Rüstəmov Q.Ə., Fərhadov V. Q., Rüstəmov R. Q

Matrisin tərtib edilmə qaydası. Matrisin baş diaqonalı üzrə soldan sağa doğru    
1
a  -dən 
n
a -ə qədər ardıcıllıq ilə bütün əmsallar yazılır. Hər bir diaqonal elementindən yuxarı qalxdıqca 
əmsalların  indeksi  artır,  aşağı    düşdükcə  isə  azalır.  n-dən  böyük  və  sıfırdan  kiçik  indeksli 
əmsalların yerinə sıfırlar yazılır. 
 
Xətti sistemin dayanıqlığın zəruri və kafi şərti H matrisinin müsbət müəyyən matris 
olmasıdır,  H>0.  Bu  halda  (4)  xarakteristik  tənliyinin  kökləri  üçün    əvvəldə 
baxdığımız
0
)
Re(

i
s
  dayanıqlıq şərti ödənilir. 

 
 
 
 
 
 
62 
 
 
 
H  matrisindən  istifadə  etdikdə  (4)  tənliyinin  köklərini  tapmaq  tələb  olunmur  və  H 
matrisinin  müsbət  müəyyənliyini  təyin  etmək  kifayətdir.  Bu  əməliyyat  polinomun  köklərinin 
tapılmasından sadə olduğundan Hurvis kriterisi praktiki tətbiqlərdə geniş istifadə olunur. 
 
Matris müsbət müəyyən matrisdirsə: 
-  bütün baş (diaqonal) minorları sıfırdan böyükdür; 
-  uyğun  Q(s)  =  det(sİ-H)=0  xarakteristik  tənliyinin  əmsalları  sıfırdan  fərqli  və 
növbələşən işarəyə malik olmalıdır; 
-  bütün    məxsusi 
i

ədədlərinin həqiqi hissələri sıfırdan böyük olmalıdır: 
0
)
Re(
i


. 
Qeyd edək ki, 
i

-lər eyni zamanda  Q(s)=0 tənliyinin kökləridir; 
Ədədi matrisin məxsusi
i

 ədədlərini təyin etmək üçün MATLABda eig (.) unksiyasından 
isitifadə edilir. 
 
2. Nümunə 2 
 
1. Məxsusi 
i

 ədədlərənin hesablanmasına əsaslanan üsul.
 
Obyektin xarakteristik çoxhədlisi: 
.
300
160
17
8
)
(
2
3
4





s
s
s
s
s
D
 
Burada 
.
300
,
160
,
17
,
8
,
1
4
3
2
1
0





a
a
a
a
a
 
 
H matrisini tərtib edirik: 
 
.
300
17
1
0
0
160
8
0
0
300
17
1
0
0
160
8













H
 
 
 
Matlab proqramı 
 
 
 
 
Göründüyü kimi üçüncü məxsusi ədəd
3

= -7.5864 sıfırdan kiçik olduğundan onun üçün 
0
)
Re(
3


 şərti  ödənilmir.  Deməli  obyekt  dayanıqsızdır.  Bu  nəticə  köklər  üsulu  ilə  alınmış 
nəticə ilə eynidir. 
2.  Baş minorların hesablanmasına əsaslanan üsul. 
Obyektin xarakteristik polinomu: 

 
 
 
 
 
 
63 
 
 
D(s) = s
4
 + 3s
3
 + 5.5s + 6s + 2.5,    n = 4. 
Hurvis matrisini tərtib edirik: 
 













5
.
2
5
.
5
1
0
0
6
3
0
0
5
.
2
5
.
5
1
0
0
6
3
H
. 
 
Müvafiq Matlab proqrammı aşağıda göstərilmişdir. 
 
 
 
Bütün diaqonal determinantları D
i
≡ 

k
 > 0 olduğundan H müsbət müəyyən matrisdir. 
Deməli, baxılan obyekt dayanıqlıdır.  
3.  Hurvis matrisinin avtomatik formalaşdırılması. 
Aşağıda Hurvis matrisini avtomatik formamalaşdıran proqramın mətni göstərilmişdir. 
 

