Litseylarda fizika

4-§. TO’G’RI  CHIZIQLI HARAKATLARNI  VA 
TEZLIKLARNI QO’SHISH
O ’quvchilar  harakat  va  tinchlikning  nisbiyligi  haqidagi 
tushuncha  bilan  birinchi  darslarda  tanishganlar.  Bu  yerda 
tezliklarni 
qo ’shish 
bilan 
tanishtirib  ketish 
maqsadga 
muvofiqdir.
Avval 
bir  to’g ’ri 
chiziq 
bo’ylab 
sodir  bo’layotgan 
harakatlarni  qo’shishni  quyidagicha  misolda  ko’rib  chiqamiz: 
kishi  kemada  shu  kema  ketayotgan  yo ’nalishda  ketayotgan 
bo’lsa  uning  qirg’oqqa  nisbatan  harakati  ikkita  harakatdan, 
y a’ni  kishining  kemaga  nisbatan  va  kemaning  qirg’oqqa 
nisbatan  harakatidan  iboratdir.  Kishining  qirg’oqqa  nisbatan 
ko’chishi  (S),  kemaning  qirg’oqqa  nisbatan  ko’chishi  (Si) 
bilan  kishi  kemaga  nisbatan  ko’chishining  (S2)  yig’indisiga
teng bo’ladi  ( 10-rasm). 
S = S \ + S 2
10-rasm.
Harakatlar  bir  to’g ’ri  chiziq  bo’ylab  sodir  bo’layotgani 
uchun  ko’chish  vektorining  moduli  o ’tilgan  yo’lga  teng 
bo’ladi.  U  holda  S=S|+S2  kabi  yoza  olamiz.  Bu  tenglikning 
o ’ng  va  chap  tomonlarini  harakat  vaqtiga  bo’lib  tezliklarini 
topamiz.
9  = 3  \ + 3 2
Agar  kishi  kema  harakatiga  qarama-qarshi  yo’nalishda 
harakat qilsa 
3  = 3  \ - 3 2 bo’ladi.
Shundan  keyin  umumiy  holni  ko’rib  chiqamiz.  Buning 
uchun 
quyidagicha 
tajribadan 
foydalanamiz. 
Ichidagi 
suyuqlikda  havo  pufagi  harakatlanadigan  naychani  sinf 
doskasi  oldida tik ushlagan  holda gorizontal yo ’nalishda tekis
- 2 6 -

hurakatlantiramiz.  Naycha  ichidagi  havo  pufagining  teng 
vaqtlar  o ’tgandagi  vaziyatlarini  doskaga  chizib  qayd  qilib 
boramiz. 
Vaqt  oral iqlari 
metronom  yoki 
sekundomer 
yordamida hisoblanadi.  Tajribaga asosan,  natijalovchi  harakat 
tashkil  etuvchi  harakatlardan  yasalgan  parallelogrammning 
(uehburchakning) 
diagonali 
(gipotenuzasi) 
bilan 
tasvirlanishini  tushuntiramiz  va  natijalovchi  harakat  ham 
to 'g ’ri chiziqii harakatdan  iboratligini  ko’rsatamiz. ( 11-rasm).
b)
Buni 
S  = S i + S
2 
aniqlaymiz.
S 
S
harakat  vaqtiga  bo’lib  tezliklarini
bundan: 
9  = 3  y+3 2 
yechib 
o ’quvchilar 
bilimini
-  
= _  + ^
 
t 
t 
t 
Bir 
necha 
masalalar 
mustahkamlaymiz.
Masala  1.  Eni 
d   bo’lgan  kema  suvda  V0  tezlik  bilan 
harakatlanmoqda.  Kemada  odam  kema  eni  bo’ylab  (kema 
harakatiga 
tik 
yo ’nalishda) 
bir 
qirg’og’idan 
ikkinchi 
qirg’og’iga  borib  qaytib  keldi.  Bunga  t  vaqt  ketdi.  Odamning 
ko’chishini  va  bosib  o ’tgan  yo ’lini  a)  kemaga  nisbatan,  b) 
qirg’oqqa  (Erga)  nisbatan  aniqlansin.  Harakatlar  to ’g ’ri 
chiziqii tekis harakatdan  iboratdir.
Yechish:  a) kemaga nisbatan  (12a-rasm)  ko’chish  S|=0, yo’l 
li=2d:  b) Qirg’oqqa nisbatan  (12b-rasm);  S2=V0t:
I,=2 
J ( &
i
/ 2 ) 2 + ¥   =
- 2 7 -

