Sharof rashidov nomidagi samarqand davlat universiteti

Bir parametrli va bir noma’lumli kvadrat tenglamalarni tadqiq etishga doir masalalar.

1-masala.k ning :

1. 
   x² – 3x + k < 0 tengsizlik faqat x  (1; 2) ; lar uchun o‘rinli bo‘ladigan qiymatini;
   

2. 
   –x² + x + k > 0 tengsizlik faqat x
   

qiymatini toping.
 (2; 3) . lar uchun o‘rinli bo‘ladigan

Yechish. a) x² – 3x + k < 0 tengsizlik faqat x  (1; 2) lar uchun o‘rinli , agar
x₁ = 1 va x₂ = 2 — x² – 3x + k kvadrat uchhad ildizlari bo‘lsa, (bu erda a = 1 > 0).
YA’ni k = 1 2 = 2.
b)tengsizlikni (–1), ga ko‘paytirib unga teng kuchli x² – x – k < 0tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlik faqat x  (2; 3) ,lar uchun o‘rinli, agar x₁ = –2 va x₂ = 3 — x² – x – k kvadrat uchhad ildizlari bo‘lsa, ya’ni k = 6da
Javob. a) k = 2; b) k = 6.

2. 
   masala. k ning:
   

1. 
   x² – 24x + k > 0 x = 12 tengsizlik x=12 dan tashqari barcha x lar uchun o‘rinli bo‘ladigan ;
   

2. 
   ^{64x2 + kx + 9 > 0 tengsizlik x =}  ³
   

8
bo‘ladigan qiymatini toping. ;
dan tashqari barcha x lar uchun o‘rinli

Yechish. a) Bu erda tengsizlikni (x – 12)² > 0 ko‘rinishda yozish mumkin bo‘ladigan k ning qiymatini topish talab etiladi. Masala shartini faqat
k = 144 qanoatlantiradi.

b) Bu erda tengsizlikni 64(x +
³ )² > 0ko‘rinishda yozish mumkin bo‘ladigan ning
8

qiymatini topish talab etiladi. Masala shartini faqat k = 48 qanoatlantiradi.

3-masala. a) a ning qanday qiymatlarida
(x – 3)(x – 5)(x – a)² > 0
tengsizlikning yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan? Uchta oraliqdan iborat bo‘ladi? Yechish. 1) a > 5 bo‘lsa, u holda ko‘phad 3, 5 va a uchta ildizga ega. Bu ildizlarni koordinata o‘qida belgilaymiz va oraliqlar usulini qo‘llaymiz,
ko‘phadning ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz
(1-rasm).

yechimlar to‘plami uchta oraliqdan iborat.

2. 
   Agar a = 5 bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik :
   

(x – 3)(x – 5)³ > 0. (1)
ko‘rinishda yoziladi. Ko‘phadning 3 va 5 ildizlarini son o‘qida belgilaymiz va oraliqlar usulini qo‘llaymiz, ko‘phadning ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz

2. 
   rasm
   

Tengsizlikning yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan iborat.

2. 
   Agar 3 < a < 5, bo‘lsa, u holda ko‘phad 3, 5 va a uchta ildizga ega , Bu ildizlarni koordinata o‘qida belgilaymiz va
   

2. 
   rasm
   

oraliqlar usulini qo‘llaymiz, ko‘phadning
ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz. Tengsizlikning olingan yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan iborat

2. 
   Agar a = 3 bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik
   

(x – 3)³(x – 5) > 0. (2)
ko‘rinishda yoziladi. Ko‘phadning 3 va 5 ildizlarini son o‘qida belgilaymiz va oraliqlar usulini qo‘llaymiz, ko‘phadning ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz. Uning yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan iborat.

2. 
   Agar a < 3 bo‘lsa, u holda ko‘phad 3, 5 va a uchta ildizga ega , Bu ildizlarni koordinata o‘qida belgilaymiz va oraliqlar usulini qo‘llaymiz, ko‘phadning ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz. Tengsizlik yechimlar to‘plami uchta oraliqda iborat.
   

2. 
   rasm
   

Barcha qaralgan hollarni birlashtirib javobni yozamiz.
Javob. agar 3 ^ a ^ 5 bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan; agar a < 3 yoki a > 5 bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik yechimlar to‘plami uchta oraliqdan iborat.

2. 
   masala. a ning qanday qiymatlarida
   

(x  5)(x  3) _{ 0} (x  a)²
tengsizlikning yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan? Uchta oraliqdan iborat bo‘ladi?