Rüstəmov Q.Ə., Fərhadov V. Q., Rüstəmov R. Q

a)  texniki obyektlər 
-  maşınlar; 
-  dəzgahlar; 
-  elektrik mühərrikləri; 
-  robotlar; 
-  gəmilər, uçuş aparatları və s. 
Bu tip obyektlərin çıxış koordinatları məkana görə dəyişir. 
b)  texnoloji obyektlər 
-  reaktorlar; 
-  rektifikasiya kolonları; 
-  ümumiyyətlə, içərisində fiziki, kimyəvi, bioloji, nanotexnoloji və s. proseslərin baş 
verdiyi aparatlar. 
c)  energetika obyektləri 
-  transformatorlar; 
-  elektrikötürücü xəttlər; 
-  atom reaktorları; 
-  lazer qurğuları və s. 
d)  sosioloji obyektlər 
-  insan kollektivinin fəaliyyət göstərdiyi idarələr, müəssisələr, təşkilatlar və s. 
Proseslər olduqca müxtəlif olduğundan bu əlamətə görə sadalanmış təsnifat tam deyil. Bir 
obyekt özündə müxtəlif texnologiyaları birləşdirə bilər. 
2.  Giriş və çıxışların sayına görə: 
a)  birölçülü (SİSO-bir giriş və bir çıxış); 
b)  çoxölçülü obyektlər (MİMO-birdən çox giriş və çıxışları olan). 
Şəkil 1.1 a, b-də bir və çoxölçülü obyektlərin sxemi göstərilmişdir. 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
                     a)                                                                      b) 
 
Şəkil 1.1. Bir və çoxölçülü obyektin sxemi 
 
 Şəkil u(t) - giriş (idarə) siqnalı, f(t) – həyacanlandırıcı təsir, y(t) – çıxışdır. 
3.  Riyazi yazılış (model) formasına görə: 
a)  adi diferensial tənliklə yazılan (toplanmış parametrləri) obyektlər; 
b)  xüsusi törəməli diferensial tənliklə yazılan (paylanmış parametrləri) obyektlər. 
Diferensial tənlik – məchulun törəmələrinin (dinamika tənliklərində zamana görə) daxil 
olduğu tənlik. 
 
Adi  diferensial  tənlik  –  məchulun  (naməlum)  birdəyişənli  funksiya  (bizim  halda 
)
(t
y
) 
olduğu tənlik. Həll nəticəsində tapılan funksiya 
)
(t
y
yalnız zaman t-dən asılıdır. Məsələn, 
ku
t
by
t
y
a
t
y





)
(
)
(
)
(
. 
 
Tənliyin  həlli  nəticəsində 
)
(t
y
 funksiyası  tapılır.  Diferensial  tənliyi  konkret  həllini  tapa 
bilmək üçün 
)
(t
u
siqnalı və başlanğıc) 
)
0
(
y
, 
)
0
(
y

 şərtləri məlum olmalıdır. 
 
Xüsusi törəməli diferensial tənlik – məchulun çoxdəyişənli  y(x, z,..., t) funksiya olduğu 
tənlik. Bu halda tənliyə y-in dəyişənlərə nəzərən xüsusi törəmələri daxil olacaqdır: 
)
(
)
,
(
)
,
(
1
2
2
t
x
u
x
t
x
y
t
t
x
y







. 
 
Həll nəticəsində y(x , t) funksiyası tapılır. 
 
Xətti və qeyri-xətti obyektlər 
a)  xətti diferensial tənlikdə yazılan obyektlər xətti obyektlər adlanır. 
b)  qeyri xətti diferensial tənliklərə yazılan obyektlər qeyri-xətti obyektlər adlanır. 
Obyektin xətti olmasının fiziki əlaməti onun superpozisiya prinsipinə tabe olmasıdır 
            (bax lab. Işi №2). 
 
Qeyri-xəttili obyektlərdə superpozisiya prinsipi ödənilmir. 
 
Bir tərtibli xətti obyekt: 
.
ku
ay
dt
dy


 
 
İki tərtibli qeyri-xətti obyektlər: 
.
)
sin(
,
)
1
(
2
2
2
2
2
ku
g
l
m
dt
d
I
ku
dt
dy
y
dt
y
d








 
 
Axırıncı tənlikdə məchul 
)
(t

 rəqqasın tarazlıq xəttindən meyil bucağıdır, radian. 
 