У'
12-rasm
Masala  2.  Daryoda  suv 
9  i=3  m/s  tezlik  bilan  oqmoqda. 
Qayiq  suv  oqimiga  tik  ravishda  suvga  nisbatn  $ 2=4  m/s 
tezlik  bilan  harakatlanayotgan  bo’lsa  uning  qirg’oqqa 
nisbatan  tezligi  qancha  bo’ladi.  Qayiq  oqim  y o ’nalishida  va 
unga qrshi  harakatlansachi?
Yechish: 
Qayiq 
suv 
oqimiga 
tik 
yo’nalishda 
harakatlanganda  uning  tezligi  parallelogramm  (uchburchak)
qoidasiga ko’ra (13a-rasm). 
3 = 3 ^ 3 ^
Son  qiymatini  (to’g ’ri  burchakli  uchburchakda)  Pifagor 
teoremasidan foydalanib topamiz.
&2= 9 f + 9 2\   9  = ^ ( 9 2  + 92  = л/9 + 1 6  =5m/s
13-rasm
Qayiq suv oqimi bo’ylab harakatlanganda (13b-rasm).
9  = 9 1+ 9  2=3m/s+4m/s=7m/s
Qayiq  suv  oqimiga  qarshi  yo ’nalishda  harakatlanganda 
(13v-rasm).
9  = 9   9  2=3m/s-4 m/s= -1 m/s
- 2 8 -

Demak,  qayiq  oqimga qarshi yo’nalishda qirg’oqqa nisbatan
I m/s tezlik bilan  harakat qiladi.
5-§. T O ’G ’RI  C H IZ IQ L IN O T E K IS  HA RA K A T
Notekis 
harakatlami 
o ’rganishda 
ba’zi 
bir 
yangi 
tushunchalarni  kiritish  zaruriyati  tug’iladi.  O ’zgaruvchan 
harakatlaming  asosiy  xarakteristikalaridan  oniy  tezlik  va 
tezlanish  tushunchalarini  bilish  muximdir.  Oniy  tezlik 
o ’rtacha  tezlik  orqali  aniqlanishini  e ’tiborga  olsak,  unga 
m a’lum  darajada  etibor  berishimizga  to’g’ri  keladi.  Shuning 
uchun 
avval 
notekis 
harakatni 
o ’quvchilar 
kundalik 
hayotlarida  ko’rib  yurgan  misollar  asosida  tushuntirib,  keyin
-> 
^
o ’rtacha  tezlikni  hisoblash  formulasini 
(«9 
= 
S  /t  vektor 
kattalik  <9 =S/t skalyar kattalik) beramiz.
5.1. T O ’G ’R I C H IZ IQ L I T E K IS  O ’ZGARUVCHAN 
H A RA KA T. T EZ LA N ISH
a) 
O ’quvchilarga 
notekis 
harakatda 
jismning 
trayektoriyasining  turli  nuqtalaridagi  oniy  tezliklari  turlicha 
bo’lishini  takrorlab,  keyin  o ’zgaruvchan  harakatlaming 
Shundaylari ham bo’lishi  mumkinligini,  unda jismning tezligi 
teng  vaqtlar  oraliqlarida  bir  hilda  o ’zgarib  borishini  aytib 
unga  misollar  keltiramiz.  Masalan,  poezd  stantsiyadan  chiqib 
uzoqlashayotganda  yoki  staniyaga  kirib  ketayotganda  uning 
tezligi 
teng 
vaqtlar 
oraliqlarida 
taxminan 
bir 
xilda 
o ’zgarishini,  ya’ni  jism   bir  nuqtadan  ikkinchisiga  o ’tganda 
uning  oniy  tezligi  bir  xilda  o ’zgarib  boradi  deb  qarashimiz 
mumkinligini 
aytib, 
keyin 
ustida  tomizgichi 
bo’lgan 
aravachani  qiya  tekislikdagi  harakatini  yoki  qiya  tekislikdan 
tushayotgan  sharchning  straboskopik  rasmini  namoyish  qilib 
(3-  va  4-rasmlar;  15  betga  qarang),  shularga  asosan  tekis 
o ’zgaruvchan harakat ta’rifini  beramiz.
b)  Shundan  keyin  o’quvchilarga  tezlikning  o’zgarishini 
fizikada  “tezlanish”  deb  ataluvchi  fizik  kattalik  yordamida
- 2 9 -

