Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA



Yüklə 2,31 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə2/16
tarix07.04.2017
ölçüsü2,31 Mb.
#13619
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

1.

 

Основные результаты 

Относительно  коэффициентов 

 



A



  и 

 




B

  системы  (3)  примем  следующие 

предположения. 

i) 


 

 


 

,



0

;

1



1







L

B

A

ii) 



   





;

кусочно-непрерывные  на 

 



,



0

  функции  с  точками  разрыва 

 

N

k

k

t

    и 



 

N

k

k



,  соответственно.  Предположим,  что  множество   

     



k

k

k

t

s



~

  может  иметь 



единственную  предельную  точку 

 


,

0



~

0



s

  и  функция 

 

   


t

t

t





~

  имеет  в  точке 

0

~

 



справа и слева конечные пределы.  

iii) 


 







1

~

k



k

s

h

, где 


 

 







0

~

~



0

~

~



~

k

k

k

s

s

s

h



скачки  функции 

 


~



 в точках 

k

s~ . 

Определим  

 

 

 



 

 


   

   












.



0

,

,



0

,

1



1

t

t

B

t

A

t

t

A

t

B

e

G

it



 

 

Пусть 



 

 




,

0



p

L

f

некоторая функция  и положим 



                                 

 


   

   














.

0

,



,

0

,



1

1

t



t

B

t

f

t

t

A

t

f

t

g



 

Рассмотрим следующую  краевую задачу  Римана в классах 

 

 






p



m

p

H

H



                     

     

,

,



0









F

G

F

                                  (7) 

Обозначим 

 

 


it

e

G

t

arg


. Имеем  



                             

 


   

 


   









.



0

,

,



,

,

0



,







t



t

t

t

t

t

t

 

Ясно,  что 



  


k

s

s

~

0



0



  тоже  являются  точками  разрыва  функции 

 





  на 



,



Рассмотрим следующую  функцию скачков 



 

:

1



 



 

 

 

 

  

 


,

0

1





 

 



 

  



 



 

,

)],



0

(

[



0

1





















s

s

s

s

h

s

s

s

k

k

 

где 


       

,

~



~

0

k



k

k

s

s

s

s



 а 



  

 


.

0



0





k



k

k

s

s

s

h



 

-

 

8 - 



 

Покажем,  что  функция 

   

 


s

s

s

1

0





  является  непрерывной  на 



]

,

[





Непрерывность  этой  функции  в  произвольной  точке 

0

s

s



 легко проверяется. Докажем ее 

непрерывность  в  точках 

0

s

s



.  Достаточно  рассмотреть  случай 

0

s



s

.  Не  ограничивая 



общности будем считать, что функция 

 


 непрерывна слева. Пусть 



0

s

s

. Имеем  



 

 


 

 


 

.

0



0

1













s

s

s

k

s

s

k

s

s

k

k

k

k

s

h

s

h

s

h

s



        


 

         (8) 

Будем  считать,  что 



,



0







s

s

card

k

так  как,  при 





,

0







s

s

card

k

  непрерывность 

функции 

 


0



 справа в точке 

0

s



s

 очевидна. Так как, 







k

k

h

, то ясно, что ряд 



k



s

s

k

s

h

0

)



(

 

тоже  сходится.  Перенумеруем  элементы  последовательности 



0



s

s

k

  по  убыванию  (ясно, 



что  это  возможно)  и  обозначим  через 

 


...

:

2



1



x

x

x

k

  .  Имеем 

0

lim


s

x

k

k



.  


Соответствующие  им  скачки  обозначим  через 

 


 

k

k

k

x

h



:

.  Так    как,    ряд 





k

k

h

 

абсолютно сходится, то ясно, что ряд тоже  





1

k

k

 сходится. Для произвольной точки 



0

s

s

 



существует 

 


N

s

k



                                      

 


 

1





s



k

s

k

x

s

x

Ясно, что если   стремится к 



0

, то 

 






s



k

. Поэтому   

 

 


 

.

0









s

s

s

k

s

k

n

n

k

s

h

 



Тогда  из выражения (8) для 

 


1



 получаем  

                    



 



 

 


 

.

lim



0

0

0



0

1



















s

s

k

s

k

n

n

s

k

s

s

k

k

k

s

h

s

h

s



 



Опять таки, из (5) непосредственно следует 

                                     



 



,

0

0



0

1







s



s

k

k

s

h

s



 

и в результате   

                  



   


 

.



