Sharof rashidov nomidagi samarqand davlat universiteti

Chiziqli tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar.

Yechishda aniqlanish sohasiga qo‘yilgan cheklashlar bilan bog‘liq qo‘shimcha tekshirishni talab etadigan murakkab bo‘lmagan parametrli tenglamalar parametrli tenglamalarni o‘rganishdagi keyingi qadam hisoblanadi.

1-misol.

a



x  2
 1tenglamani eching

Yechish Ravshanki x ≠ 2. Tenglamaning ikkala qismini x–2≠0 ga ko‘paytirib a = x – 2 yoki x = a + olamiz. a parametrning topilgan x bning qiymati 2 ga teng bo‘ladigan qiymatlari bor yo‘qligini tekshiramiz, ya’ni 2 = a + 2 tenglamani a ga nibatan echamiz. a = 0 da x =2 ni olamiz, lekin chislo 2 soni aniqlanish sohasiga kirmaydi, demak, uning ildizi bo‘lishi mumkin emas.
Javob: a = 0 da ildizlar yo‘q; a≠ 0 da x = a +2.

2. 
   misol. Tenglamani eching
   

^x  a x  1

Yechish x ≠ –1. tenglamani (1 — a)x = a, ko‘rinishga keltirib, a = 1 da

tenglama ildizlarga ega emasligini, a ≠1 da esa
_x a


1  a
ni topamiz.
1 
a



1  a

tenglamani a ga nisbatan echamiz. Tenglama ildizlarga ega bo‘lmagani uchun boshqa hollar bo‘lmaydi.

Javob: a ≠1 da
_x a


1  a
; a = 1 da ildizlar yo‘q.

3. 
   misol. Tenglamani eching
   

2ax  x 1 _

x⁴  4

• 
  ^a .
  

(a 1)(x  3) (x  2)(x  3) a  1

Yechish

x  3, x  2,
a  1.
x  2,
shartda berilgan tenglamani

soddalashtirish mumkin: ^{2ах  х  1 }

х  2 _ a _.

(а  1)(х  3) (x  3) a  1

Almashtirishlardan so‘ng 2ax =1– a, tenglamani olamiz, u a = 0 da ildizga

ega emas, a ≠ 0 da esa
x  ^{1  а} . x ning qiymati– 3 yoki 2 ga teng bo‘ladigan a
2а

parametrning qiymati bor yo‘qligini tekshiramiz, buning uchun auga nisbatan

_{3 } 1  a
2а
ва 2  ^{1  а}
2а
tenglamalarni echamiz. Birinchi tenglama ildizi – 0,2,

ikkinchisiniki - 0,2, ya’ni a ± 0, 2 da tegishli x ning qiymatlari berilgan tenglama aniqlanish sohasiga kirmaydi.

Javob:
_{x } 1  а _.
2а
a  1 ; 0 ; da ildizlar yo‘q;
a  1; 0;
 0, 2
larda

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va eching
   

k(х  2)  3(k 1) _{ 1;}
х  1
Yechish.D(u): x≠ -1 . kx + 2k – 3k + 3 = x + 1;
(k – 1 )x = x + 1 -tadqiq etish uchun tenglamaning eng qulay ko‘rinishi.

1. 
   k ≠ 1, bo‘lsin, u holda yagona
   

_{x } к  2
к 1
yechim mavjud.

2. 
   k parametrning qanday qiymatlarida x = -1 bo‘lishini aniqlaymiz va ularni ^{chiqarib tashlaymiz, Buning uchun k  2}  1^{tenglamani echamiz, u holda togda k =}
   

k 1
1,5.
v) Agar k = 1, bo‘lsa, u holda 0x = -1, yechim yo‘q. k parametr bo‘yicha tekshirishning grafik tasviri
1 1,5
k
1) 2) 3)
Javob: 1) k ≠ 1 da

k ≠1,5 yagona yechim x =

2. 
   k =1 da yechimlar yo‘q.
   
3. 
   k = 1,5 da yechimlar yo‘q.
   

k  2 _.
k 1

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va yeching.
   