harakterlanishini 
aytib, 
yuqorida 
aytilgan 
tajribalarga 
asoslangan holda tezianish ta ’rifini  beramiz.
-  
&9 
9 - 9 0
a = —  = ---------- 
( 1)
At 
t -  to
Agar vaqtni  hisoblashni to=0 bo’lgan paytdan boshlasak,
a= ^ Z A  
(2)
t
Tezlanishni  moduli 
a=—— — ,  uning  birligi  m/s2  ekanini
t
tushuntiramiz.
(2) dan  ixtiyoriy  paytdagi  oniy tezlikni  aniqlash  formulasi
Bu 
formula 
ixtiyoriy 
tekis 
o ’zgaruvchan 
harakatga 
taalluqlidir.  Agar jism   bir to ’g ’ri  chiziq  bo’ylab  harakat  qilsa 
koordinata  o ’qini  tezlik  yo ’nalishida  olsak  (3)  tenglikning  bu 
o ’qqa proektsiyasi
9 x  = 9 ox+uxt 
(4)
Bu  yerda 
9  x, 
9  ox,  ax  l a r 9 ,  
9  0. 
a vektorlarning 
proektsiyalaridir.
Agar jism   biror  koordinata  o ’qining  yo’nalishi  bilan  ustma- 
ust  tushmaydigan  yo’nalish  bo’ylab  harakat  qilsa,  u  holda 
tezlik  vektorining yo’nalishini  va  modulini  (miqdorini)  ikkita 
o ’qqa  proektsiyasi  orqali  aniqlanadi  (3)  ni 
Y  o ’qiga 
proektsiyasi
9 y= 9  oy+a vt 
(5)
(4)  va  (5)  da  proektsiyalarning  ishorasi  ularning  xarfiy 
belgilarida  bo’ladi.  Shuning  uchun  ular  va  (2)  formulalar 
tezlanuvchan  va  sekinlanuvchan  harakatlarga  ham  qo’llanadi, 
faqat  ularning  son  qiymatlarini  qo ’yishda  ishorasini  hisobga 
olib  yoziladi.  Bu  tenglamalrni  moduli  orqali  ham  yozishimiz 
mumkin.
To’g’ri  chiziqli  harakatda  o ’qni  hamma  vaqt  harakat 
yo’nalishida  olishimiz  mumkin.  Agar  tezianish  o’zgarmas
- 3 0 -

bo’lsa  harakat  to’g ’ri  chiziqii  tekis  o ’zgaruvchan  harakatdan 
iborat bo’ladi.  Tezlanishning y o ’nalishi  tezlik yo’nalishi  bilan 
bir liil  bo’lsa tekis tezlanuvchan  harakat bo’lib, jism  tezligi
9  = 9  „+at 
(6)
bo'ladi.
Agar  tezlanish  tezlikka  qarama-qarshi  yo ’nalrshda  bo’lsa 
tekis sekinlanuvchan  harakat  bo’lib, jism   tezligi
9  = 9 -a\ 
(7)
bo’ladi.
Tezlanish  va  tezliklarni  aniqlashga  doir  masalalar 
yechib o ’quvchilar bilimini  mustahkamlaymiz.
O ’quvchilar to’g’ri  chiziqii  tekis  harakatni  o ’rganish  vaqtida 
tezlik  grafikasidan  foydalanib  bosib  o ’tilgan  yo’lni  aniqlash 
mumkinligi  bilan  tanishganlar.  Ularning  Shu  tushunchalariga 
asosan  tekis  tezlanuvchan  harakatda  tezlik  grafigini  ko’rib, 
undan  foydalanib  bosib  o ’tilgan  yo’lni  aniqlashni  ham 
ko’rsatib o ’tsak  ularda grafika  va  undan  foydalanish  haqidagi 
tasavvurlari yanada rivojlanadi.
Buning  uchun  avval  boshlang’ich  tezlikka ega  bo’lgan  tekis 
tezlanuvchan  harakat  tezligining  grafikasini  biror  misol 
yordamida  ko’ramiz  va  undan  foydalanib  bosib  o ’tilgan 
yo’lning hisoblash  formulasini  chiqaramiz.  Masalan, jism ning 
boshlang’ich  tezligi  5 c=3m/s,  tezlanishi  a=2m/c2  bo’lsa, 
uning  tezligi  <9=3+2t  bo’lib,  vaqt  t= 0 ,1,2,3,...  bo’lgan 
vaqtlardagi  qiymatlari 
9   ,= <90=3m/s;  5 2=5m/s;  i93=7m/s; 
9  4=9m/s  ...  bo’ladi.
Tanlangan  masshtabda  vaqtlarni  gorizontal  o ’qda,  ularga 
mos  tezl iklarni  vertikal  o ’qda  aniqlab  ularga  asosan  tezlik 
grafikasini 
ko’ramiz. 
(14a-rasm). 
14b-rasmda 
tekis 
sekinlanuvchan 
harakatdagi 
tezlik 
grafigi 
( 1-si) 
va 
boshlang’ich  tezligi  0  ga  teng  bo’lgan  tekis  tezlanuvchan 
harakatdagi  tezlik  grafigi  keltirilgan  (2-si).  Tezlik  grafigini 
vaqt  o ’qi  bilan  tashkil  qilgan  burchagini 
а  -  desak  tgor =V/t 
bo’ladi.
- 3 1   -