Diferensial  tənliyin  xətti  və  ya  qeyri-xətti  olmasından  asılı  olmayaraq  onun  tərtibi 
məchulun  yüksək  tərtibli  törəməsi  ilə  təyin  olunur.  İkinci  misalda  diferensial  tənliyin  və  ya 
obyektin tərtibi n=2-dir. 
 
Qeyri-stasionar obyektlər: 
a)  sabit əmsallı diferensial tənliklə yazılan obyektlər stasionar obyektlər adlanır. 
Əmsallar yalnız y və onun törəmələrinin əmsallarına aiddir. 
Obyektin 
modeli 
f 
y 
u 
Obyektin 
modeli 
f
1 
y
1 
u
1 
f
r 
u
2 
u
m 
 
y
max
 
 
y
l 

 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
b)  dəyişən  əmsallı  diferensial  tənliklə  yazılan  obyektlər  qeyri-stasionar  obyektlər 
adlanır.  
 
Məsələn, birinci tərtib adi qeyri-stasionar xətti diferensial tənlik: 
.
2
ku
ty
dt
dy


 
 
Burada y-in əmsalı a=2t zamandan asılıdır. 
 
Modellərin növləri 
1.  “Giriş-çıxış” formasında verilmiş modellər. 
Bu halda obyektin tənliyi aşağıdakı şəkildə verilir: 
 
         
.
...
...
)
1
(
1
)
(
0
1
)
1
(
1
)
(
0
u
b
u
b
u
b
y
a
y
a
y
a
y
a
m
m
m
n
n
n
n












                      (1.1) 
     Göründüyü  kimi  bu  halda  çıxış  y  və  onun  törəmələri   
y
y
n

,...,
)
(
 tənliyin  sol 
tərəfindən, giriş  u və onun törəmələri   
u
u
m

,...
)
(
 isə sağ tərəfdə yazılır.  
 
Matlabda  (1.1)  tənliyinin  simvolik  dsolve  (.)  və  ədədi  ode45,  ode23s  və  s.  həll  üsulları 
mövcuddur.  
2.  Ötürmə funksiyası şəklində verilmiş modellər.  
Mühəndis praktikasında (1.1) tənliyinin ötürmə funksiyası şəklinə çevrilmiş formasından 
istifadə olunur: 
                          
m
n
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
W
n
n
n
m
m
m










,
...
...
)
(
1
1
0
1
1
0
                                            (1.2) 
Burada 


j
s


 -  kompleks  kəmiyyət  olub  Laplas  çevirməsinin  dəyişənidir.  (1.2) 
cəbri ifadə olduğundan diferensial tənliklər nəzəriyyəsini bilmək lazım deyil. Matlabda ötürmə 
funksiyasını  formalaşdırmaq  üçün  tf(.)  funksiyasından  istifadə  olunur.  tf  –  transfer  function  – 
ötürmə funksiyası deməkdir.       
3.  Vəziyyət modelləri. 
Müasir idarəetmə nəzəriyyəsinin üsullarını tətbiq etmək üçün əksər hallarda vəziyyət 
modellərindən  istifadə  olunur.  Bu  forma  hər  biri  məchulun  birinci  tərtib  törəməsinə  nəzərən 
yazılmış  tənliklər  sistemindən  ibarətdir.  Belə  tənliklər  sistemi  normal  tənliklər  sistemi  (Koşi 
forması) adlanır.  
 
Obyektin modeli “giriş-çıxış” formasında verilərsə hər tərəfi       böldükdən sonra və yeni 
dəyişənlər 
)
1
(
2
,...,
,





n
n
y
x
y
x
y
x
  daxil etdikdən sonra normal tənliklər sistemini aşağıdakı 
şəkildə yazmaq olar: 
                             
.
)
..
(
1
.
.
.
.
.
.
.
,
,
0
1
2
1
1
0
3
2
2
1
u
a
b
x
a
x
a
x
a
a
x
x
x
x
x
n
n
n
n












                                                (1.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
             
      
 
Sadəlik üçün (1.1)-də olan u-nun törəmələri nəzərdən alınmamışdır. 
 
Ümumi halda (1.3) sistemi: 
                              
,
)
0
(
,
0
Du
Cx
y
x
x
Bu
Ax
dt
dx





                                                  (1.4) 
                                   
                                                                                                                  

 
 
 
 
 
 
13 
 
 
Burada 
T
n
x
x
x
x
)
,..,
,
(
2
1

-n-ölçülü  vəziyyət  vektoru: 
T
m
u
u
u
u
)
,..,
,
(
2
1

-  m-ölçülü  idarə  (giriş 
siqnalı) vektoru; 
T
l
y
y
y
y
)
,..
,
(
2
1

 -ölçülü müşahidə olunan çıxış vektorudur. 
 
n
n
A


ölçülü  kvadratik  matris; 
m
n
B


ölçülü  matris; 
n
l
C


   ölçülü  müşahidə 
matrisi; 
m
l
D


   ölçülü matrisdir. 
 