3mx  5
_ 3m 11 _ 2x  7 _;

Yechish

(m 1)(x  3)
m 1 x  3

D (y): m ≠ 1 x≠-3.
D(y)ni hisobga olib berilgan tenglamani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:
3mx – 5 + (3m – 11)(x + 3) = (2x + 7)(m – 1);
(4m – 9)x = 31 – 2m - tekshirish uchun qulay parametrli chiziqli tenglama

1. 
   Agar m ≠ 2,25
   

m ≠ 1 bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
_{x } 31 2x _.
4m  9

2. 
   m parametrning qanday qiymatlarida x = -3 bo‘lishini aniqlaymiz
   

31 2x _{.  3,}
4m  9
demak, m = - 0,4, ya’ni m = - 0,4 da x D( y) .

v) Agar m = 2,25, bo‘lsa, u holda 0x = 26,5, demak, yechimlar yo‘q. Parametr bo‘yicha grafik tasviri

-0,4 1 2,25

1) 3) 4) 2)

Javob: 1) m ≠ 2,25
m ≠ - 0,4 da yagona yechim
m ≠ 1

2. 
   m = 2,25 da yechimlar yo‘q .
   
3. 
   m = - 0,4 da yechimlar yo‘q.
   

m
_{x } 31 2x _.
4m  9

2. 
   m = 1 da tenglama aniqlanmagan yoki ma’noga ega emas.
   

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va yeching.
   

Yechish.

3mx  5

(m  2)(x²  9)

_ 2m 1 _
(m  2)(x  3)


^{m  2}

5 _;
x  3

D(y):
^m  3


^m  3.

Zarur almashtirishlarni bajarib quyidagi tenglamani olamiz:
3mx  5  (2m 1)(x  3)  5(m  2)(x  3).
3(2m  3)x  21m  38 .

1. 
   Agar
   

^{m  1,5}


^m  2,

bo‘lsa, u holda

ягона x x 
21m  38 _.
3(2m  3)

_b) 21m  38 _{ 3;} 3(2m  3)
u holda
21m  38  33(2m  3), ya’ni
m   ⁵ .
3

v) ^{21m  38  3;} u holda
3(2m  3)
21m  38  33(2m  3),
ya’ni
m   ¹¹.
3

g) m  1.5; u holda 0= - 6,5, demak, yechimlar yo‘q
m parametrli tekshirishning grafik tasviri

 3 <sup>2
- 2</sup> 1 ²
-1,5
m

5) 1) 4) 3) 2)


^{m  1,5}

Javob: 1)

^m  1 ^2
 3

^m  3 ^2
 3


^m  2

da yagona yechim mavjud

_{x } 21m  38 _. 3(2m  3)

2) m  1,5
da yechimlar yo‘q; 3)
m  1²
3
da yechimlar yo‘q

4) ^{m  2}
da tenglama aniqlanmagan;5)
m  3 ²
3
da yechimlar yo‘q.

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va eching:
   

Yechish.

m  ¹ 
m
m 1 _;
m(x 1)

Berilgan tenglamani
D(y) :
^{m  0}


^x  1 ^.

m² x  m²  x 1 m 1,
ko‘rinishda yozib olamiz
^{m  1}
yoki
(m² 1)x  m²  m  2.

a) Agar
^{m  0 ,} bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud x x  ^{(m  2)(m 1)}  ^{m  2} .




^m  1
(m 1)(m 1)
m 1

b m parametrning qanday qiymatlarida x=1 bo‘lishini aniqlaymiz va bu qiymatlarni

chiqarib tashlaymiz,ya’ni
m  2 _{ 1,}
m 1
yoki 2 = 1. Demak, m parametrning x=1

bo‘ladigan qiymati mavjud emas, ya’ni m parametrning qiymatiga qo‘shimcha cheklashlar yo‘q.

v) Agar m=, bo‘lsa, u holda
0  x  0  3,
demak, ixtiyoriy
x  D( y)
tenglamaning

yechimi, ya’ni bu yechimlarning cheksiz to‘plami.
g) Agar m = -1, bo‘lsa, u holda 0  x  1(2) , ya’ni yechimlar yo‘q.

d)Agar m = 0 - bo‘lsa, tenglama aniqlanmagan.
^{m  1}


m  2


Javob: a) a) Agar ^{m  0 ,} bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
x  _{m  1} .


