2
_2
2
Oo q c o s a
2 g
keyingi
hisobni
qiyinlashtirm aslik
uchun
buni
son
qiym atlarini q o ’yib hisoblaymiz.
- 1 3 8 -
h=
^ о , о Р
2
1,51
4 0 0
2
M
. 2
(
л/З"
2 -9 ,8
м / с 2
=
0 ,2 1 ^
Endi ф burchakni topamiz.
i - h
0,55
cosy= ------- =
-0,27
0,55
0,5 ф=60°
4-m asala. O g ’irligi P
2
=200N bo ’lgan bola silliq muz ustida
o g ’irligi P,=40N b o ’lgan chanaga $= 4 m /s boshlang’ich tezlik
berdi. Bola qancha ish bajardi? M uz bilan chana va bola
orasidagi ishqalanishni e ’tiborga olinmasin.
Yechish: M a’lumki, energiyaning o ’zgarishi bajarilgan
ishga teng b o ’ladi. bola chanaga ta ’sir qilm aganda ularning
kinetik
energiyasi
nolga teng b o ’lib,
ta ’sir
qilganda
energiyaning o ’zgarishi har ikkisining kinetik energiyalarini
y ig ’indisiga teng b o ’ladi, y a ’ni
mA
1
)
Bu yerda i9
2
-o ’zaro ta ’sir natijasida bolani olgan tezligi.
Buni im pulsning saqlanish qonunidan foydalanib topam iz.
mi
9
г m
2
<
9 2= 0
(
2
)
T o ’qnashm asdan avval um um iy im puls nolga teng b o ’lib,
to ’qnashgandan
keyin
chana
va
bola
qaram a-qarshi
tom onlarga ketadilar. Shuning uchun m inus ishora b o ’ladi.
(
2
) dan
9
;
mx9 {
9,
+ ■
l
2 ml
mi9l
m~,
2
n2
(3) ni ( l) g a q o ’yamiz.
i2 f
=
A
yoki A=
m A
1^1
1
+ ^ L
m
(3)
- 1 3 9 -
R
Р?
m i=
—1
v a m
2
= — ekanini e ’tiborga olsak
g
g
A=-
2
g
2
/
Son qiym atlarini o ’m ig a q o ’yib hisoblaym iz.
.2
40N-16
м
A=
4 0 п « 1 б 4 ^
_______ с
2 -
ю
4
1 +
v
4 0 n
2 0 0
n
= 3 8 ,5 J
STATIKA ELEMENTLARI
31-§. KUCHLARNI QO’SHISH VA AYIRISH.
TENG TA’SIR ETUVCHI KUCH
O ’quvchilam ing m aktabda olgan bilim larini takrorlab,
m exanika uch qism dan iboratligini, ular kinem atika, dinam ika
va statika deb yuritilishini, har bir b o ’lim nim alarni
o ’rganishini
eslariga tushirib,
statika kuchlar ta ’sirida
jism n in g m uvozanatini, kuchlam i q o ’shish va ayirish, kuchni
tashkil etuvchilarga ajratish va teng ta ’sir etuvchisini topish
va boshqalam i statikada o ’rganilishini aytib o ’tam iz.
O ’quvchilar dinam ikada kuch haqidagi tushuncha bilan
tanishganlar, kuch vektor kattalik b o ’lib, u m iqdorga va
y o ’nalishga ega b o ’lishini biladilar. B uni eslariga tushirib,
keyin uni q o ’yilish nuqtasining ham aham iyati katta ekanini,
buni
bilish zarurligini
m isollar asosida tushuntiram iz.
M asalan, richagda yuk k o ’tarishda kuch q o ’yilgan tom onning
yelkasi qancha katta b o ’lsa shuncha kam kuch q o ’yiladi. Buni
chizm alar yordam ida k o ’rsatam iz.
- 1 4 0 -
Kuch q a y s iW d a b o ’lmasin, uchta asosiy dalil (faktor) bilan
aniqlanadi: 1) K uchning miqdori, 2) K uchning y o ’nalishi va
3) Kuch q o ’yilgan nuqta.
K uch y o ’nalishga ega b o ’lgani uchun uni vektor bilan
tasvirlanishini,
vektor
kesm asining
uzunligi
m a’lum
m asshtabdagi
kuch
m iqdorini,
y o ’nalishi
esa
kuch
y o ’nalishini va ta ’sir chizig’ini tasvirlashini chizm a va
m asshtablar yordam ida tushuntiram iz (64-rasm ).
F
I
I
1
I
1
I
I
t----
1
64-rasm.
Shundan keyin kuchlam i q o ’shish, ayirish va tashkil
etuvchilarga ajratish parallelogram (yoki kuchlar uchburchagi
va
k o ’pburchagi)
qoidasi
orqali
am alga
oshirilishini
chizm alar yordam ida tushuntiram iz.
B ir necha kuch ta ’sirini bir kuch ta ’siri bilan alm ashtirish-bu
teng ta ’sir etuvchisini topish b o ’lib, uni vektorlam i q o ’shish
orqali topam iz. M asalan, ikkita kuch berilgan (65-rasm ),
ulam ing teng ta ’sir etuvchisini topish lozim b o ’lsin.
Avval
F2
kuchni F, kuch q o ’yilgan nuqtaga k o ’chirib
kelam iz. Kuchni bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga k o ’chirish-
uning
uzunligini
(y a’ni
m iqdorini)
va
y o ’nalishini
- 141 -
o ’zgartirm asdan o ’sha nuqtaga olib kelishdan iboratdir.
Shundan
keyin
bu
kuchlarga
parallelogram
quram iz.
K uchlam ing boshlanish nuqtasidan o ’tkazilgan dioganal bu
kuchlam ing teng ta ’sir etiivchisi b o ’lib, uning uzunligi
m iqdorini k o ’rsatadi: F
1
= F, +
F2
A gar kuchlar orasidagi burchak 0° b o ’lsa ular bir tom onga
y o ’nalgan b o ’lib teng ta ’sir etuvchi kuch ham shu tom onga
y o ’nalgan b o ’ladi.
A gar kuchlar orasidagi burchak 180° b o ’lsa ularning teng
ta ’sir etuvchisi katta kuch tom onga y o ’nalgan b o ’ladi.
K uchlar orasidagi burchak 0° dan ortib borsa teng ta ’sir
etuvchisi kam ayib borishini ham aytib, chizm alar yordam ida
k o ’rsatam iz.
A gar bir necha kuch berilgan b o ’lsa ularning teng ta ’sir
etuvchisini aniqlash uchun avval ikkitasining teng ta ’sir
etuvchisini topam iz. Keyin bu teng ta ’sir etuvchi bilan
uchinchi kuchning teng ta ’sir etuvchisini topam iz va Shu kabi
oxirgi teng ta ’sir etuvchi kuchni aniqlaym iz. Buni chizm ada
ketm a-ket chizib ko ’rsatamiz.
b) Shundan keyin berilgan kuchni, y a ’ni teng ta ’sir etuvchi
kuchni tashkil etuvchilarga ajratishni k o ’rib chiqam iz.
Bu yerda o ’quvchilarga ikkita holni k o ’rsatish m aqsadga
m uvofiqdir:
1) Kuchni biror nuqtadan o ’tuvchi va ta ’sir chiziqlari
a-a
va
b-b
y o ’nalishlarga parallel b o ’lgan tashkil etuvchilarga
ajratish (
6 6
-rasm ).
6 6
-rasm.
- 1 4 2 -
F
kuchning A boshi va В uchidan
a-a
va
b-b
y o ’nalishlarga parallel chiziqlar o ’tkazish bilan ADBC
parallelogram m ini
hosil
qilamiz.