 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 
                      
 
                       
 
 
 
Xüsusi  hallar  aşağı   
3

n
 tərtibli  obyektlər  üçün  H>0  şərtini  yoxlamadan  aşağıdakı 
münasibətlərə əsasən dayanıqlığı təyin etmək olar: 
 
1)  
.
0
,
0
.
1
1
0



a
a
n
                  
 
2)  
.
0
,
0
,
0
.
2
2
1
0




a
a
a
n
 
 
3)  
.
0
.
3
,
2
,
1
,
0
.
3
3
0
2
1





a
a
a
a
i
a
n
i
 
 
Nəticə.  Bir  və  iki  tərtibli  obyektləri  dayanıqlı  olması  üçün  xarakteristik  tənliyin 
əmsallarının  sıfırdan  böyük  olması  kifayətdir.  Yəni  bu  halda  zəruri  şərt  həm  də  kafi 
şərtdir. 
 
Üçüncü  tərtib  obyektlərin  dayanıqlı  olması  üçün  əlavə  olaraq  orta 
2
1
, a
a
             
əmsallarının hasili kənar  
3
0
, a
a
 əmsallarının hasilindən böyük olmalıdır. 
           Aşağıda  xarakteristik  tənliyin  daxil  olunan  a
i
  əmsalları  əsasında  H  matrisini  avtomatik 
formalaşdıran  proqramın mətni verilmişdir. 

 
 
 
 
 
 
65 
 
 
 
3. Tapşırıq və işin yerinə yetirilmə qaydası 
 
1. Hər-bir variant 2-5 nəfərdən ibarət qruplar üçün nəzərdə tutulub. 
 
2. Variantlar üzrə obyektin D(s) xarakteristik tənliyini seçməli. 
 
3.  Matlab  proqramının  köməyi  ilə  dayanıqlığı  köklər  üsulu  ilə  nümunəyə  əsasən  təyin               
etməli. 
 
4. Köklərin paylanma sxemini qurmalı. 
 
5. Matlabda Hurvis kriterisinə əsasən nümunəyə əsasən dayanıqlığı təyin etməli. 
 
4. 
Hesabatın məzmunu 
5.   
 
Hesabat  2-5  nəfərdən  ibarət  qrup  üçün  tərtib  olunur  və  aşağıdakı  məlumatı  əks 
etdirməlidir. 
1.  İşin adı və məqsədi. 
2.  Variant üzrə xarakteristik tənlik. 
3.  Matlab proqramları. 
4.  Köklərin paylanma sxemi. 
 
5. 
5. Yoxlama sualları 
1. Dayanıq anlayışı. 
2. Dayanıqlığın təyin olunma üsulları. 
3. Köklər üsulu. 
4. Hurvis kriterisi. 
5. Matlab funksiyaları. 
6. Variantlar 
 
Obyektin və ya ATS-in xarakteristik tənliyi, 
.
0
)
(

s
D
 
 
1. 
15
10
6
2
2
3



s
s
s
 
 6. 
8
10
2
2
3
4




s
s
s
s
 
2. 
5
.
2
7
6
.
5
3
2
3
4




s
s
s
s
 
 7. 
8
.
40
2
.
36
4
.
10
2
3



s
s
s
 
3. 
2
8
2


s
s
 
 8. 
27
27
9
2
3



s
s
s
 
4. 
7
6
4
2
3



s
s
s
 
 9. 
12
37
6
.
30
5
.
9
2
3
4




s
s
s
s
 
5. 
20
14
2
2
3



s
s
s
 
10. 
10
4
4
3
2
3
4




s
s
s
s
 
 
Ədəbiyyat 
 
1. Rüstəmov Q.Ə. Avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsi. 1-ci hissə. Bakı, 2003, 404 s. 
2. Əlizadə A.N., Namazov M.B., Aslanov M.S. Matlab tətbiqi proqramlar paketi və 
    simvollu riyaziyyat. Dərs vəsaiti. Bakı, 2005, 280 s. 
            3. Seyidov M.İ., Qardaşova L.A., Səlimov V.H. Kompüter riyaziyyatı. Metodik vəsait, 
 Bakı, “Təhsil” EİM, 2010, 188 s.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
66 
 