^m  1
b) Agar m=1 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy x ≠ 1 yechim .
v) Agar m = -1 bo‘lsa, u holda yechimlar yo‘q;
g) Agar m = 0 - bo‘lsa, u holdatenglama aniqlanmagan.

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va eching:
   

a _
х 1
2 _
х  1
2 _;
х² 1

Yechish. Tenglmaning aniqlanish sohasini topamiz D(y) : x ≠±1.

Tenglamani olamiz.
a(х 1)  2(х 1)  2
yoki (a  2)х  4  а.
ko‘rinishda yozib

1. 
   Agar a ≠ -2 bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
   

_{x } 4  а _.
а  2

2. 
   a parametrining qanday qiymatlarida x=1bo‘lishini aniqlaymiz va ularni chiqarib tashlaymiz
   

^{4  a}  1, ya’ni a = 1.
а  2
v) a parametrining qanday qiymatlarida x=-1, bo‘lishini aniqlaymiz x=-1,
^{4  а}  1 , ya’ni 4=-2, yoki yechimlar yo‘q. Demak, a parametrining x=-1,
а  2
bo‘ladigan qiymati mavjud emas.
g) Agar a = -2 bo‘lsa, u holda ^{0  x  6} , ya’ni yechimlar yo‘q.
a parametr bo‘yicha tekshirishning grafik tasviri
-2 1
a

1) 2) 3)

Javob 1)
_a  2


^а  1
da yagona yechim mavjud
_{x } 4  а _.
а  2

2. 
   a = -2da yyechimlar yo‘q.
   
3. 
   a = 1 da yyechimlar yo‘q.
   

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va eching
   

_{m } m  8 _ 3(m  4) _;

Yechish.D(y):

^{m  1}


^x  3
m 1
.Tenglamani
x  3
(x  3)(m²  2m  8)  3(m  4)(m 1) , yoki

(m  4)(m  2)  x  9(m  4).ko‘rinishda yozamiz
^{m  4} ₉

1. 
   
   
   Agar
   

^m  1,


^m  2
bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
x  _{m  2} .

2. 
   m parametrning qanday qiymatlarida x=-3 bo‘lishini aniqlaymiz
   

9
m  2
 3,
ya’ni m ≠-1.

v) Agar m = -4, bo‘lsa, u holda to ixtiyoriy x yechim.
^{0  õ  9  0} ,demak, aniqlanish sohasidagi

g) Agar m = 2 bo‘lsa, u holda ^{0  õ  54}, ya’ni yechimlar yo‘q.
d) Agar m = -1 bo‘lsa, u holda –tenglama aniqlanmagan.
^{m  4} ₉


Javob: 1)
^m  1,


^m  2
da bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
x  _{m  2} .

2) m = - 4da ixtiyoriy x ≠-3 yechim;3) m = 2 da yechimlar yo‘q;4) m = -1 da tenglama aniqlanmagan.

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va eching
   

3x²  8а
_ 3х

• 
  ^х ;
  

2ах  2а  3х  3 2а  3 х 1

Yechish. D (y):
_x  1


^а  1,5
. Tenglamani

3x²  8а _ 3х(х 1)  х(2а  3)
;

(2а  3)(х 1) (2а  3)(х 1)

3x²  8а  3х²  3х  2ах  3х;
ko‘rinishda yozib olamiz
aх  4а.

1. 
   Agar
   

^{a  0} , bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud

^а  1,5

x  4 .

2. 
   Agar a=0, bo‘lsa, u holda 0=0, demak, aniqlanish sohasidagi ixtiyoriy x
   

yechim bo‘ladi.

Javob: 1)
_a  0


^а  1,5
da yagona yechim mavjud
х  4 ; 2) a=0, da ixtiyoriy x

≠ 1 –yechim; 3) a = 1,5 da tenglama aniqlanmagan.