14-rasm
.
Tezlanish  grafigi  (a=const)  vaqt  o’qiga  parallel  bo’lishini 
chizmalarda  ko ’rsatib  tushuntiramiz.  Shundan  keyin  tezlik 
grafikasining  xossasini  o ’quvchilarning  eslariga  tushirib,  bu 
yerda ham tezlik grafikasidan  foydalanib  bosib o ’tilgan yo’lni 
hisoblash  formulasini  keltirib  chiqarishimiz  mumkinligini 
aytib,  shunga to ’xtalamiz.
Aytaylik  biror  t  vaqtda  jism ning  bosib  o ’tgan  yo’lini 
aniqlash  kerak  bo’lsin.  Vaqt o ’qidan  masshtablar yordamida t 
vaqtni aniqlab, bu nuqtadan vaqt o ’qiga tik chiziq chiqaramiz. 
Bu  chiziq  tezlik  grafikasi  bilan  kesishib  geometrik  figurani 
(trapetsiyani)  hosil  qiladi  (14a-rasm).  Bu  figura  yuzasining 
son  qiymati  bosib  o ’tilgan  y o’lning  son  qiymatiga  teng 
bo’ladi.  Hisoblashni  osoniashtirish  uchun  tezlik  o ’qidagi 
i90=3m/s  ga  to ’g ’ri  kelgan  nuqtadan  vaqt  o ’qiga  parallel 
chiziq  o ’tkazamiz.  Trapetsiya  to ’g’ri  burchakli  to’rt  burchak 
bilan to ’g ’ri  burchakli  uchburchakka ajraladi.
Rasmdan  va  tezlik  formulasidan  foydalanib  O A =B C =i90; 
OC=AB=t;  BD=at ekanini ko’rsatamiz.
Trapetsiyaning  yuzasi  OABC  to ’rtburchak  bilan  ABD  uch 
burchak yuzalarining yg’indisiga teng bo’ladi, ya’ni  S=Si+S2, 
Si  oabs”  *9 0t va
a t - t  
a t 2 
, 
. 
,  .
A
bd
= ------ = ------bo  lishini  ко  rsatib,  ularm  о  rniga
2
 
