Mavzu: Chiziqli algebra elementlari

Transponirlangan matritsa

2– ta’rif.A (nxn) o‘lchovli matritsa bo‘lsin, u holda



Matritsa A matritsaning algebraik to‘ldiruvchilaridan tuzilgan matritsa deyiladi. Bu matritsaning transponirlangani A matritsaga qo‘shma deyiladi va quyidagicha belgilanadi A^T.

A matritsa berilgan bo‘lsin

Algebraik to‘ldiruvchilari va qo‘shmasini toping.

Yechish. Algebraik to‘ldiruvchilardan tuzilgan matritsa quyidagicha bo‘ladi

Uning transponirlangan matritsasini topamiz

Endi bu matritsaga teskari matritsani topish formulasini chiqaramiz. Buning uchun keyin isbotlanadigan quyidagi tasdiqdan foydalanamiz: A matritsaga teskari matritsa faqat va faqat det(A)≠0 bo‘lgandagina mavjud.

(Teskari matritsa) Agar A matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lsa u quyidagiga teng:

A^-1=A^T

Isboti. det(A) skalyar miqdor bo‘lgani uchun quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

det(A) A^-1= A^T

Bu tenglikningikkala tomoninichaptomondan A matritsaga ko‘paytiramiz:

det(A) AA^-1=A A^T

det(A) I =AA^T

Endi tenglikning o‘ng tomonini ko‘paytiramiz

A A^T ning i-satri va j-ustuni elementlari quyidagicha bo‘ladi:

Agar i=j bo‘lsa, u holda bu yoyilma det(A) ning algebraik to‘ldiruvchilari bo‘lib qoladi. Agar i≠j bo‘lsa, u holda matritsaning elementlari va algebraik to‘ldiruvchilari turli satrdan bo‘ladi va yoyilma 0 ga teng.

Demak,

AA^T= = det(A)A

A matritsaning teskarisi mavjud det(A)≠0. SHuning uchun quyidagicha yozish mumkin

A^T = I yoki A A^T ) = I

va nihoyat

A^T)=A^-1

Bu natijani (3x3) matritsa uchun quyidagicha tekshirib ko‘rish mumkin:

Algebraik to‘ldiruvchilarni topamiz

va transportirlangan matritsaga ko‘paytiramiz, natijada

va det(A).I₃ni topdik.

6-misol. A^T bo‘yicha A matritsaning teskari matritsasini toping.

A.A^-1=I tenglik orqali tekshiring.



Yechish. Berilgan matritsaning determinanti

detA=|A| -34

0 ga teng emas, demak A ning teskari matritsasi mavjud