Sharof rashidov nomidagi samarqand davlat universiteti

Tadqiq etamiz. a ning qanday qiymatlarida:

1. 
   |2x – a| < x + 1 tengsizlik yechimga ega emas?
   
2. 
   ^{|3x – a| > 3 – 3x tengsizlik (1; +}^{) yechimlar to‘plamiga ega?}
   
3. 
   Lekin u bir
   
4. 
   k
   
5. 
   noma’lumli birinchi darajali tengsizlik , u ixtiyoriy x da o‘rinli bo‘lishi mumkin
   
6. 
   emas. Masalan, – ^b + 1 soni uning yechimi bo‘lolmaydi .
   
7. 
   Shunga o‘xshash k < 0 da ham mulohazalar yuritish mumkin, demak, bir noma’lumli birinchi darajali tengsizlik noma’lumning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli bo‘lishi mumkin.
   
8. 
   Shunga o‘xshash k < 0 da ham mulohazalar yuritish mumkin, demak, bir noma’lumli birinchi darajali tengsizlik noma’lumning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli bo‘lishi mumkin.
   

a) topshiriqdagi mulohazalardan hech qanday b va k ^ 0larda birinchi darajali tengsizlik yechimlarga ega bo‘lmasligi mumkin emas.


Yechish. a) Berilgan tengsizlikning ikkala qismini 2 ga bo‘lib unga teng

kuchli |x –
^a | <
2
¹ x +
2
¹ tengsizlikni olamiz
2

Dastlab g (x) =
¹ x +
2
¹ funksiya grafigini yasaymiz va u Ox o‘qini x = –1
2

absissali nuqtada kesib o‘tadi(1-rasm, a). So‘ngra f (x) = |x –
^a | funksiya grafigini

^a = –1 lar , ya’ni a = –2 (1-rasm, a) uchun yasaymiz. Bu holda berilgan tengsizlik2yechimga ega emas, chunki ixtiyoriy x f (x) ^ g (x) tengsizlik o‘rinli.
Agar a < –2 bo‘lsa, u holda y = f (x) funksiya grafigi bo‘lgan burchak uchi , Ox o‘qida x = –1 nuqtadan chapda joylashadi (1-rasm, b). Bu holda berilgan tengsizlik yechimga ega emas, chunki ixtiyoriy x uchun f (x) > g (x) tengsizlik o‘rinli.
Agar a > –2 bo‘lsa, u holda y = f (x) funksiya grafigi bo‘lgan burchak uchi Ox o‘qida x = –1 nuqtadan o‘ngda joylashadi (1-rasm, v). Bu holda berilgan tengsizlik grafiklar kesishish nuqtalari absissalari orasida joylashgan barcha x lardan iborat yechimlarga ega. Bu yechimlarni topish talab etilmaydi.

1. 
   rasm
   

Demak, a ^ –2 da |2x – a| < x + 1 tengsizlik yechimlarga ega emas.
b) Berilgan tengsizlikning ikkala qismini 3 ga bo‘lib unga teng kuchli

|x –
^a | > 1 – x tengsizlikni olamiz. Dastlab g (x) = 1 – x funksiya grafigini
3

yasaymiz va u Ox o‘qini x = 1 absissali nuqtada kesib o‘tadi(2-rasm, a).

So‘ngra f (x) = |x –
^a | funksiya grafigini dlya
3
^a = 1lar , ya’ni t. e. dlya a = 3
3

^{(ris. 3, a) uchun yasaymiz (2-rasm a). Bu holda berilgan tengsizlik (1; +}⁾

2. 
   rasm
   

yechimlar to‘plamiga ega, chunki ixtiyoriy x > 1 uchun f (x) > g (x) tengsizlik o‘rinli.

Demak, faqat a = 3 da |3x – a| > 3 – 3x tengsizlik ^{(1; +}^{) yechimlar to‘plamiga ega .}
Javob. a) a ^ –2 da ; b) a = 3 da.

Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi .

Parametrli tenglamani tadqiq etish va yechish – bu:

1. 
   Berilgan tenglama yyechimga ega bo‘ladigan parametrlarning barcha qiymatlar sistemalarini topish.
   
2. 
   Parametrlarni topilgan harbir qiymatlar sistemalari uchun, ya’ni noma’lum va parametr uchun o‘z yo‘l qo‘yidadigan qiymatlar to‘plami ko‘rastilishi lozim.
   

Testlarda asosang ikki tipdagi parametrli tenglama va tengsizliklar uchraydi: 1.Parametrning har bir qiymati uchun biror tenglama va tengsizlikning barcha
yyechimlarini topish.
2.Har bir qiymatida berilgan tenglama va tengsizlik uchun qandaydir shartlar bajariladigan parametrning barcha qiymatlarini topish

6-ta’rif.

f (a)  x  g(a) ,ko‘rinishdagi tenglama, bu erda
f (a), g(a)- ba’zi

analitik ifodalar, a parametrli x o‘zgaruvchiga nisbatan chiziqli deb ataladi. Agar bunday tenglamani yechish masalasi qo‘yilgan bo‘lsa, bu a parametrning har bir yo‘l qo‘yiladigan qiymati uchun bu tenglamani qanoatlantiruvchi x o‘zgaruvchining qiymatini topishdan iborat.