'  
2
qo’yamiz va quyidagini hosil qilamiz.
- 3 2 -

S— 
9  0t+
at
(  1  )  Bu  to ’g ’rii  chiziqli  tekis  tezlanuvchan
harakatda  bosib  o ’tilgan  y o ’lni  aniqlash  formulasidi  r.  Agar 
jism  tekis sekinlanuvchan  harakat qilsa
, , t 2
S= 
9  ot-
a r
T
( 2 )
bo’ladi.  ( 1) va (2) larni  harakat tenglamalari deb yuritiladi.
O ’quvchilarga  to ’g ’ri  chiziqli  tekis  tezlanuvchan  harakatda 
bosib  o ’tilgan  yo’lni  aniqlashga  va  bosib  o ’tilgan  yo’l  bilan 
tezlik  formulalarini  qo’llanadigan  murakkabroq  masalalrdan 
ishlab  ularning bilimini  mustaxkamlaymiz.
Shu  yerda  mexanikaning  asosiy  masalasi  qanday  hal 
qilinishiga  ham  to’xtalib  o ’tamiz:  agar jism ning  boshlang’ich 
o ’rni  va tezligi (X0 va 
9  0), hamda tezlanishi (a) aniq bo’lsa
л
X -X 0+ S -X 0+ 
9  0t±
at
formula  yordamida  ixtiyoriy  vaqtda  jism   qaerda  bo’lishini 
aniqlash  mumkinligini  misollar  va  masalalar  yechish  orqali 
ko’rsatamiz.
Masala: 
72  km/soat  tezlik  bilan  ketayotgan  poyezd 
svetoforga  1=150  m  yetmasdan  tormoz  beradi.  Natijada  u 
a=0.1 
m/s2 
tezianish 
bilan 
harakat 
qiladi. 
Poyezd 
tormozlangan  paytdan  10 s va 30 s o ’tganda qaerda bo’ladi.
Yechish: 
Koordinat 
boshini 
svetoforda. 
X 
o ’qining 
yo’nalishini  poyezd yo’nalishida deb olamiz (15-rasm).
С
X
ТТГТТ
--------  150m  —
15-rasm
Poyezdning  koordinatasi  X=X0+<90xt+
a j
formuladan
aniqlanadi.
- 3 3   -

Bu  yerda  X0=  -1=  -150  m  (tormozlangan  paytda  poezd 
koordinata boshidan  150 m  oldinda bo’lgan)
>9 =72km/soat=20m/s; 
a4=a=0.1 
m/s2 
(harakat 
tekis 
sekinlanuvchan  b o ’lgani  uchun)  1,  V0  va 
a  laming  son 
qiymatlarini qo’yib, quyidagini  hosil  qilamiz:
0.1 Г
X=-l 50+20t+-------
2
Bundan  ti=10c  da  X=-55  m;  t2=30  с  da  X=495  m  kelib 
chiqadi.
Demak,  poyezd  tormozlangandan  keyin  10  s  o ’tganda 
svetaforga  55  m  yetmagan  bo’lib.  30  s  o ’tganda  svetofordan 
495  m  o ’tib ketgan  bo’ladi.
6-§. JISMLARNING ERKIN TUSHISHI
Jismlarning  havosiz  yerda  tushushini  erkin  tushish  deb 
atalishi  va  ular  erkin  tushganda  tekis  tezlanuvchan  harakat 
qilishini  aytib,  uni  tajribalar  yordamida  tasdiqlaymiz.  Avval 
bir  varaq  qog’oz  bilan  biror  qattiq  jism ni  havoda  biror 
balandlikdan  tashlaymiz.  Keyin  Nyuton  naychasidan  havo 
bo’lganda  va  havosi  so’rib  olingandan  so’ng  uning  ichida 
jism larning tushishini  kuzatamiz.
Bu  tajribalarni  taxlil  qilish jism larning  tushishida  havoning 
rolini  oydinlashtiradi.  O ’quvchilar  bo’shliqda (havosiz yerda) 
hamma jism lar  o ’z  tezliklarini  bir  xil  o’zgartiradi,  ya’ni  ular 
xammasi  bir  xil  tezlanish  bilan  tushadilar  degan  xulosaga 
keladilar.  Bu  tezlanishni  erkin  tushish  tezlanishi  deb 
atalishini, 
uning 
son 
qiymatini 
ko’plab 
tajribalarda 
aniqlanganini  aytib,  ularning  imkoni  boridan  foydalanib 
aniqlaymiz.
Metodik  adabiyotlarda  turli  usullar  keltirilgan  (masalan, 
qarang  L.l.Reznikov  va  boshqalar.  Maktabda  fizika  o ’qitish 
metodikasi. 
ltom.  Toshkent-1963.  69-73-betlar).  Atvud 
mashinasida ham  ko’rsatishimiz mumkin.
Erkin  tushish  tezlanishini  aniq  tajribalarda  olingan  qiymati 
9,81  m/s2  ekanini,  uni  g  xarfi  bilan  belgilanishini  aytib 
o ’tamiz.
-  3 4 -

