеем
.
0
,
,
,
,
0
,
t
t
t
t
t
t
t
Ясно, что
k
s
s
~
0
0
тоже являются точками разрыва функции
на
,
.
Рассмотрим следующую функцию скачков
:
1
,
0
1
,
)],
0
(
[
0
1
s
s
s
s
h
s
s
s
k
k
где
,
~
~
0
k
k
k
s
s
s
s
а
.
0
0
k
k
k
s
s
s
h
-
8 -
Покажем, что функция
s
s
s
1
0
является непрерывной на
]
,
[
.
Непрерывность этой функции в произвольной точке
0
s
s
легко проверяется. Докажем ее
непрерывность в точках
0
s
s
. Достаточно рассмотреть случай
0
s
s
. Не ограничивая
общности будем считать, что функция
непрерывна слева. Пусть
0
s
s
. Имеем
.
0
0
1
s
s
s
k
s
s
k
s
s
k
k
k
k
s
h
s
h
s
h
s
(8)
Будем считать, что
,
0
s
s
card
k
так как, при
,
0
s
s
card
k
непрерывность
функции
0
справа в точке
0
s
s
очевидна. Так как,
k
k
h
, то ясно, что ряд
k
s
s
k
s
h
0
)
(
тоже сходится. Перенумеруем элементы последовательности
0
s
s
k
по убыванию (ясно,
что это возможно) и обозначим через
...
:
2
1
x
x
x
k
. Имеем
0
lim
s
x
k
k
.
Соответствующие им скачки обозначим через
k
k
k
x
h
:
. Так как, ряд
k
k
h
абсолютно сходится, то ясно, что ряд тоже
1
k
k
сходится. Для произвольной точки
0
s
s
существует
N
s
k
:
1
s
k
s
k
x
s
x
.
Ясно, что если s стремится к
0
s , то
s
k
. Поэтому
.
0
s
s
s
k
s
k
n
n
k
s
h
Тогда из выражения (8) для
1
получаем
.
lim
0
0
0
0
1
s
s
k
s
k
n
n
s
k
s
s
k
k
k
s
h
s
h
s
Опять таки, из (5) непосредственно следует
,
0
0
0
1
s
s
k
k
s
h
s
и в результате
.
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
s
s
s
h
s
s
Таким образом,
.
0
0
0
0
0
s
s
Итак, справедлива следующая
Лемма 1. Пусть имеет место условие iii), и функция
1
определена выражением
(8). Тогда
,
,
1
0
s
s
s
s
где
,
0
C
.
Эта лемма позволяет применить метод, разработанный в монографии И.И.Данилюка
[18] к решению однородной задачи Римана (7) в классах
p
m
p
H
H
. Предположим, что
имеют место неравенства
.
,
1
,
2
~
2
____
i
s
q
h
s
p
i
i
i
(9)
Следуя обозначениям книги [18] имеем
;
0
0
,
1
1
0
0
0
0
0
i
h
h
.
2
0
0
0
0
0
0
h
h
h
i
Скачок функции
s
1
в точке
0
s
равен
.
0
0
2
0
2
0
0
0
h
-
9 -
Сперва требуем выполнение неравенства
.
0
0
0
0
q
p
(10)
Прежде чем переходить к дальнейшему изложению, покажем справедливости одного
результата из монографии [18] в
p
L
. Пусть
,
k
произвольное, не более чем
счетное множество и
,
0
k
произвольная, но той же мощности совокупность
положительных чисел. Будем считать, что имеет место
.
,
;
1
N
k
k
k
k
k
(11)
Рассмотрим следующее бесконечное произведение
k
k
k
s
s
s
2
sin
.
В монографии И.И. Данильюка [18] доказана следующая.
Лемма 2 [18]. Пусть
,
k
s
различные точки и
,
0
k
удовлетворяют
условию (11). Если
,
1
inf
0
k
q
то бесконечное произведение
s
принадлежит
пространству
,
0
q
L
при
0
(т.е.
,
0
0
q
L
), и не принадлежит
,
,
q
L
при
.
0
q
q
Итак, пусть имеет место iii) и выполнены неравенства (9), (10). Покажем, что тогда
бесконечное произведение
0
,
2
~
sin
0
2
~
0
s
s
s
s
k
s
h
k
k
принадлежит пространству
,
p
L
. В действительности, ясно что при
N
m
,
функция
,
2
~
sin
2
~
0
k
s
h
m
k
k
m
s
s
s
принадлежит пространству
,
p
L
. Положим
.
0
~
,
0
,
0
~
,
~
2
1
k
k
k
k
s
h
при
s
h
при
s
h
h
Достаточно показать, что
,
p
m
L
, где
.
2
~
sin
1
k
h
m
m
k
k
m
s
s
s
Если
k
h
card
, то ясно что
.
,
p
m
L
Пусть
k
h
card
. Ясно, что
0
lim
k
k
h
.
Поэтому
k
m
k
m
h
1
inf
lim
.
Пусть
t
p
vrai
p
,
sup
.
Возьмем
.
1
inf
:
0
0
0
p
h
p
N
m
k
m
k
m
Из Леммы 2 [18] следует, что
,
0
0
m
p
m
L
. Тогда из
непрерывных вложений
-
10 -
,
,
,
,
0
p
p
p
L
L
L
m
получаем выключение
,
0
p
m
L
. Таким образом справедлива
Dostları ilə paylaş: |