Model (1.3) üçün: 
 
0
,
)
0
...
1
(
,
.
.
0
,
)
....
(
1
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1
0
0
0
1
2
1
0







































D
C
a
b
B
a
a
a
a
a
A
n
n
n
 
 
 
Misal. Obyektin “giriş-çıxış” formasında (1.1) diferensial tənliyi: 
u
y
y
y
3
5
6
2





. 
 
Uyğun (1.2) ötürmə funksiyası: 
5
6
2
3
)
(
2



s
s
s
W
 
 
Hər tərəfi a
0
 =2-yə böldükdən sonra vəziyyət (1.3) modeli: 
.
,
5
.
1
3
5
.
2
,
1
2
1
2
2
1
x
y
u
x
x
x
x
x








 
 
 
Bu halda n=2, m=1, l=1 olduğundan uyğun matrislər: 
 
.
0
,
)
0
1
(
,
5
.
1
0
,
3
5
.
2
1
0


















D
C
B
A
 
 
 
Matlabda  vəziyyət  modeli  (1.4)-ü  formalaşdırmaq  üçün  ss(.)  funksiyasından  istifadə 
olunur.  ss  –  state  space  (vəziyyət  fəzası).  Bu  halda  (A,  B,  C,  D)  matrislərini  daxil  etmək 
kifayətdir.  
 
1. MATLAB-da realizasiya 
(2 saat) 
 
1. Ötürmə funksiyalarının formalaşdırılması 
 
Matlabda  (1.2)  ötürmə  funksiyasını  formalaşdırmaq  üçün  yuxarıda  qeyd  edildiyi  kimi 
tf(.)  funksiyasından  isitifadə  olunur.  Ötürmə  funksiyasının  şəklindən  asılı  olaraq  müxtəlif 
realizasiya konstruksiyalarından istifadə olunur.  
 
2. Nümunə 1 
 
1. Aşkar forma 
 
 
MATLAB proqramı: 

 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
num – sürət, den – məxrəc deməkdir.  
2.  Hasil şəklində 
.
)
3
5
6
)(
6
(
)
1
3
(
)
5
(
6
)
(
2
3
2
2








s
s
s
s
s
s
s
s
W
 
MATLAB proqramı: 
 
 
conv – hasil deməkdir. Matlabda polinomların vurulması iki-iki aparılır. 
 
3.  Ötürmə funksiyasının bilavasitə daxil edilməsi. Əvvəlki misal. 
MATLAB proqramı: 
 
 
 
Gecikmə  


ioDelay
W.
 şəklində daxil edilir. 
4.  Gecikmə olan hal  
.
1
09
.
1
36
.
0
3378
.
0
)
(
32
.
0
2
s
e
s
s
s
W




 
MATLAB proqramı: 
 
 
Delay – gecikmə deməkdir. 
5.  Ötürmə funksiyasının sıfırlar z  və qütüblər p şəklində verilməsi.  
Bu halda ötürmə funksiyası aşağıdakı şəkildə verilir: 

 
 
 
 
 
 
15 
 
 
.
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
n
m
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
s
D
s
M
s
W








 
z
i
  və p
i
  kompleks kəmiyyətlər ola bilər, K – gücləndirmə əmsalıdır. 
 
Realizasiya funksiyası  zpk (z,  p,  K).  Burada  z – zero (sıfır), p – pole (qütb), K – gain 
(gücləndirmə) deməkdir. 
 