B unda
F
kuch
parallelogram m ning diagonali b o ’lgani uchun, uning AC va
AD tom onlari
F
kuchning Fi va F
2
tuzuvchilarini (tarkibiy
qism larini) beradi.
2
)
F
kuchni son qiym atlari berilgan ikkita tuzuvchilarga
ajratish (67-rasm ).
F,
>— -
'
i
Fl
67-rasm.
Bu holda
Fx
va
F2
kuchlarning y o ’nalishini topish kerak
b o ’ladi. buning uchun
F
kuchning A boshi va В uchidan F!
va F
2
(son qiym atlari) radiuslar bilan yoy chizib, ularning
kesishgan nuqtasi Ci yoki C
2
ni topam iz.
Bu Ci nuqtani A va В nuqtalar bilan tutashtirib, A dan C)B
ga teng va parallel qilib A D
2
chiziqni o ’tkazam iz. Qurilgan
parallelogram m dan AC] bilan A D
2
bo ’yicha
F}
va
F2
kuchlarinng y o ’nalganligini ko ’ramiz. A Q B uchburchagidan
F, va
F2
ning
y o ’nalishlarini
aniqladik.
AD]B
- 1 4 3 -
uchburchagini olganim izda, kuchlam ing y o ’nalisj^i ADi bilan
A C
2
ga m os kelar edi. Demak, bu holda m asala ikkita
yechim ga
ega
b o ’ladi.
bu
ikkinchi
holni
akadem ik
litseylam ing
aniq
fanlar
y o ’nalishida
o ’qiyotgan
o ’quvchilarga k o ’rsatib o ’tilsa foydadan holi emas.
Birinchi holga birorta misol k o ’rsatib o’ tam iz.
Aytaylik, bola gorizontal y o ’lda chanani ip bilan tortib
ketayotgan b o ’lsin (
6 8
-rasm).
Bu vaqtda ip gorizont bilan a burchak hosil qilgan b o ’lsa ip
orqali bola ta ’sir etayotgan kuch ikkita tashkil etuvchilardan
iborat b o ’ladi: biri gorizontal, ikkinchisi vertikal tashkil
etuvchidir.
V ektom i tashkil etuvchilarga ajratish qoidasidan foydalanib
(
1
-hol)
F
kuchni tarkibiy qism larga ajratam iz. Undagi
Fx
tashkil etuvchisi chanani tortib harakatlantiradi.
32-§. PARALLEL KUCHLARNING TENG TA’SIR
ETUVCHISI
O ’quvchilar m aktabda richag va uning m uvozanati bilan
tanishganlar va laboratoriya ishini ham bajarganlar. Uni
takrorlab, richag m uvozanatda b o ’lganda unga q o ’yilgan
kuchlar parallel kuchlardan iboratligi, aylanish o ’qiga ta’sir
etuvchi kuch richagga q o ’yilgan kuchlam ing y ig ’indisidan
iborat
b o ’lishini, shu y ig ’indi kuch teng ta ’sir etuvchi
kuchdan iboratligini, aylanish o ’qining reaktsiya kuchi teng
ta ’sir
etuvchi
kuchga
ten g
v a
unga
qaram a-qarshi
- 1 4 4 -
y o ’nalganligini chizm alar va tajriba yordam ida tushuntiram iz
(richagning o g ’irligini hisobga olm adik). A ylanish o ’qidan
kuchlargacha b o ’lgan m asofalar Shu kuchlarga teskari
proportsional b o ’lishini ham eslariga tushiram iz, y a ’ni
F
/
— = — (69-rasm ).
F
f
2
LI
If
.9
Ж
69-rasm.
Shundan
keyin
M .X .O ’lm asova
kitobida
keltirilgan
tajribani, y a ’ni chizg’ichni ikkita rezina ipga ilib, unga
parallel kuchlar ta ’sir (yuklar ilib) etdirib, ularning teng ta ’sir
etuvchisini
aniqlashni
chizm a
va
tajriba
yordam ida
tushuntirib o ’tam iz. Bu holda ham teng ta ’sir etuvchi kuch
q o ’yilgan
nuqtadan
q o ’shiluvchi
parallel
kuchlargacha
b o ’lgan m asofalar kuchlarga teskari proportsional b o ’lishini
k o ’rsatam iz.
Endi jism g a o ’zaro parallel, lekin qaram a-qarshi y o ’nalgan
kuchlar ta ’sir qiladigan holni k o ’rib chiqaylik (70-rasm ).
- 1 4 5 -
Jism ga o ’zaro parallel b o ’lgan va qaram a-qarshi y o ’nalgan
F, va F
2
kuchlar ta ’sir qilayotgan b o ’lsin (F j> F 2). F, ni
ikkita tarkibiy qism ga ajratam iz. U lardan biri
Q
ni Shunday
tanlaym izki, u son jih atid an F
2
ga teng b o ’lib, V nuqtadan
o ’tsin. U vaqtda ikkinchi tarkibiy qism i F = F r F
2
b o ’lib, A
ning davom idagi biror S nuqtaga q o ’yiladi. U holda
yuqoridagi kabi
F ,
A C
. F ,
AC
------±— = ----- yoki
= -------
F} - F 2
AB
F
AB
F2
va
Q
kuchlam ing m odullari (m iqdori) teng b o ’lgani
uchun ulam ing teng ta ’sir etuvchisi nolga teng b o ’lib С
nuqtada F kuchgina qoladi. Bu kuch F, va F
2
kuchlam ing
teng ta ’sir etuvchisi b o ’ladi: F =Fi-F
2
B ulardan tashqari:
A
= ^ L = Z _
BC
A C
AB
'
Dem ak, bir-biriga teskari ikkita parallel kuchning teng ta ’sir
etuvchisi ulam ing ayirm asiga teng va y o ’nalishi katta kuch
y o ’nalishida b o ’ladi. teng ta ’sir etuvchi kuch q o ’yilgan nuqta
AB kesm a ustida katta kuch q o ’yilgan nuqta tom onida yetib,
shu kesm ani kuchlarga teskari proportsional qism larga
b o ’ladi.
b)
O ’quvchilarga b a’zi hollarda kuchni o ’zaro parallel
b o ’lgan kuchlarga ajratishga to ’g ’ri kelishini aytib unga
m isollar keltiram iz. M asalan, stol ustida turgan yuk. uning
oyoqlariga qanchadan kuch bilan ta ’sir qilishini, k o ’prik
ustidagi m ashinaning tayanchlarga k o ’rsatadigan kuchini,
uyda pol ustidagi buyum lam i devorlarga beradigan ta ’sir
kuchini aniqlashga to ’g ’ri keladi.
A ytaylik o g ’irligi P b o ’lgan m ashina k o ’prik ustida turgan
b o ’lsin. M ashinaning o g ’irlik m arkazi q o ’yjlsgan nuqta О
b o ’lsin (71-rasm ).
- 1 4 6 -
Tayanchlarga bosuvchi kuchlar F, va F
2
b o ’lsin. Parallel
kuchlarning teng ta ’sir etuvchisini aniqlashdan kelib chiqqan
xulosalardan foydalanib
A
F ,
yoki
F
*
.
• F
f
/
2
]
x
J
1
c
1
1
2
£
i
+£2) form ulalarni yozishim iz m um kin.
Y uqoridagi form ulaladn (oxirgisidan):
F, = — F ; F
2
= - y - F kelib chiqadi;
ikkinchi va uchinchisini Fj va F
2
ga nisbatan yechsak:
P
„
F
kelib chiqadi.
(bunda £=
F
+ 1
+
1
i 2
e,
Turli inshoot, qurilish va texnik qurilm alarda kuchning
tashkil etuvchilarining kattaligini oldindan aniqlash muhim
aham iyatga egadir. Bir misol k o ’raylik.