 
LABORATORİYA İŞİ №9 
(2 saat) 
 
DAYANIQLIĞIN NAYKVİST TEZLİK KRİTERİSİ ƏSASINDA TƏDQİQİ 
 
 
İşin məqsədi: Xətti tənzimləmə sistemlərinin dayanıqlığının NAYKVİST tezlik kriterisi 
(meyarı) əsasında tədqiqi və kompüter modelləşdirilməsi. 
 
1. N
əzəri məlumat 
 
1932-ci ildə əks əlaqəli elektron gücləndiricilərinin dayanıqlığını təyin etmək məqsədi ilə 
amerika alimi H.Naykvist tezlik xarakteristikalarına əsaslanan dayanıqlıq kriterisi təklif etmişdir. 
 
Burada  qapalı  ATS-in  dayanıqlığı  uyğun  açıq  ATS-in  amplitud-faza  tezlik 
xarakteristikasının  (AFTX)  qurulması  əsasında  qrafoanalitik  təyin  edilir.  Baxılan  kriteri 
dayanıqlıq ehtiyatlarını və gecikməyə malik sistemlərin dayanıqlığını da asanlıqla təyin etməyə 
imkan  verir.  Bundan  başqa,  açıq  ATS  adətən  elementar  bəndlərdən  ibarət  olduğundan  onun 
ötürmə funksiyası sadə alınır.  
 
Şəkil 1.1-də qapalı birölçülü ATS-in ümumiləşdirilmiş sxemi göstərilmişdir. 
 
Y(s)
G(s)
E(s)
-K-
H(s)
W(s)
-C-
 
Şəkil 1.1 
 
 
Dayanıqlığı tədqiq etmək üçün lazım olan açıq sistemin ötürmə funksiyası: 
 
                                                            
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
s
D
s
M
s
H
s
W
s
W
A
A
A


                                      (1) 
 
Əks əlaqə H(s)=1 olduqda W
A
 (s)=W
0
(s). 
 
Naykvist kriterisi üç halı əhatə edir: 
 
1. Açıq ATS dayanıqlıdır. D
A
 (s)=0 xarakteristik tənliyinin bütün s
i
  kökləri (açıq ATS-
in qütübləri) sol köklərdir, yəni 
0
)
Re(

i
s
. 
 
2. Açıq ATS dayanıqsızdır. D
A
 (s)=0 tənliyinin m sayda sağ kökləri mövcuddur. 
 
3. Açıq ATS neytraldır (dayanıqlıq sərhəddindədir). 
 
Neytral sistemlər öz növbəsində iki qrupa ayrılır: 
 
a) aperiodik dayanıqlıq sərhəddi (astatik sistem). D
A
 (s)=0  tənliyinin 

  sayda sıfır s
i
 =0 
kökləri mövcuddur, qalan köklər isə sol köklərdir.   

– astatizm dərəcəsi adlanır. 
 
b)  rəqsi  dayanıqlıq  sərhəddi  (konservativ  sistem)  D
A
  (s)=0    tənliyinin  sırf  xəyali 

j
s


2
.
1
kökləri mövcuddur, qalan köklər isə sol köklərdir.  
 