Ötürmə funksiyası: 
.
)
64
.
0
043
.
0
)(
23
.
1
96
.
0
(
)
93
.
0
035
.
0
)(
92
.
1
(
6
)
(
j
s
j
s
j
s
s
s
W








 
 
MATLAB proqramı: 
 
          
6. Aşkar şəkildən elementar həqiqi vuruqlara keçid. 
Yüksək tərtibli ötürmə funksiyası ilə verilmiş obyektin hansı elementar bəndlərdən ibarət                   
olduğunu bilmək çox vacibdir. Aşkar şəkildə ötürmə funksiyası: 
 
.
897
.
5
39
.
15
1
.
14
6
.
5
8
.
142
68
8
.
6
)
(
2
3
4
2







s
s
s
s
s
s
s
W
 
 
                                                                                                                  
                                                                 
 
 
 
 
7. Çoxölçülü hal 
 
Obyektin ötürmə matrisi: 
 

 
 
 
 
 
 
16 
 
 
.
1
93
.
2
32
.
0
1
1
.
1
36
.
0
34
.
0
1
07
.
2
92
.
0
1
48
.
4
78
.
1
11
.
0
)
(
29
.
1
3
..
0
2
72
.
0
2
22
21
12
11






























s
s
s
e
s
e
s
s
s
e
s
s
W
W
W
W
s
W
 
 
 
Burada W
ij
   - i girişinin j çıxışına nəzərən ötürmə funksiyasıdır.  
 
MATLAB proqramı: 
 
 
 
 
2. V
əziyyət modellərinin formalaşdırılması 
 
Matlabda (1.4) şəklində olan xətti vəziyyət modellərini formalaşdırmaq üçün (A, B, C, D) 
dördlüyünü daxil etmək kifayyətdir.  
 
1. Çoxölçülü hal 
 
İki girişli m=2, iki çıxışlı  l=2 və n=4 tərtibli obyekt: 
 
.
2
0
0
2
2
0
2
0
1
0
0
0
,
2
0
2
2
4
2
6
4
75
.
0
25
.
0
75
.
1
25
.
1
1
25
.
1
5
.
0
25
.
0
25
.
0
25
.
1
25
.
4
25
.
2
5
.
0
25
.
1
5
25
.
2
u
x
y
u
x
x





















































 
 
MATLAB proqramı: 
 

 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
2.  Minimal realizasiya 
 
 
Əgər  həll  mövcuddursa  verilmiş  vəziyyət  modelinə  uyğun  gələn  x    dəyişənlərinin  sayı 
(sistemin  tərtibi)  n-i  azaltmaq  mümkündür.  Bu  zaman  x-lərin  sayının  azalmasına  baxmayaraq 
alınmış kiçik ölçülü yeni model əvvəlki ilə çıxış  y-ə nəzərən ekvivalentdir. Bu model minreal(.) 
funksiyasının  köməyi  ilə  alınır.  Əvvəlki  misalda  minimal  realizasiya  mövcud  olmadığından 
minreal funksiyasının tətbiqi də n=4 verir.  
 
Aşağıdakı obyektə baxaq: 
 


.
2
2
2
2
,
1
2
2
4
6
2
0
0
0
0
0
0
0
0
7
4
0
0
8
5
x
y
u
x
x


































 
 
 
 
MATLAB proqramı: 
 

 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
Göründüyü kimi 2 vəziyyət dəyişəni azaldılıb n=2 olmuşdur.  
 
 
3. Ötürmə funksiyasından vəziyyət modelinə keçid 
 
Bu  keçid  birqiymətli  olmadığından,  yəni  bir  ötürmə  funksiyasına  bir  neçə  vəziyyət 
modeli  uyğun  gəldiyindən,  minimal  realizasiya  modelini  almaq  əlverişlidir.  Bu  məqsədlə, 
əvvəlcə  ss(.)  funksiyası  köməyi  ilə  vəziyyət  modeli  formalaşdırılır.  Sonra  isə  minreal(.) 
funksiyasının  köməyi  ilə  minimal  realizasiya  modeli  alınır.  Əlbəttə,  əgər  minimal  realizasiya 
mövcuddursa.  
 
 
1. Obyektin ötürmə funksiyası: 
24
50
35
10
24
24
7
)
(
2
3
4
2
3








s
s
s
s
s
s
s
s
W
 
 
MATLAB proqramı: 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
               Bu halda vəziyyət dəyişənlərinin sayını azaltmaq mümkün olmur. 
 
 
            2. Çoxölçülü hal, m=2,   l=2: 
.
2
1
2
1
1
1
)
2
)(
1
(
1
0
1
1
22
21
12
11




























s
s
s
s
s
s
s
W
W
W
W
W
 
 
 
                 MATLAB proqramı: 

 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
Bu  halda  minreal(.)  funksiyasının  köməyi  ilə  vəziyyət  dəyişənlərinin  sayını  n=6-dan 
n=4-ə  endirmək  mümkün  olmuşdur.  [A,B,C,D]=tf2ss(b,a)  funksiyfsının  köməyi  ilə  birbaşa 
minimfl realizasiyanı almaq mümkündür.