M asala. Uzunligi £=
6
m b o ’lgan balkaning chap tayanchidan
Ci=2m uzoqlikdagi S nuqtada P = 8 1 0 4N yuk q o ’yilgan.
B alkaning uchlari tayanchga erkin tiralgan. Fj va F
2
tayanch
reaktsiyalari toplisin (72-rasm ).
- 1 4 7 -
Y echilishi. A va В nuqtalardagi aniqlanayotgan reaktsiya
kuchlari P kuchning tayanchlarga k o ’rsatgan bosim lariga teng
va qaram a-qarshi y o ’nalgan. Shuning uchun yuqorida ко rgan
form uladan foydalanib, ulam ing qiym atlarini bevosita topa
olamiz:
-
Fl= ^ / , ; F
2
= ^ - / >; £
2
=C-Ci=6-2=4m
P va
1 ,1
1
, 1 2 lam ing qiym atlarini q o ’ysak:
F,
= —- 8 - 1 0 4N
: — 10 4 N ;
F7
= —- 8 - 1 0 4N = - 1 0 4N
3
6
3
- 1 4 8 -
33-§. KUCH MOMENTI. JUFT KUCHLAR
MOMENTI
O ’quvchilarga “aylanish o ’qiga ega b o ’lgan jism ni, m asalan,
eshikni aylanish o ’qiga yaqin jo y ig a ta ’sir qilib ochish
osonm i yoki uzoqroqqa ta ’sir qilib ochish osonm i?” degan
savolni q o ’ysak ular, albatta aylanish o ’qidan uzoqroq
yerlarga ta ’sir qilib ochish oson b o ’lishini aytadilar. Bu
javobni hayot tajribasiga asoslanib aytadilar. B undan aylanish
o ’qiga ega b o ’lgan jism ni harakatlantirishda kuchning
kattaliginigina em as balki q o ’yish nuqtasini, y a ’ni aylanish
o ’qidan qanday m asofaga q o ’yilishiga ham b o g ’liq b o ’ladi
degan
xulosani
chiqaram iz
va
aylanm a
harakatlarni
o ’rganishda “kuch m om enti” deb ataluvchi tushunchadan
keng
foydalanilishini
aytib,
keyin
uni
o ’rganishga
boshlaym iz.
A ytayiik, aylanish o ’qiga ega b o ’lgan jism n in g biror A
nuqtasiga
F
kuch ta ’sir qilsin (73-rasm ).
73-rasm.
A ylanish o ’qidan kuch chizig’iga yoki uning davom iga
tushirilgan perpendikulyam ing uzunligini, y a’ni aylanish
o ’qidan kuchning ta ’sir chizig’igacha bo ’lgan eng qisqa
m asofani shu kuchning yelkasi deb atalishini aytib, uni
rasm da bajarib k o ’rsatamiz. Rasm da OC=C kuch yelkasidir.
Kuchni o’zining yelkasiga ko ’paytmasi bilan o’lchanadigan
kattalikni kuch momenti yoki aylantiruvchi moment deb
atalishini ta ’rfilab keyin uning formulasini beramiz:
M = F£
Kuch momenti vektor kattalik bo’lib, uning yo’nalishi o ’ng
parma qoidasiga asosan aniqlanishini aytib bu qoidani beramiz:
parmani aylanish o ’qi bo’ylab qo’yib, uning dastasini kuch
y o ’nalishida aylantirganimizda
ilgarilanma harakati
qaysi
tom onga bo’lsa kuch momentining yo’nalishi ham o’sha
tomonga b o ’ladi. Buni chizmada ko’rsatib tushuntiramiz.
Kuch va yelkasi bittadan birliklarga teng bo’lsa kuch momenti
ham bir birlikka teng bo ’lib, u (Nm) dan iboratdir.
Shundan keyin juft kuch va uning momenti haqidagi
tushunchani beramiz.
M a’lum
oraliqda
bir-biriga
qarama-qarshi
parallel
yo’nalishdagi miqdor jihatidan teng bo’lgan ikki kuchni juft
kuch deb atalishini, juft kuchlarning ta’sir chiziqlari orasidagi
eng qisqa masofani ju ft kuchlarning yelkasi deb atalishini,
kuchlardan birining kuch yelkasiga ko’paytmasini juft kuch
momenti deb atalishini bayon qilib, ularni chizmalar yordamida
tushuntiramiz (74-rasm).
F |€ = F 2€; birligi (Nm )
Juft kuch ta’sirida jism aylanishini, juft kuchning teng ta ’sir
etuvchisi bo’lmasligini (chunki Fi=F
2
bo’lib, F|-F2=0 dir), juftni
hosil qiluvchi kuchlar muvozanatlashmasligini, juft kuch jismni
soat strelkasi bo’ylab aylantirsa uning momentini musbat deb
olinishini, juft kuch momentining kattaligi aylanish o ’qining
vaziyatiga bog’liq bo’lmasligini, uning birligi (Nm) dan
iboratligini aytib o ’tamiz.
- 1 5 0 -
34-§. KUCH MOMENTLARINI QO’SHISH.
AYLANISH O’QIGA EGA BO’LGAN JISMNING
MUVOZANAT SHARTI
A gar jism g a bir necha kuch ta ’sir qilsa ulam ing ta ’sirini
bitta teng ta ’sir etuvchi kuch ta ’siri bilan alm ashtirishni
o ’quvchilam ing eslariga tushirib, xuddi shunday bir necha
kuchlam ing
aylantiruvchi
m om entlarini
bitta kuchning
aylantiruvchi momenti bilan alm ashtirish m um kinligini aytib,
uni am alga oshirish usulini chizm alar va tajriba yordam ida
tushuntiram iz (75-rasm).
Aytaylik, q o ’z g ’almas o ’qqa ega b o ’lgan jism g a ta ’sir
etuvchi
Fx
kuch bu jism ni soat strelkasiga qarshi y o ’nalishda
aylantirsin. U ning m om entini m usbat deb olam iz. Jism
m uvozanatda
b o ’lishi
uchun
soat
strelkasi
b o ’yicha
aylantiruvchi
kuchlar
b o ’lib,
ulam ing
m om entlarining
y ig ’indisi
Fl
kuch m om entiga teng b o ’lishi lozim, y a ’ni
F2
va
F
3
kuchlarining m om entlari y ig ’indisi
Fx
kuch
m om entiga teng b o ’lishi kerak:
Fi£i= F 2£2+ Рз^з
Bu tenglikdan ko’ramizki, ikkita (bir necha) bir tom onga
aylantiruvchi
kuchlam ing
m om entlarining
algebraik
y ig ’indisi shu tom onga aylantiruvchi um um iy m om entni hosil
qiladi, y a ’ni b ir necha kuchlar m om entlarini bitta kuch
- 151 -
m om enti bilan alm ashtirildi. Bu kuch m om entlarini q o ’shish
dem akdir.
Soat
strelkasiga
qarshi
y o ’nalishda
aylantiruvchi
m om entlam ing
y ig ’idnisi
soat
strelkasi
y o ’nalishida
aylantiruvchi
m om entlam ing
y ig ’indisiga
teng
b o ’lsa
aylanish o ’qiga ega b o ’lgan jism m uvozanatda b o ’lishini
chizm a v a tajriba yordam ida (richagni m uvozanati holatiga
keltirib) tushuntiram iz. B izning m isolda
M i= M 2+ M 3
shart bajarilganda jism m uvozanatda b o ’ladi. Jism ning
m uvozanatlik
shartini
vektor
k o ’rinishda
quyidagicha
yozam iz:
м[+м~2+м1 =
0
D em ak, q o ’zg ’alm as o ’qqa ega b o ’lgan jism g a ta ’sir etuvchi
barcha kuchlarning m om entlarini algebraik y ig ’indisi nolga
teng b o ’lganda bu jism m uvozanatda b o ’ladi.