O ’quvchilarga  erkin  tushish  tezlanishi  Yer  sirtida  9,8  m/s2, 
C)y  sirtida  -1,6  m/s2,  Mars  sirtida  -3,5  m/s2,  Quyosh  sirtida  - 
265  m/s2 ...  ekanini doskaga yozib ko’rsatamiz.
Hamma  jism lar  havosiz  yerda  bir  hil  o ’zgarmas  tezianish 
bilan  harakat  qilib  tushadilar.  Shuning  uchun  ularning 
harakati  tekis  tezlanuvchan  harakatdan  iborat  bo ’ladi.  Bu 
harakatni  ham  biz  ko’rib  o ’tgan  tekis  tezlanuvchan  harakat 
qonuniyatlari  (formulalari)  yordamida  o ’rganilishini,  faqat 
tezlanishini  g  bilan  ko’chishini  (bosib  o ’tgan  y o ’lini)  h  bilan 
belgilanishini aytib,  ularni yozib qo’yamiz.
9  = 9  0+gt
h = 5 0t + ^ -
2
Agar  erkin  tushayotgan jism ning  boshlang’ich  tezligi  nolga 
teng bo’lsa 
9  =gt; h=gt2/2
Agar  jismni  yuqoriga  tik  ravishda  m a’lum  bir  <90  tezlik 
bilan  otilsa  u tekis  sekinlanuvchan  harakat qilishini,  havoning 
qarshiligini  e’tiborga  olmasak  tezlanishi  erkin  tushish 
tezlanishidan  iborat  bo’lishini,  uning  yo ’nalishi  doim  Yerga 
tomon  bo’lgani  uchun  jism   tezligiga  qarshi  yo’nalgani,  Shu 
sababli  jism   tekis  sekinlanuvchan  harakat  qonuniyatlari
S t2
9  = 9  ,,-gt va h= 9  0t- 
lardan  iboratligini tushuntiramiz.
Bir 
necha 
masalalar 
yechib 
o’quvchilar 
bilimini 
mustaxkamlaymiz.
Masala:  Yerdan  30  m  balandlikdagi  nuqtadan  jism  erkin 
tusha  boshlaydi.  U  2  sekunddan  keyin  qanday  tezlikka  ega 
bo’ladi  va  Yerdan  qanday  balandlikda  bo’ladi?  Qancha 
vaqtda Yerga tushadi?
Yechish:  Jismning  vaziyatini  Yerga  nisbatan  aniqlash  talab 
etilgani  uchun  koordinata  boshini  Yerda  deb  olamiz  va  OY 
koordinata o ’qini yuqoriga tik yo’naltiramiz (16-rasm).
Bu vaqtda 
9 = 9  0+at
,9 o=0 va a=-g bo’lgani  uchun 
9  =-9.8  m/s2-2s=-20m/s
- 3 5 -

“M inus”  ishora  tezlikning  yo’naiishi  koordinata  o ’qining 
y o ’nalishiga 
qarama-qarshi 
ekanligini 
(pastga 
yo’nalganligini) (16-rasm)  ko’rsatadi.
2 
sekunddan  keyin  jism ning  Yerdan  qancha  masofada 
bo’lishini  uning koordinatasi  orqali  aniqlanadi:
' 2 
1 0 л * / с - 4 с 2
hi=hn-
&
=30m--
= 1 0m
2 
2 
Jismning  Yerga  yetib  kelgan  paytdan  koordinatasi  h|=0
2t
bo’ladi.  U  holda,  0=ho------
2
g t ~
yoki 
h0  =  - —   bundan
7-§.T O ’G’RI CHIZIQLI TEKIS O ’ZGARUVCHAN 
HARAKATDA KOORDINATANING  VAQTGA 
BOG’LIQLIK GRAFIGI
O ’quvchilarga  jism   to ’g ’ri  chiziqii  tekis  tezlanuvchan 
harakat  qilsa,  uning  tezligi  va  tezlanishi  vektorlarining 
proyektsiyalari  bir  xil  y o ’nalgan  bo’lib,  uning  skalyar
- 3 6 -