3. 
   misol. Tenglamani tadqiq eting, m parametrning qanday qiymatlarida 1 dan kichik yagona yechim mavjud bo‘ladi
   

Yechish.D(y): Tenglamani
m 1 _
m(x  2)
_m  0


^x  2.


^x  3
2 _
x  3
mx  5 _;
m(x²  5x  6)

(m 1)(x  3)  2m(x  2)  mx  5;
ko‘rinishda yozib olamiz.
^{m  0}
(2m 1)  x  m  2.
m  2

1. 
   a) Agar
   


^m   ^{1 ,}

bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud

^{x } 1  2m ^.

^ 2
b) m parametrning qanday qiymatida x=-2bo‘lishini aniqlaymiz.

m  2 1 2m
 2,
ya’ni
m  ⁴ .
3

v) m parametrning qanday qiymatida x=-3bo‘lishini aniqlaymiz.

x=-3.
m  2 1 2m
 3,
ya’ni
^{m  1}.

^{II m  2}  1 ^{tengsizlikni echamiz. 1 ni chap tomonga o‘tkazamiz, u holda}
1 2m

Grafik tasviri
3m 1 _{ 0,}
1 2m

Javob:

m(; ¹) (¹
3 2
;1)
 (1;


⁴) ( ⁴
3 3
;)

da yagona

m
_{x } m  2 _,
1 2m

yechim

mavjudki, x  1.

3. 
   misol. Tenglamani tadqiq eting, m parametrning qanday qiymatlarida
   

yagona musbat yechim mavjud bo‘lishini aniqlang:
_{x } ^{m  5}

3

5  m  3x
 ² ; 3  x  mx


Yechish.D(y) ^ ₃ .Tenglamani
9  3x  3mx  10  2m  6x;

^_x(m  1)  3
3x(m  1)  1  2m . (m 1)(x  3)  2m(x  2)  mx  5;
ko‘rinishda yozib olamiz.

(2m 1)  x  m  2.

I. a) Agar
m  1,
bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
_{x } 1  2m _, 3(m  1)

b) m parametrning qanday qiymatida
x  ^{m  5} .^{bo‘lishini aniqlaymiz.}
3

1  2m


3(m  1)
_ 5  m _, 3
u holda
m  2.

v) x(m  1)  3 da m parametrga qo‘shimcha cheklashni topamiz.

U holda tenglama
1  2m


3(m  1)
 (m  1)  3;
m²  4m  5  9, ya’ni .e.
m  2.

ko‘rinishga ega bo‘ladi.

II.
1  2m


3(m  1)

• 
  0.
  

Grafik tasviri:

Javob: pri

m
m(;2)  (2;1)  ( ¹ ; )
2

da yagona yechim mavjud

_{x } 1 2m
3(m 1)

• 
  0.
  

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va eching
   

b  5 _ 7  3b _ 2bx  5 _;

x 1 x  2 x²  x  2

^{x  1}


Yechish.D (y):
^x  2 ^.
Almashtirishlar natijasidva
4(b  3)x  8  5b
ni olamiz

–bu tekshirish uchun eng qulay ko‘rinish.

1. 
   Agar b  3,
   

bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
_{x } 8  5b _.
4(b  3)

2. 
   b parametrning qanday qiymatida ^{x  1} bo‘lishini aniqlaymiz.
   

8  5b

4(b  3)

 1;
b  20.

v) b parametrning qanday qiymatida ^{x  2} bo‘lishini aniqlaymiz.

8  5b

4(b  3)

 2;
b  ¹⁶.
13

g) Agar
b  3
bo‘lsa, u holda o 0  x  23; yechimlar yo‘q.

^{b  3}

Javob: 1)
^ 16

 


^b 13
bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
_{x } 8  5b _.
4(b  3)

2) ^{b  3}

_^{b  20}
da yechimlar yo‘q; 3)


b  20

da yechimlar yo‘q; 4)

b  ^{16 da}
13

yechimlar yo‘q.

3. 
   misol. Parametrli tenglamani tadqiq eting va eching
   


^{x  0}
x 1 _
5(n  5)x
x 1


n(n  5)x
 ¹ ;
n²  x