Bu qoida m om entlar qoidasi deb yuritiladi. U ni qisqacha
quyidagicha yozilishini k o ’rsatamiz.
T,(F£)l = 0
yoki
S M j = 0 ;
ularning
o ’qlardagi
i=i
i=i
proektsiyalari ham
0
ga teng b o ’ladi:
Ц М , ) , = 0; Щ ) , = 0; Z(M,)2 = 0
35-§. QATTIQ JISM MUVOZANATINING UMUMIY
SHARTI
A vval qattiq jism ning ilgarilanm a harakat qilgan vaqtdagi
m uvozanat shartini k o ’rib chiqamiz.
A gar jism g a biriktirilgan ixtiyoriy to ’g ’ri chiziq harakat
davo'mida o ’ziga paralleligicha qolsa bunday harakatni
ilgarilanm a harakat deyilishini,
unda jism n in g
barcha
nuqtalarining bir xil vaqt oraliqlarida k o ’chishi kattalik va
y o ’nalish jihatdan bir xil b o ’lishini chizm alar yordam ida
tushuntiram iz (76-rasm ).
76-rasm.
Jism ga biriktirilgan AB chiziq harakat davom ida o ’ziga
paralleligicha qolayotir. Dem ak, jism ilgarilanm a harakat
qilayotir.
H ar qanday jism bir vaqtning o ’zida ilgarilanm a harakat
qilishi bilan birga aylanm a harakatda ham b o ’lishi mumkin.
Biz bu yerda faqat ilgarilanm a harakat qilayotgan jism nin g
m uvozanat shartini k o ’rib chiqam iz.
A gar jism g a b ir necha kuch ta ’sir qilayotgan b o ’lsa, ulam ing
teng t'a’sir etuvchisini parallelogram m qoidasiga k o ’ra
aniqlashni eslariga tushirib, bu kuchlam ing teng ta ’sir
etuvchisini topam iz. A gar bu teng ta ’sir etuvchi nolga teng
b o ’lib chiqsa, u holda jism m uvozanatda b o ’ladi. A garda teng
ta ’sir etuvchi kuch nolga teng b o ’lm asa jism ni m uvozanat
holatiga keltirish uchun
bu teng ta ’sir etuvchiga m iqdor
jihatidan teng va qaram a-qarshi y o ’nalgan kuch q o ’yilishi
lozim ligini aytib, uni chizm alarda tushuntiram iz.
Demak, aylanish b o ’lm aganda eism ning m uvozanatda
b o ’lishi uchun unga q o ’yilgan kuchlam ing teng ta ’sir
etuvchisi nolga teng b o ’lishi kerak.
- 153 -
Z F = 0 ; S F ’ =*0; I F = 0 ; I F , = 0 .
•*
У
*
M isollar k o ’rib chiqamiz.
Parashyutchi parashyutini ochganda havoning qarshilik
kuchi ortadi, natijada parashyutchi sekinlanuvchan harakat
qila boshlaydi va m a’lum bir vaqtdan keyin og ’irlik kuchi
bilan havoning qarshilik kuchi tenglashib, shu vaqtdan
boshlab parashyutchi to ’g ’ri chiziqii tekis harakat qila
boshlaydi, y a ’ni u m uvozanat holatiga o ’tadi.
Y ana bir m isol. Jism qiya tekislikda ishqalishsiz harakat
qilayotgan b o ’lsa, uning o g ’irlik kuchini qiya tekislik b o ’ylab
tashki etuvchisiga teng va unga qarshi y o ’nalgan kuch
h
q o ’yilsa u m uvozanat holatiga o ’tadi y a ’ni F =Fi=Psina=P —
shart bajarilsa jism m uvozanatda b o ’ladi (77-rasm ).
Bu shart bajarilsa jism g a ta ’sir etuvchi ham m a kuchlam ing
geom etrik y ig ’indisi nolga teng b o ’ladi:
—> —>
—> —>
F
t
+ Fishq + Fe+ N = 0
Bu kuchlam ing X va Y o ’qlarga proektsiyalari
(^ )x = -F T; (
f
)
x
=F; (tf)= 0 ; { ^ ) x=0;
Й ) у = о ;
H , = N ; ( ^ ) y=-F
6
- 1 5 4 -
I
Fr
| = |
F
| va |
F
6 1
= |
N
I ekanini e ’tiborga olsak ularning
o ’qlardagi proektsiyalari y ig ’indisi - F T+F=0;
-F
6
+N=0
b o ’ladi.
Demak, aylanish b o ’lm aganda jism g a ta ’sir etuvchi kuchlar
y ig ’indisi nolga teng b o ’lsa, jism m uvozanatda b o ’ladi.
b)
aylanm a harakatda jism ning ham m a nuqtalari aylanish
o ’qida yotuvchi m arkazlari atrofida aylanalar bo ’ylab bir xil
burchak tezlik bilan harakatlanadilar. Aylanish o ’qiga ega
b o ’lgan jism larning m uvozanatlik sharti yuqorida ko ’rib
П
chiqqan edik, bu shart
2
M
=
0
dan iboratligini bilamiz.
/=!
Shuning uchun unga bu yerda to ’xtalm aym iz.
v) Jism lar k o ’p hollarda m urakkab harakatda, y a ’ni ham
ilgarilanm a, ham aylanm a harakatda b o ’ladi.
B unday m urakkab harakat qilayotgan jism m uvozanatda
b o ’lishi uchun unga ta ’sir qilayotgan ham m a kuchlarning
teng ta ’sir etuvchisi va uning o ’qlardagi proektsiyalarining
algebraik
y ig ’indisi
va
bu
kuchlarning
aylantiruvchi
m om entlarining va ularning o ’qlardagi proektsiyalarining
algebraik y ig ’indisi nolga teng b o ’lsa jism m uvozanatda
b o ’ladi.
EF=0; I ( F ) x=0; I ( F ) y=0; L(F)z=0
SM =0; S (M )x=0; Ц М )у=0; I ( M ) z=0
Bu m urakkab harakat qilayotgan jism ning m uvozanatlik
shartidan iboratligini, u yetarli ekanini uqdirib o ’tam iz.
36-§. JISMLARNING MASSA MARKAZI
M assa haqidagi tushunchani tajribadan boshlab kiritish
maqsadga
muvofiqdir.
Penoplastdan
tayyorlab
qo’yilgan
g ’ishtning turli yerlariga irmoqli ignalar sayib qo’yamiz. Jismni
stol ustiga qo’yib, ipni ignalarning irmoqlariga ketma-ket ilib,
har safar jismni tortamiz, y a’ni jism ga turli y o ’nalishlarda kuch
ta’sir etdiramiz va jism ning qanday harakat qilishini kuzatamiz
(78-rasm).
78-rasm.
1-,2-,4-tajribalarda jism kuch yo’nalishida ilgarilanma harakat
qiladi. 3- va 5- tajribalarda jism oldin burilib keyin ilgarilanma
harakat qiladi.
6
-tajribada jism F kuch ta ’siriga ilgarilanma
harakat qiladi, boshqa kuchlar ta’sirida avval burilib keyin
ilgarilanma harakat qiladi.
Har bir tajribada jism burilib, keyin ilgarilanma harakatga
kelgan vaqtdagi kuchning yo’nalishini g ’isht ustiga chizib
boramiz. Jismni ilgarilanma harakatlami qilgan vaqtdagi
kuchlaming yo’nalish chiziqlari bir nuqtada kesishganini
o’quvchilarga ko ’rsatib, unga asosan quyidagicha xulosani
chiqaramiz.