0

0

0



0

0

0



0

0

1



0

1









s

s

s

h

s

s



 



Таким образом, 

 



.

0



0

0

0



0





s

s



 Итак,  справедлива следующая 

 

Лемма  1.  Пусть  имеет  место  условие  iii),  и  функция 

 



1





  определена  выражением 

(8). Тогда 

 


 

 






,

,



1

0







s

s

s

s

 где 





,

0





C

 

Эта  лемма  позволяет  применить  метод,  разработанный  в монографии И.И.Данилюка 



[18]  к  решению  однородной  задачи Римана (7) в классах 

 


 





p

m

p

H

H

. Предположим, что 

имеют место неравенства 

                               

 

 


.

,

1



,

2

~



2

____






i



s

q

h

s

p

i

i

i



                                            (9) 

Следуя обозначениям книги [18]  имеем  

                    

 


 

 


 



;



0

0

,



1

1

0



0

0

0



0













i



h

h

 

                   



 

 


 


   


.



2

0

0



0

0

0



0













h

h

h

i

 

Скачок функции 



 

s

1



 в точке 

0



s

 равен  


                 

     

 

   


.



0

0

2



0

2

0



0

0











h

 


-

 

9 - 



 

Сперва требуем  выполнение неравенства  

                                    

 


     

.

0



0

0

0



q

p







                                       (10) 

         Прежде  чем  переходить  к  дальнейшему  изложению,  покажем  справедливости  одного 

результата  из  монографии  [18]  в 

 




p

L

.  Пусть 

 









,

k

произвольное,  не  более    чем 

счетное  множество  и 

  






,

0

k

  произвольная,  но  той  же  мощности  совокупность 



положительных чисел. Будем считать, что имеет место  

 

.



,

;

1



N

k

k

k

k

k









                            (11) 



Рассмотрим следующее  бесконечное произведение 

                                            

 











k



k

k

s

s

s



2

sin


В монографии И.И. Данильюка [18]  доказана следующая. 

         Лемма  2  [18].   Пусть 

 






,

k



s

различные точки и 

  






,

0

k



 удовлетворяют 

условию  (11).  Если 

,

1



inf

0







k

q



  то  бесконечное  произведение 

 

s



  принадлежит 



пространству 





,

0





q

L

  при 

0





  (т.е. 

 







,

0

0







q

L

),  и  не  принадлежит 



,

,





q



L

 при 

.

0



q

q



 

         Итак,  пусть  имеет  место  iii)  и  выполнены  неравенства  (9),  (10).  Покажем,  что  тогда 

бесконечное произведение 

                                

 


 

0

,



2

~

sin



0

2

~



0











s

s

s

s

k

s

h

k

k



 

принадлежит  пространству 

 





,





p



L

.  В  действительности,  ясно  что  при 



N

m



,  

функция   

                                

 


 

,

2



~

sin


2

~

0





k



s

h

m

k

k

m

s

s

s







 



принадлежит  пространству 

 




,





p

L

. Положим  

 

 


 

 










.

0

~



,

0

,



0

~

,



~

2

1



k

k

k

k

s

h

при

s

h

при

s

h

h

 



Достаточно показать, что 

 




,







p

m

L

, где 


                                  

 


.

2

~



sin

1













k

h

m

m

k

k

m

s

s

s

 



Если 

 


 







k

h

card

,  то  ясно  что 

 

 


.



,







p

m

L

Пусть 


 

 






k

h

card

.  Ясно,  что 

0

lim






k

k

h

Поэтому 



















k



m

k

m

h

1

inf



lim

Пусть 



 



t

p

vrai

p



,

sup




Возьмем 


.

1

inf



:

0

0



0















p

h

p

N

m

k

m

k

m

  Из  Леммы  2  [18]      следует,  что 

 







,

0

0







m

p

m

L

.  Тогда из 

непрерывных вложений 


-

 

10 - 



 

 





 



,

,

,



,

0











p

p

p

L

L

L

m

 

получаем выключение 



 

 




,



0





p

m

L

. Таким образом справедлива 



Yüklə 2,31 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin