Statistikda variatsiyani baholash va dispersion tahlil asoslari

5.9.-rasm. 10.1-jadvalda berilgan ma’lumotlar uchun MINITAB tasviriy statistikalari
Bu savolga javob berish uchun biz tajriba guruhlari (o’quvchilar) orasidagi tanlanma o’zgaruvchanligining miqdorini ko’rib chiqishimiz kerak. 10- rasm 6-jadvaldagi nuqtali diagrammalarda o’zlashtirish ko’rsatkichlari tasvirlangan. E’tibor qiling, nomma nom aytganda o’g’il bola va qiz bola variantalar bilan birgalikda qiymatlarning tanlanma o’zgaruvchanligi bilan tanlanma o’rtacha miqdorlar orasidagi farq o’zaro kam bog’liq. Shu sababli biz bosh to’plam bo’yicha teng o’rtacha miqdorlar nol gipotezasini rad etmasligimiz mumkin.



5.10.-rasm. SAT ballarining nuqtali diagrammasi: tanlanma to’plam variatsiyasi bo’yicha aniqlangan o’rtachalar orasidagi farq.
Aksincha, agar ma’lumotlar 5.11.-rasmning nuqtali diagrammalarida tasvirlangan bo’lsa, unda tanlanma o’zgaruvchanlik bilan ikki o’rtacha miqdorlar orasidagi farq o’zaro kam bog’langan bo’ladi. Shu sababli, biz bosh to’plam bo’yicha farqli o’rtacha miqdorlar alternativ gipotezasini qabul qilamiz.



5.11.-rasm. SAT ballarining nuqtali diagrammasi
Ko’rib turganingizdek kalit bu tanlanma o’zgaruvchanlikning bosh to’plami bilan variant o’rtachalari orasidagi farqni taqqoslash. Gipotezaning rasmiy statistik tahlilini yuritish uchun har bir variantning tanlanma o’zgaruvchanligi va variant o’rtacha miqdori orasidagi farqning sonli o’lchanishlari talab etiladi. Variant o’rtacha miqdorlari orasidagi variatsiya variantlar kvadratlarining summasi (SST)ni topish orqali hisoblanadi. Bunda har bir variant o’rtacha va umumiy o’rtacha orasidagi masofani kvadrarga oshirib, keyin har bir kvadratga oshirilgan qiymatlarni variant tanlanma o’lchovlari soniga ko’paytiriladi va nihoyat barcha natijalar qo’shib chiqiladi, 10.1- jadval ma’lumotlariga ko’ra umumiy o’rtacha 570ga teng. Demak, bizda:
SST= _i( _i- )²= 5(550-570)²+5(590-570)²=4000
Bunda, barcha tanlanma bosh to’plamlarning umumiy tanlanma o’rtachasini ifodalaydi, ya’ni u kombinatsiyalashgan tanlanmalarning o’rtachasidir.n_ibelgisi i- had uchun tanlanma hajmini bildiradi. Ko’rishingiz mumkinki, 10 va 11-rasmda tasvirlangan 5ta o’g’il bola va 5ta qiz bola o’zlashtirish ko’rsatkichlarining 2ta tanlanmasi uchun sst ning qiymati 4000ga teng.
Keyin, biz hadlar bo’yicha tanlanma o’zgaruvchanlikni o’lchashimiz kerak. Buni xatoliklar kvadrati yi’g’indisi (SSE) deb atashimiz mumkin. Chunki, variant o’rtachalari orasidagi o’zgaruvchanlik tanlanma xatolikka xoslikni ifodalaydi. SSEning qiymatini hisoblash uchun har bir bog’liq qiymatlar va bog’langan variant o’rtachasi orasidagi masofa kvadratlari yig’indisi topiladi va umumiy tanlanmadagi barcha qiymatlar bo’yicha farqlar kvadratga oshirilib yig’indisi qo’shilib chiqiladi.

Bunda, x_1j belgi 1- tanlanma to’plamga tegishli bo’lganj-qiymat, x_2j belgi 2- tanlanma to’plamga tegishli bo’lganj-qiymat va hokazo shu kabi. Ushbu ancha murakkab ko’rinishdagi formulani 2 bobda berilgan s² dispersiya formulasini eslab soddalashtirishimiz mumkin:

E’tibor qiling, muayyan SSE dagi har bir summa muayyan guruh uchun s² ning surati hisoblanadi. Shunday qilib, SSE ni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

Bunda s₁²,s₂² , … , s_k²lar k guruh uchun tanlanma dispersiyalar bo’ladi. O’zlashtirish ko’rsatkichi bo’yicha 10.1 jadvalda MINITAB nuqtalari (10.4 rasm) s₁²=2.250 (ayollar uchun) s₂²=2.250 (erkaklar uchun) ga tengligini ko’rsatmoqda. Demak, endi bizda quyidagicha ko’rinish mavjud:
SSE=(5-1)(2.250)+(5-1)(2.250)=18000
O’zgaruvchanlikning ikki qiymatini taqqoslashga qulay bo’lishi uchun biz ularning har birini erkinlik darajasiga bo’lamiz. Bu kvadratlar summasini o’rtacha kvadratlarga aylantiradi. Avvalo, guruh o’rtachalar orasidagi o’zgaruvchanlikni o’lchovchi o’rtacha kvadrat guruh (MST) quyidagiga teng:

Bunda k guruh uchun erkinlik darajasi (k-1) ga teng. Keyin esa, guruhlar bilan birgalikdagi o’zgaruvchanlikni o’lchovchi o’rtacha kvadrat xatolik (MSE) quyidagiga teng:



Va nihoyat, F-statistic ni MST ni MSE ga bo’lish orqali hisoblaymiz:





Bu: MST, MSE va F larning qiymati 10.7-rasmda tasvirlangan MINITABda (rangli shriftda) berilgan.