Har bir jism uchun uni ilgarilanma harakatga keltiruvchi
kuchlaming ta ’sir chiziqlari kesishadigan bitta nuqta mavjud
bo’lib, bu nuqtani jism ning massa markazi deb ataladi.
Massalar markazidan o ’tmaydigan to ’g ’ri chiziq bo’ylab
yo’nalgan har qanday kuch jism ni aylanm a harakatga keltiradi.
Jismlarning massa markazlari ulaming og’irlik markazlari bilan
ustma-ust tushadi.
Jismlarning og’irlik markazlarini parallel kuchlam ing teng
ta’sir etuvchisi orqali aniqlashimiz mumkin. Jism zarralarining
og’irlik kuchlari Yer markaziga yo’nalgan bo’lib, ulami parallel
kuchlar deb qarash mumkin (Er katta bo’lgani uchun). Bu
parallel kuchlam ing teng ta’sir etuvchisini topishni ko’rganmiz.
Bu yetng ta’sir etuvchi q o ’yilgan nuqta jism ning o g ’irlik
markazidan iborat bo’ladi (79-rasm).
- 1 5 6 -
79-rasm.
Masalan, bir jinsli va hamma yerida qalinligi bir xil bo’lgan
chizg’ichning turli qismlarining og’irlik kuchlari parallel
kuchlardan iborat bo’lib, ularning teng ta’sir etuvchisi F-
kuchdan iboratdir, Bu F kuch q o ’yilgan О nuqta chizg’ichning
og’irlik markazidan iboratdir,
Shundan keyin o ’quvchilarga turli geometrik shaklga ega
bo’lgan bir jinsli jism lam i o g ’irlik markazlari qayerda bo’lishini
ham
k o ’rsatib o ’tamiz.
Masalan,
uchburchak
shaklidagi
plastinkaning og’irlik markazi uning medianalari kesishish
nuqtasida bo’ladi, parallelogramm shaklidagi jism ning og’irlik
markazi dioganallarining kesishish nuqtasida bo’ladi, Doiraning
og’irlik markazi diametrlarining kesishgan nuqtasida bo’ladi va
hokazo.
O ’quvchilarga ba’zi bir jismlarning og’irlik markazi o ’zidan
tashqarida ham bo ’lishi mumkinligini, masalan, xalqaning
og’irlik markazi radiuslari kesishgan nuqtada bo’lishini aytib,
xalqani turli yerlaridan ip bog’lab tortib, kuch radius bp’ylab
y o ’nalganda ilgarilanrna harakat qilishini ko’rsatamiz. Bu
radiuslaming
kesishish
nuqtasi
og’irlik
markazi
ekanini
ko’rsatamiz.
O g’irlik tnarkazini aniqlashning yana bir usulini ko’rsatib
o ’tamiz. Bu usul o ’quvchilar uchun ancha oson va qulay bo ’lib,
unda ixtiyoriy shakldagi, turli qalinlikdagi va turli jinsli
jism larning og ’irlik markazlarini aniqlash imkoni tug’iladi.
Bu
usulda jismni turli yerlaridan ipga ilib, uni muvozanatga
keltiramiz. Bu vaqtda og ’irlik kuchi ip bo’ylab y o ’nalgan
bo’ladi, Shu ip bo’ylab jism ga chiziq chizamiz. Jismning boshqa
nuqtalaridan ham ilib, yuqoridagi kabi chiziqlar chizamiz. Bu
chiziqlar kesishgan nuqta jism ning og’irlik markazidan iborat
bo’ladi.
Turli jism lam i
olib tajribada
ularning og’irlik
markazlarini aniqlab ko’rsatamiz.
Jismlarning og’irlik markazlari bilan massa markazlari ustma-
ust tushgani uchun, jism ga q o ’yilgan og’irlik kuchi massa
markaziga qo’yilgan deyishimiz mumkin. Demak, yuqoridagi
tajribalar orqali massa markazi ham topilgan b o ’ladi.
37-§. QATTIQ JISMNING MUVOZANAT TURLARI
Q attiq jism larning m uvozanati uch tur b o ’lishini, ular
tu rg ’un, tu rg ’unm as va befarq
muvozanatlardan iboratligini
aytib, bu m uvozanatlam i tajribalar orqali tushuntiram iz.
Q abariq, botiq va gorizontal' holdagi tagliklar olib, ularga
shar q o ’yib, qaysi holatda qanday m uvozanatda b o ’lishini
ko ’rsatamiz.
Qavariq taglikning tepasida turgan sharchaning m uvozanati
tu rg ’unlm as ekanligi birinchi k o ’rishdayoq k o ’rinib turadi:
uni m uvozanat vaziyatidan ozgina chiqarsak dum alab tushib
ketadi.
Bunga
sabab
sharcha
m uvozanat
vaziyatidan
chiqarilganda o g ’irlik kuchi bilan reaktsiya kuchlari orasida
teng ta ’sir etuvchi kuch hosil b o ’lib, bu kuch d o ’nglikdan
pastga y o ’nalgani uchun sham i m uvozanat vaziyatidan
uzoqlashtiradi (80a-rasm ).
Bu m uvozanat tu rg ’unm as m uvozanatdir.
Endi sharchani botiq taglikka q o ’yaylik. Bu vaqtda uni
joyidan chiqarish oson emas. Sharchning bu m uvozanatini
tu rg ’un m uvozanat deb yuritiladi, chunki
uni ozgina
m uvozanat vaziyatidan
chiqarsak o g ’irlik kuchi
bilan
reaktsiya kuchi teng ta ’sir etuvchi kuch hosil qilib, bu kuch
sharchani avvalgi m uvozanat vaziyatiga qaytaradi (80b-
rasm).
80-rasm.
- 158-
Sharni gorizontal taglikka qo’yib (80c-rasm), uni ozgina
siljitsak borgan yerida turaveradi. Sharchani taglikning
qayeriga qo’ymaylik, o ’sha yerda muvozanatda bo’laveradi.
Bunga sabab, bu holda o g ’irlik kuchi bilan reaktsiya kuchi
qarama-qarshi y o ’nalishda qolaveradilar, ularning teng ta’sir
etuvchisi
nolga
teng
bo’ladi.
Bu
muvozanat
befarq
muvozanatdan iboratdir.
Aylanish
o ’qiga
ega
bo’lgan jismlar
ham
turg’un,
turg’unmas va befarq muvozanatlarda bo’lishi mumkin.
Masalan, chizg’ichni o g ’irlik markazidan va undan nariroq
yeridan teshikchalar ochamiz. C hizg’ichni uchrog’idagi
teshikchasi bilan mixga ilib, osiltirib q o ’yib (o g ’irlik markazi
mixdan pastda) turg’un muvozanatni, yuqoriga tik qo’yib
(og’irlik
markazi
mixdan
yuqorida),
turg’unmas
muvozanatni, o ’rtadagi teshikchasi bilan mixga ilib, befarq
muvozanatni hosil bo’lishini yuqoridagi kabi (sharcha
muvozanati kabi) tushuntiramiz.
Turg’un va turg’unmas muvozanat vaziyatlari bir-biridan
jismning o g ’irlik markazining o ’mi bilan .farq qilishini
tushuntiramiz: sharcha turg’unmas muvozanat vaziyatida
bo’lganda uning o g ’irlik markazi har qanday qo’shni
vaziyatlaridagidan
yuqori
turadi.
Aksincha
turg’un
muvozanatda
sharchaning
o g ’irlik
markazi
qo’shni
vaziyatlaridagidan pastda bo’ladi.
Demak, jism turg’un muvozanatda bo’lishi uchun uning
og’irlik markazi o ’zining mumkin bo’lgan vaziyatlaridan eng
pastkisida turishi kerak.