Şəkil 1.2 a-da dayanıqlı, b-də aperiodik dayanıqlıq sərhəddində və c-də rəqsi dayanıqlıq 
sərhəddində  olan  sistemlərdə  keçid  xarakteristikaları  göstərilmişdir.  Modelləşdirmə  aşağıdakı 
ötürmə funksiyaları əsasında aparılmışdır: 
 
.
1
,
1
,
1
.
)
1
)(
1
(
)
(
,
)
1
(
)
(
,
1
)
(
1
2
1
s
T
s
T
K
Ts
s
T
K
s
W
Ts
s
K
s
W
Ts
K
s
W
R
A
D










 
W
0
(s) 

 
 
 
 
 
 
67 
 
 
                                                                                                                                                         
                                                       a)                            b)                           c) 
Şəkil 1.2 
 
Dayanıqlı  sistemdən  fərqli  olaraq  neytral  sistemlərdə  müxtəlif  təkanlarda  (impuls) 
qərarlaşma səviyyələri də müxtəlif olur.  
 
1-ci hal. Açıq system dayanıqlıdırsa, uyğun qapalı sistemin də dayanıqlı olması üçün açıq 
sistemin  AFTX-sı  (Naykvist  hodoqrafı)  ω  tezliyinin  0-dan 

-ğa  qədər  dəyişdikdə  A(-1;  j0) 
nöqtəsini əhatə etməməlidir. 
 
2-ci hal. Açıq system dayanıqsızdırsa , uyğun qapalı sistemin dayanıqlı olması üçün açıq 
sistemin AFTX-sı müsbət istiqamətdə (saat əqrəbinin əksinə) A(-1; j0) nöqtəsini m/2 dəfə əhatə 
etməlidir (tam dövr 2π rad.). Yəni m· π, rad.  
 
3-cü hal. Açıq sistem astatik olduqda qapalı sistemin dayanıqlı olması üçün açıq sistemin 
AFTX-sı  absis  oxunun  müsbət  hissəsindən  başlayan 


R
 sonsuz  radiuslu  çevrə  ilə 
qapadıqdan  sonra  A(-1;  j0)  nöqtəsini  əhatə  etməməlidir.  Konservativ  halda 


R
 çevrəsi 
kəsilmə  ω    nöqtəsində  ayrılan  budaqlar  arasında  saat  əqrəbi  istiqamətində  (mənfi  istiqamət) 
çəkilir.  
 
Şəkil 1.3-də dayanıqlı Naykvist diaqramları göstərilmişdir. a – dayanıqlı, b – dayanıqsız, 
ç -

=1,2,3 üçün astatik, d -isə konservativ hallara uyğundur. 
 
 
 
Şəkil 1.3. Dayanıqlı qapalı ATS üçün Naykvist diaqramları 
 
 
Naykvist hodoqrafı kritik A(-1; j0) nöqtədən keçərsə qapalı ATS dayanıqlıq sərhəddində 
olur. 
 
Ümumiləşdirilmiş  Naykvist  kriterisi.  Mürəkkəb  hodoqraflar  üçün  yuxarıdakı  üç  halı  
əhatə edən ümumiləşdirilmiş Naykvist dayanıqlıq kriterisi də mövcuddur: 
 
Qapalı  ATS-in  dayanıqlı  olması  üçün  uyğun  açıq  sistemin  AFTX-sı  (Naykvist 
hodoqrafı)  həqiqi  oxun  (-

;  -1)  parçasından  müsbət  və  mənfi  istiqamətdə  keçidlərinin 
cəmi m/2 ədədinə bərabər olmalıdır. 
 
Yuxarıdan  aşağıya  keçid  müsbət,  əksinə  isə  mənfi  qəbul  olunub.  Bundan  başqa,  əgər 
AFTX  ω=0  qiymətində  göstərilən  parçadan  başlayırsa  və  ya  ω=

 qiymətində  bu  parçada 
dayanırsa belə hallar yarımkeçid (1/2) kimi qəbul olunur. 
0


 
0


 
0


 

 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 
Dayanıqlı və neytral (dayanıqlıq sərhəddində olan) açıq sistemlər üçün m=0 olduğundan 
keçidlərin cəmi 0/2=0 olmalıdır. Yəni hodoqraf (-

; -1) parçasını kəsməməlidir.  
 