Yechish algoritmi:

1. 
   Parametrning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlarini topish.
   

2. 
   Agar
   

f (a)  0 , bo‘lsa, u holda ildizlarning mavjudligi yoki yo‘qligi
g (a).

qiymatlarga bog‘liq. Agar
g(a)  0,
bo‘lsa, u holda tenglama
x  0  0,
ko‘rinishni

oladi va uning ildizi x ning ixtiyoriy haqiqiy qiymati bo‘ladi. Agar
g(a)  0,
bo‘lsa,

u holda x ning ixtiyoriy qiymatida noto‘g‘ri sonli tenglik paydo bo‘ladi, ya’ni tenglama ildizlarga ega emas.

3. 
   Agar f (a)  0,
   

bo‘lsa, u holda
_{x } g (a) _.
f (a)
ga ega bo‘lamiz. Berilgan algoritmni

jadval ko‘rinishida yozish mumkin.


Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi

a parametr qiymatlarini izlash shartlari	Ildizlar to‘plami xarkteristikasi
f (a) yoki g (a) ma’noga ega emas	Ildizlar yo‘q
 f (a)  0 ^g(a)  ma’noga ega 	Bitta ildiz x  ^g^(^a^) f (a)
 ^f^(^a^)^^0 ^g (a)  0 	Ildizlar yo‘q
 ^f^(^a^)^^0 ^g (a)  0 	х  ixtiyoriy son

Parametrli oddiy chiziqli tenglamalarni yechish.

1. 
   misol. a parametrning barcha qiymatlari uchun eching
   

Javob: ixtiyoriy a da x  a .
x  a  0
tenglamani

Bu misol parametrli masalalarni yechishda noma’lumni topish va parametrning qaysi qiymatlarida javob ma’noga ega bo‘lishini ko‘rsatishdan iboratligini eslatadi.

2. 
   misol. a parametrning barcha qiymatlari uchun ^{5x  a} tenglamani
   

eching.

Javob:
x  ^a
5
, agar a – ixtiyoriy son bo‘lsa.

3. 
   misol. a parametrning barcha qiymatlari uchun eching.
   

^x  a
2
tenglamani

Javob: x  2a , agar a – ixtiyoriy son bo‘lsa.

4. 
   misol. aparametrning barcha qiymatlari uchun eching.
   

ax  1 tenglamani

Yechish. a = 0 da berilgan tenglama yechimga ega emas va javobda bu aks etishi lozim.

Javob: a = 0 da yechim yo‘q; a ≠ 0 da yechim
x  ¹ .
a

5. 
   misol . a parametrning barcha qiymatlari uchun 0x  а
   

eching.
Javob: a ≠ 0 da ildizlar yo‘q; a=0 da x – ixtiyoriy son.
tenglamani

6. 
   misol. 2a(a  2)x  a  2 parametrli tenglamani tadqiq eting va eching
   

Yechish. Parametrning nazorat qiymatlarini, ya’ni shunday qiymatlarni topamizki, x oldidagi koeffitsient 0 ga aylansin. Bunday qiymatlar a = 0 va a = 2.

1. 
   a =0 da tenglama 0x = -2 ko‘rinishga keladi va bu tenglama ildizlarga ega emas.
   
2. 
   a = 2 da tenglama 0x = 0 ko‘rinishga keladi va bu tenglamaning ildizi istalgan haqiqiy son.
   

v) a ≠ 0 va a ≠ 2 da berilgan tenglamadan
.
_{x } a  2 2a(a  2)
ni olamiz, bundan
x  ¹ 2a

Javob: 1) a =0 da ildizlar yo‘q.

2. 
   a = 2 da x – ixtiyoriy haqiqiy son.
   

2. 
   
   ^a  2,
   ^{a  0} da
   


x  ¹ 2a

7. 
   misol. yeching.
   

(а²  2a 1)  x  a²  2a  3.parametrli tenglamani tadqiq eting va

Yechish. a parametrning nazorat qiymatlarini, topamiz:
.
a²  2a 1  0, a  1

1. 
   a=1 da tenglama 0x = 0 ko‘rinishga keladi. Bu tenglamaning ildizi ixtiyoriy haqiqiy son.
   
2. 
   a ≠ 1 da tenglama x  ^{(a  3)  (a 3)}  ^{a  3}. ko‘rinishga keladi
   

(a 1)²
Javob: 1) a=1 da x – ixtiyoriy haqiqiy son.
a 1

2) a ≠ 1da
_{x } a  3_.
a 1

8. 
   misol. a² (x – 5) = 25 (x – a) parametrli tenglamani tadqiq eting va yeching
   

Yechish. Qator almashtirishlar bajarib tenglamani tadqiq etish uchun qulay ko‘rinishga keltiramiz: a²x – 5a² = 25x – 25a ;
(a² – 25)x = 5a² – 25a. (a-5)(a+5)x = 5a(a-5).

_a  5


^{a) }a  5
da yagona yechim mavjud
_{х } 5a(a  5) _;
(a  5)(a  5)
x  ^5a .
a  5

b) Agar a = 5 bo‘lsa, u holda 0x = 0, demak, ixtiyoriy x yyechim.
v) Agar a = - 5 bo‘lsa, u holda 0x = 250, demak yechim yo‘q.
A parametr bo‘yicha tekshirishning grafik tasviri
-5 5
a


3) 1) 2)

^a  5
Javob: 1) p ^{a  5}

da yagona yyechim mavjud
_{х } 5a(a  5) _; (a  5)(a  5)
_{x } 5a a  5

.

2. 
   a = 5, da ixtiyoriy x yechim.