Aylanish o ’qiga ega bo’lgan jism ning o g ’irlik markazi
aylanish
o ’qidan
pastda
b o’lganda
bu jism
turg’un
muvozanatda bo’ladi.
Biz jism tayanch nuqtaga va aylanish o ’qiga ega bo’lgan
holiardagi muvozanatni ko’rib chiqdik. Jism biror sirtga
tayanadigan hoi ham muhimdir. Buni ham o ’quvchilarga
tajriba yordamida tushuntiramiz.
Gorizontal sirtda turgan prizma turg’un muvozanatda
bo’ladi, chunki sirtning reaktsiya kuchi o g ’irlik kuchini
muvozanatlaydi. O g’irlik kuchining (u o g ’irlik markaziga
qo’yilishini bilamiz) ta’sir ch izig’i tayanch yuzadan chetga
- 1 5 9 -
chiqib icetmaydigan qilib prizmani bir oz o g ’dirsak o g ’irlik
]
kuchi ut1' avval8' holatiga qaytaradi (chunki bu kuch tayanch
nuqtaga
chjzjqqa nisbatan aylantiruvchi moment hosil
qilib, prizmani avvalgi holatiga q’aytaruvchi y o ’nalishda
bo’ladi)-
Prizm^ni
yanada
ko'proq
burchakka
bursak o g ’irlik
kuchinii1® t a s *r chizig’i Drizmaning tayanch yuzasidan chetga
chiqib M adi va »ni Yanada ko’proq o g ’diradi va yiqitadi
(chunki tayanch nuqtaga yoki chiziqqa nisbatan aylantiruvchi
moment hos'1
uning y o ’anilish avvalgi holatidan
uzoqlashtiruvchi
y o ’nalishda bo’ladi).
Shunday Я‘НЬ, jism turg’un bo’lishi uchun uning o g ’irlik
kuchini11^ ta sir chizig ’i tayanch sirtni kesib o ’tish zarurdir.
Jismning
rnarka^i tayanch sirtga qancha yaqin bo’lsa
tu r g W '£ ' shuncha katta bo’ladi. buni gugurt qutisida
ko’rsat^m iz- GuSurt 4utisini tikka qilib qo’ysak uning
turg'un1^ ’ kam bo lacii, chunki uni ozgina muvozanat
holatid^n chiqarsak u durnalab tushadi. Agar gugurt qutisini
(yoki prizmani) yotqizib q o’ysak, uning o g ’irlik markazi
tayanch yuza§a Juda >aqin b o’ladi, tayanch yuza ham katta
bo’ladi’
va4tda gugurt qutisini muvozanat vaziyatidan
ko’profl chiqarsak ham u avvalgi haolatiga qaytib keladi,
o g ’jriiK kuchinnig ta’sir ch izig ’i tayanch yuzadan o ’tadi.
Tajrifadan shunday x m QSa chiqaramiz: Muvozanat tayanch
sirtiga va ° g ’irHk markazining tayanch sirtiga yaqin-
uzoq!i£*£a b og’liq ekan. Jismning tayanch sirti katta b o’lsa va
o g ’irliK markazi bu sirtga yaqin bo’lsa, uning turg’unligi katta
(turgVnr0(D bo’ladi.
Jismiiin^ tayanch sirti (yuzasi) deganda hamma vaqt ham
uning tayanch sirtga te g ib turadigan sirtini tushunmaslik
lozimlig‘ni’ masa,an’ st e l sirtga faqat to ’rtta oyoqlari bilan
tegib turishini, lekin j o in in g tayanch sirti uning hamma
oyoql0rin* to’g ’ri
chizjqiar bilan
birlashtirganda hosil
bo’iadigan k °ntur (to’rtburchak) ichining sirtidan iboratligini
uqdirib o ’tamiz.
llc h
oyoqli shtativning tayanch sirti
Qyoqi^rini
tutashtiruvchi
kesmalardan
hosil
bo’lgan
uchburcl1^ ™ 11^ y uzasi(la n iboratdir.
- 1 6 0 -
Imoratlarning tayanch yuzalarini katta qilib, uning o g ’irlik
markazini past bo’lishini ta’minlash uchun fundamentni
betondan / qilib,
yuqori
qavatlarga
ko’tarilgan
sari
ingichkalashtirib (xonalar sonini kamaytirib) boriladi. Bu
ko’p qavatli imoratlarda amalga oshiriladi. Shu vaqtda
ularning turg’unligi katta bo’ladi.
O ’tilganlarga oid bir necha masalalar у Yechish maqsadga
muvofiqdir,
1-masala. O g’irligi P=100N bo’lgan to ’g ’ri burchakli
ABCD
plastinkaning
tomonlari
AB=60sm ,
AD=80sm .
Plastinka qiyshaytirib qo’yilgan, uning AB asosi gorizont
bilan a= 30° burchak tashkil qiladi (81-rasm).
С
81-rasm.
A
nuqtaga
(qirraga)
nisbatan
plastinka
o g ’irligining
momenti topilsin,
у
burchak qanday bo’lganda bu moment
nolga teng bo’ladi?
Yechish. P o g ’irlik kuchining A nuqtaga nisbatan momenti
(AE=h kuch yelkasidir):
M=Ph
Kuch yelkasi h ning qiymatini shakldan topamiz:
h=OA sin(a-y)
- 161 -
bu yerdagi O A2=OK2+AK 2
0 A = ,
i
f
+
I 2 J I 2 J
= - л / 6 0 2 + 8 0 2 =50sm
2
sin(a-y)=sina cosy-siny cosa
4
3
1
V s
shakldan cosa= — ; sina= —; va sin30°=— : cos30°= -----
5
5
2
2
ekanini e ’tiborga olsak
sin(a-y)=0 bo’lsa o g ’irlik kuchining momenti nolga teng
bo’ladi. demak, a-y=0 bo’lishi lozim. Bundan
3
y=a=arcsin —= 36°5211 I й .
5
2-masala. Oralig’i
i
b o’lgan AB balka vertikal tayanchlarga
erkin tiralib turadi. Balkaga A tayanchdan X oraliqda vertikal
P
kuch qo’yilgan. Tayanch reaktsiyalari topilsin (82-rasm).
h
Ж
Ж
82-rasm.
Yechish.
Tayanch
reaktsiyalarining
vertikal
ravishda
y o ’nalishi tabiiydir. Jism muvozanatda b o’lgani uchun unga
q o’yilgan kuchlarning y ig ’indisi nolga teng bo’ladi, ya’ni:
F
a
+F
b
-P=0
(1)
A nuqtaga nisbatan kuchlarning momentlarini algebraik
y ig ’indisi ham nolga teng bo’ladi:
FB£-PX=0
2)
- 1 6 2 -
(2) dan FB£=PX; ? в = у ^
(3)
(3) ni (1) ga qo’yamiz:
Fa+ — P -P = 0; Fa=P- — P = ( l - — )P
£
£ .
£
3-masala. P=50N o g ’irlikdagi shar ikkita tekislikka tayanib
turibdi (83-rasm).
83-rasm.
Bu tekisliklarning chap tomonidagisi gorizont bilan a=35°,
o ’ng
tomonidagisi
esa
8=20°
burchak
hosil
qiladi.
Tekisliklarning reaktsiyasi topilsin.
Yechish: Sharga uchta kuch: uning o g ’irligi
P
va tayanch
reaktsiyalari
Fx
va
F2
ta’sir qiladi. Tayanch reaktsiyalari
Fx
va
F2
mos ravishda AC va BC tekisliklarga tik va demak,
bu kuchlarning y o ’nalishi shaming markazidan o ’tadi.
O g’irlik
kuchi
P
shaming
markaziga
qo’yilgan.
/.D O P
=
a
;
Z E O P = (3
(tomonlari o ’zaro perpendikulyar
b o’lgan o ’tkir burchaklar bo’lganligi uchun).