b o ’lishini,  agar jism   tekis  sekinlanuvchan harakat qilayotgan 
bo’lsa,  tezlik  va  tezianish  vektorlarining  proektsiyalari 
qarama-qarshi  y o ’nalgan  bo’lib,  uning  skalyar  tenglamasi
X=X0+ 
3  oxt-  — -  yoki X=X0- 9  oxt+
2 
2
bo’lishini,  ularni  kvadrat  uch  had  y=ax2+bx+c  bilan
\a \ 
. 
, 
|
i
.
.
solishtirib,  undagi 
b= 
\V„X\'-  c= 
bo’lishini
ko’rsatamiz.
Matematikadan  m a’lumki  y=ax2+bx+c  kvadrat  uch  hadning 
grafigi  paraboladan  iborat,  demak  to ’g ’ri  chiziqli  tekis 
o ’zgaruvchan  harakatning  ham  grafigi  paraboladan  iborat 
bo’ladi. 
Parabola 
uchining 
(boshlanish 
nuqtasining) 
koordinatalari
х=.А=.Ы.у=сХ=|л: I
2
a 
\ax\
  ’ 
4
a 
"  2\ax\
dan  iborat bo’lishini,  uni  matematikada  isbot etilishini  aytib, 
uni  qisqacha ko’rsatib o ’tamiz.
M a’lumki, giperbolaning kanonik tenglamasi: 
y-y0=K(x-x0) 
(1)
y=ax2+bx+c tenglikni ( 1) ning ko’rinishiga keltiramiz:
1 
b 
с 
b  2  c 
b 2 
b  2  ,  b 2
y=a(x“+ —x+ —)=a[(x+ — ) 
у  ]=a(x+—- )   +(c — )
a 
a 
2a 
a  4a 
2a 
4a
yoki
y-(c- 
)=a(x+ 
~  )2 
(2)
4 
a 
2 a
b 2 
b 
.  .
(2)  bilan  ( 1)  solishtirib,  y0=c----- ;  x0— —  
ekanini
4 
a 
2a
aniqlaymiz.  Bular parabola uchining koordinatlaridir.
Shundan  keyin  grafika  qurishga  misollar  ko’rib  chiqamiz.
Masalan, 
x=5+2t+t2 
harakat 
tenglamasining 
grafigini
ko’raylik.
- 3 7 -

X ning vaqt t ga bog’lanishidan ko’ramizki,  bu harakat tekis 
o ’zgaruvchandir.  >90X  va  a x  ishoralari  (y o ’nalishlari)  bir  hil 
bo’lgani  uchun  u  tekis  tezlanuvchan  harakat  tenglamasidir. 
Tenglamadan 
ko’ramizki, 
jism  
tezlanishi 
ax=2m/s2. 
boshlang’ich  paytda  jism   x0=5m  bo ’lgan  nuqtada  bo’lib, 
uning 
boshlang’ich 
tezligi 
5 0x=2m/s 
bo’lgan. 
Bu 
tenglamaning  grafigi  paraboladan  iborat  bo’lib,  uning 
boshlanish nuqtasining (uchining) koordinatalari:
X=
a.
2
2
=-1;  Y=X0-
■Я,
2 a .
= 5 -
2-2
=5-1=4
Bu parabolani quramiz
(17-rasm)  O ’quvchilarga  x=5-2t-t2  tenglamaning  grafigini 
qurishni vazifa qilib berishimiz mumkin (17-rasmda 2-grafik)
Shuni  ham  aytish  kerakki,  o ’quvchilar  koordinataning 
vaqtga 
bog’lanish 
grafigi 
bilan 
jism ning 
harakat 
traektoriyasining 
bir-biridan 
ajrata 
olishlari 
lozim. 
Trayektoriya jism ning  sanoq  sistemasida  (fazoda,  tekislikda, 
to ’g ’ri  chiziqii)  harakatlanish  egri  chizig’idan  iboratdir (x,y,z 
koordinatalar 
orasidagi 
bog’lanishlardan 
iboratdir). 
Koordinataning  vaqtga  bog’lanish  grafigi  esa,  koordinata- 
vaqt tekisligidagi  chiziqdan iboratdir.
- 3 8 -

Masalan,  jism   h  balandlikdan  gorizontga  burchak  ostida 
otilgan  bo’lsa  uning  quyidagi  tenglamalar orqali  tasvirlaymiz 
(18-rasm):
z t 2
X= 
3  oxt; 
Z=h+ 
3  ozt- 
Bu yerda 
9  ox= 3,
3  n7—3... ;g=
Tengliklardan  vaqtni  yo’qotib,  z va x  orasidagi  bog’lanishni 
aniqlaymiz.
Z = h + ^ X — —-  XJ 
К
 
2 
9 j
Bu Z  koordinata  uchun  kvadrat uch had  hosil  bo’ldi.  Buning 
grafigi 
paraboladan 
iboratdir. 
Bizning 
misolda  jism  
traektoriyasi  parabolaning bir qismidan  iboratdir (18-rasm).