- 163 -
Hamma kuchlaming X o ’qiga proyektsiyalarini olsak,
F|Sina-F2sinB=0;
Hamma kuchlaming Y o ’qiga proyektsiyalarini olsak,
-P+Fi cosa-F2cosB=0
Bu ikki tengliklarni birgalikda yechib, Fi va F2 larni
topamiz:
P s in /?
5 0 -si n 20°
F |= — ?
^
= — ;-----------* 2 L
n
sin(ar + /?)
sin 35"
P sin o r
5 0 -sin 30"
_
F2= —
-------- _ = — ------------« 3,5 N
sin(ar + /?)
sin 35"
4-masala.
AB
y o g ’ochning
pastki
В
uchi
sharnirli
biriktirilgan bo’lib, yuqori A uchiga arqon bog’lanib, bu AC
arqon y o g ’ochni muvozanatda ushlab turadi (84-rasm).
Y og’ochning
o g ’irligi
P,
Z.ABC
=
Z.BCA = a
b o’lsa
arqonnig taranglik kuchi qancha bo’ladi?
84-rasm.
Yechish. Y og’och muvozanatda bo’lgani uchun В nuqtaga
nisbatan kuchlaming momentlarining y ig ’indisi nolga teng
- 1 6 4 -
-
I
bo’ladi.
P
kuchning yelkasi BD= —s i j i a bo’lib, unda
€ -
y o g ’ochning
uzunligi
T-taranglik
kuchining
yelkasi
BE=Ccos(J dan iborat.
P
va
T
kuchlarning momentlari
yig ’indisi nolga teng bo’ladi:
£ .
P - s m a - T l c o s j 3 = 0
£
P
P
—sin or =
T£cos]3
yoki — s i n a = r c o s / ?
2
2
P —
— —
(7t - 2 a )
=
2 a
----- ; cosB=cos(2a- — )=sin2a;
2
2
2
P
Shunday qilib — sina=Tsin2a;
,
,
_
P sin a r
P
bundan
1 ■
■
2 - 2 s in c ir - c o s a
4 c o s a
Demak,
T
=
p—
4 c o s
a
-
165 -
38-§. AYLANA HARAKATNING ASOSIY
TENGLAMASI. INERTSIYA MOMENTI. IMPULS
MOMENTI
M exanik jarayonlarda amal qiladigan uchta saqlanish
qonunlaridan ikkitasi maktab fizika kursida o ’rganiladi,
uchinchisi ko’rilmaydi. Bu impuls momenti bo’lib, uni
o ’rganishning ahamiyati qattadir. Impuls momenti va uning
saqlanish qonunini faqat mexanik hodisalarda emas, balki
fizika kursining bo’limlarida ham ahamiyati kattadir (atom va
yadro fizikasida, moddalaming magnit xossalarida...).
Qattiq jism aylanma harakatiga oid masalalar akademik
litseylam ing fizika dasturida o ’z aksini topgan. Shulami
ko’rib chiqamiz.
O ’quvchilarga jism ning ilgarilanma harakatini uning bir
nuqtasining
(massa
markazini)
harakati
deb
qarash
mumkinligini, uni Nyutonning ikkinchi qonuni asosida
o ’rganilishini k o’rib chiqqanimizni, aylanma harakatda qattiq
jism ning hamma nuqtalari turlicha tezlik va tezlanishlar
harakat qilishini, burchak tezlik va burchak tezlanishlari bir
xil bo’lishini aytib, keyin moddiy nuqtaning va qattiq
jism ning aylanma harakati dinamikasini k o’rib chiqamiz.
Agar jism biror kuch ta’sirida aylanayotgan bo’lsa, uning
chiziqii (aylana bo’ylab) tezligini bu kuchning tangentsial
tashkil etuvchisi o ’zgartiradi. Masalan, ipga bog’langan
Sharch (moddiy nuqta) aylantirilsa u ikki kuch: ipning
elastiklik kuchi va o g ’irlik kuchi ta’sirida harakat qiladi.
Elastiklik kuchi doim radius bo’ylab markazga y o ’nalgan
b o’lishini, o g ’irlik kuchi u bilan o ’zgaruvchan burchak tashkil
qilishini, ulaming teng ta’sir etuvchisi ham o ’zgarib turishini,
shuning uchun shar tezlanishi ham o ’zgarib turishini
chizmada tushuntiramiz (85-rasm).
- 1 6 6 -
85-rasrrt-
Shundan keyin aylananing kichik
qismida
kuchni
о
zgarmas
deb qarash mumkinligini aytib, natijaviy kuch bilan aylanaga
o ’tkazilgan urunma (tangenstsial kuch) orasidagi burchakni a
bilan belgilab, tangentsial kuchni aniqlaymiz:
F =Fcos«
Г
Nyutonning 2-qonuniga ko’ra F r=m af va a f -p r ekanini
e ’tiborga olsak:
p
- burchakiy tezlanish
Fcosa=mpr
Buni har ikki tomonini r ga ko’paytiramiz
Frcosa=mr2P
.
Ikkita burchakning mos tomonlari o ’zaro^ perpendikulyar
b o’lgani uchun bu burchaklar teng bo’ladi, ya m
/LAOE = ZBAD - a
F kuchning yelkasi OE=£=rcosa ekanin'e tiborga olsak
F£=mr2p
.
.
Bu
tenglikning chap qismi aylanish о Я*8а nisbatan kuch
momentidan iboratdir: M =Ft
(3)
ning o ’ng tomomnidagi mr2 xarakat tezligiga bog liq
bo’lmagan kattalik bo’lib, u aylanma harakatdagi jismning
inetrlik xossasini xarakterlaydi: bu kattalik qancha katta
bo’lsa, uning tezligini ortdirishga
shuncha
ко p energiya talab
etadi. Shuning uchun ham uni inertsiya momenti deb
yuritiladi. Uni quyidagicha ta’riflash niumkin.
- 1 6 7 -
Nuqta
massasini
aylanish
radiusining
kvadratiga
k o’paytimasini shu nuqtaning aylanish markaziga nisbatan
inertsiya momenti deb yuritiladi va uni J harfi bilan
belgilanadi. Demak,
J=mr2
(5)
(4) va (5)ni (3) ga q o’ysak.
M =jp
(6)
Agar kuch vaqt o ’tishi bilan o ’zgarib tursa ham (4) tenglama
o ’shanday k o’rinishda qolishini, faqat M va P lar vaqtning
funktsiyasi b o’lib qolishini aytib o ’tamiz.
Inertsiya momenti skalyar, burchak tezianish vektor bo’lgani
uchun kuch momenti ham vektor bo’lib, uning y o ’nalishini
o ’ng parma qoidasiga ko’ra aniqlanishini o ’quvchilaming
eslariga tushiramiz: parma dastasini kuch y o ’nalishida
aylantirganimizda uning ilgarilanma harakati qaysi tomonga
b o’lsa kuch momenti ham Shu tomonga y o ’nalgan bo’lib, u
aylanish o ’qi bo’ylab qo’yiladi.
Shundan keyin qattiq jism ning q o’zg ’olmas aylanish o ’qiga
nisbatan aylanishini k o’rib chiqishga o ’tamiz.
Q o’z g ’olmas o ’qqa mahkamlangan jism kuch ta’sirida
aylanma harakatga kelsa, bu kuchning aylantiruvchi ta’siri
uning hamma qismlarga berilishini, shuning uchun bu
kuchning momentini aniqlash uchun uni qismlarga bo’lib
o ’rganish lozimligini aytib, uni ko’rsatamiz.
Jismni shunday kichik elementlarga bo’lamizki, ixtiyoriy
elementdagi hamma nuqtalardan aylanish o ’qigacha masofasi
bir xil bo’lsin. Element massasini Am, unga ta’sir etuvchi
kuchni A F bu kuch bilan element traektoriyasiga o ’tkazilgan
urunma orasidagi burchakni a desak har bir element uchun
(2) tenglik o ’rinlidir, ya’ni (86-rasm) AFArcosa=AmAr2p
o ’rinlidir.
- 1 6 8 -
Hamma elementlar uchun shunday tengliklarni yozib,
ularning y ig ’indisini olamiz.
П
П
I
A F A r t
c o s
a = £ A m , A r .2
Д
(7)
i = i
/=1
Absolyut qattiq jism uchun hamma elementlarning burchak
tezlanishlari bir xil bo’lgani uchun
П
П
’L A F A r . c o s a i ~ e i , A m l A r 2
( 8 )
/=i
(=i
v 7
Yuqorida ko’rganimizdek OE=AC,=Ar,cosa, bo’ladi.
П
2Л от(Дг( -alohida
elementlarning
inertsiya
momentlarining y ig ’indisi b o’lib, u jismni aylanish o ’qiga
П
nisbatan inertsiya momentidir, y a ’ni J= S
A m tA r 2
/=1
Bularni e ’tiborga olib (8) ni quyidagicha yoza olamiz.
l A F , A i , = J j 3
( 9 )
/ = 1
AFA£=AM-elementga q o’yilgan kuch momentidir
86-rasm.
- 1 6 9 -
2,AF,A£, = HAM. = M -
jism ga
q o’yilgan
kuchning
1=1
i=i-
momenti
Bularni e ’tiborga olib, (9) tenglikni quyidagicha yoza
olamiz.
M=Jp
(10)
(10) qattiq jism aylanma harakatining asosiy tenglamasidir.
Buni ilgarilanma harakatning asosiy tenglamasi
F = m a
bilan solishtirsak, kuch o ’mida kuch momenti, massa o ’mida
inertsiya
momenti,
chiziqii
tezlanish
o ’mida burchak
tezlanish bo’ladi.
Aylanma
harakatda
kuchlaming
aylantiruvchi
momentlarining algebraik y ig ’indisi nolga teng bo’lsa jism
tekis aylanma harakat qiladi. Ilgarilanma harakatda teng
massali jismlarga bir xil tezlanish beruvchi kuchlar teng
bo’ladi.
Aylanma harakatda bir kuch aylanish o ’qidan uzoq yoki
yaqin nuqtaga qo’yilishiga qarab turlicha tezlanish beradi.
O ’qqa yaqin nuqtaga q o’yilsa momenti kichik, uzoq nuqtaga
q o’yilsa momenti katta b o’ladi.
Momentlari bir xil bo’lgan kuchlar ta’sirida jismlar bir xil
burchak tezlanish olsalar, bu jismlarning inertsiya momentlari
bir xil bo’ladi.
_
А
со
со — со
,
Agar M=const, J=const bo Isa,
p
= ----- = ----------- ekanini
6
At
At
e ’tiborga olib (10) ni quyidagicha yozamiz:
M=J —— — yoki MAt=Jm-Jff)o=A(Jco)
At
Bu yerdagi MAt ni kuch momentining impulsi deb, Jco ni
jism impulsining momenti deb atalishini, bundan jism
impulsiga teng bo’linishini ilgarilanma harakatdagi Shunday
xulosa (FAt=mV-mV0) bilan solishtirib tushuntiramiz.
Shu
yerda
o ’quvchilarga jism
impulsi
momentining
saqlanish qonunini qisqacha tushuntirib ketish maqsadga
muvofiqdir. Bir necha jism berk sistemani tashkil qilsin.
- 1 7 0 -
Jismning impuls momentining o ’zgarishi unga q o ’yilgan
tashqi kuchlaming momentiga bog’liqdir. Agar jism ga tashqi
kuchlar ta’sir etmasa yoki ulaming teng ta’sir etuvchisi
aylanish o ’qiga nisbatan aylantiruvchi moment hosil qilmasa
(M =0), u holda jism impulsining momentini o ’zgarishi nolga
teng bo’ladi, ya’ni A(Joo)=MAt=0 bo’ladi. Jco kattalikning
o ’zgarishi nolga teng b o’lsa, bu kattalikning o ’zi o ’zgarmas
bo’ladi: Jco=const.
Demak, berk sistemada (unga hech qanday kuchlar momenti
ta’sir qilmaydi) undagi hamma jismlarning to’la impuls
momentlari o ’zgarmaydi: Ja>i+J
2
®
2
+---=const.
Bu impuls momentining saqlanish qonunidir.
Bir jism ning impuls momentini ortishi boshqa jismlamikini
o ’shanchaga kamayishi bilan kompensatsiyalanadi.
Impuls momentining bir jism ga tadbiq etsak muhit bilan
o ’zaro ta’sir bo’lmaganda Jco=const bo’ladi. Jismning
inertsiya momenti harakat vaqtida ham o ’zgarib turishi
mumkin, bu vaqtda J ortsa ю kamayadi va aksincha.
Impuls momentining saqlanish qonunini Jukovskiy kursisida
namoyish qilib ko’rsatamiz.
Tekis aylanayotgan skameyka ustidagi odamning yoziq
qo’llarida toshlar ushlab turgan. Bu vaqtdagi uning impuls
momenti J0co0. odam qo’llarini tushirganda aylanish tezlashib
ketishini• ko’ramiz. Bu vaqtdagi odamning impuls momenti
Jico,. q o’lni tushirganda odamning kursi bilan inertsiya
momenti kamayadi, burchak tezligi ortadi. Umumiy impuls
momenti o ’zgarmaydi, y a ’ni Ji<»i= J0®0 yoki mri со!=тг02со0
bundan r,2coi= r02co0
Agar r0>ri bo’lsa w0< со, va aksincha r0 со,
bo’ladi. Buni tajribada aniq kuzatiladi.
Shundan keyin ba’zi bir jism larning inertsiya momentlarin
hisoblash formulalarini isbotsiz ko’rsatamiz. U ko’pgina
adabiyotlarda berilgan (masalan, 2-ga qaralsin).
- 171 -
39-§. AYLANMA HARAKAT QILAYOTGAN
JISMNING KINETIK ENERGIYASI
Biror o ’q atrofida aylanayotgan jism ning bir elementining
kinetik energiyasi
A E , = ^ -
( 1)
2
Д $ =
(oAr
bo’lgani uchun (hamma elementlarning burchak
tezliklari bir xil bo’ladi).
Amo)2 A r2
A
F. =
--------------- kabi yoza olamiz.
2
Jismning kinetik energiyasi uning hamma elementlarining
kinetik
energiyalari
y ig ’indisiga
teng
bo’ladi,
ya’ni
n
n
\ y y if \ y 2
1 n
ЪАЕк =Ъа>2
--------
— = ct) ЪАтАг,
bu yerda
£
AmAr2
=J inertsiya momentidir. U holda
/=!
J w 2
-
Eir
2
Dinamikadan bizga ma’lumki, energiyaning o ’zgarishi
J(o2
Jco2
bajarilgan ishga teng bo’ladi. y a ’ni
— -------- —
Agar jism ham ilgarilanma, ham aylanma harakat qilsa,
uning kinetik energiyasi ilgarilanma va aylanma harakat
kinetik energiyalarining y ig ’indisiga teng bo’ladi:
т в 2
J® 2
Ek—--------- 1--------
2
2
O ’tilganlarga
masalalar
yechib
o ’quvchilar
bilimini
mustahkamlaymiz.
1-masala. Qiya tekislikning hi balandligidan radiusi R
bo’lgan
disk
dumalab
tushmoqda.
Diskning
h2Dostları ilə paylaş: |