Şəkil 1.4-də (-

; -1) intervalında mümkün keçidlər göstərilmişdir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Şəkil 1.4. Ümumiləşdirilmiş Naykvist kriterisindən istifadə etmək üçün keçidlərin tipləri 
 
 
Beləliklə Naykvist kriterisindən istifadə etmək üçün: 
1.  Açıq ATS-in 
A
W   ötürmə funksiyası məlum olmalıdır. 
2.  Açıq ATS-in yuxarıda göstərilən 3 haldan (dayanıqlı, dayanıqsız, neytral) hansına aid 
olması  məlum  olmalıdır.  Bu  məqsədlə  açıq  sistemin 
0
)
(

s
D
A
 (W
A
  ötürmə  funksiyasının 
məxrəci) xarakteristik tənliyinin köklərini Matlabda roots (D
A
 ) funksiyasının (və ya pole (W
A
 ) 
funksiyasının) köməyi ilə tapmaq kifayətdir. 
 
Matlabda  dayanıqlığı  təhlil  etmək  üçün  nyquist  (W
A
  )    funksiyasından  istifadə  olunur. 
Xüsusi  menyudan  istifadə  etməklə  dayanıqlıq  ehtiyatları  və  qapalı  ATS-in  dayanıqlı  olub-
olmaması haqqında məlumat almaq mümkündür.  
 
2. Nümunə 
 
1. Açıq ATS dayanıqlıdır. 
Şəkil  1.5-də göstərilən ATS-in dayanıqlığını yoxlayaq. 
 
Y(s)
G(s)
E(s)
OBYEKT
TENZIMLEYICI
U(s)
s  +3s+1
2
5
1
s+1
-K-
-C-
 
Şəkil 1.5 
 
 
Açıq ATS-in ötürmə funksiyası: 
 
.
)
1
3
)(
1
(
5
)
(
2




s
s
s
s
W
A
 
 
 
0
)
(

s
D
A
xarakteristik  tənliyinin  kökləri:  s
1
=-1,  s
2
  =-0.38,  s
3
  =-2.62  mənfi  olduğundan  (sol 
köklər) açıq sistem dayanıqlıdır. Deməli baxılan sistem 1-ci hala uyğundur. 
 
Şəkil 1.6-da müvafiq Matlab proqramı və Naykvist diaqramı göstərilmişdir. 

 
 
 
 
 
 
69 
 
 
 
Şəkil 1.6 
 
Göründüyü kimi, Naykvist hodoqrafı (əyrisi) (-1; j0) nöqtəsini əhatə etmir. Şəkil 1.7-də 
göstərilmiş  menyunun  köməyi  ilə  dayanıqlıq  ehtiyatlarını,  müvafiq  tezlikləri  və  hətta  qapalı 
ATS-in  dayanıqlı  olub-olmaması  haqqında  müvafiq  pəncərələrdə  məlumat  almaq  mümkündür. 
Menyunun Show/Negative  Frequencies sətrinə sol “click” etməklə mənfi ω tezliklərinə uyğun 
gələn Naykvist diaqramının budağı ləğv edilmişdir.  
 
Menyu Naykvist diaqramının boş sahəsinə sağ “click” etməklə meydana çıxır. 
 
 
 
Şəkil 1.7. Menyu 
 
 
Şəkil 1.6-da: 
 
Birinci pəncərə: 
 
Gain Margin (dB): 9.55 – modula görə dayanıqlıq ehtiyatı; 
 
At frequency (rad/sec): 2 – fazanın 

=-180 olduğu tezlik; 
 
Closed Loop Stable? Yes – qapalı kontur (ATS) dayanıqlıdırmı? Hə. 
 
İkinci pəncərə: 
 
Phase Margin (deg): 37.9 – fazaya görə dayanıqlıq ehtiyatı (dərəcə); 
 
Delay Margin (sec): 0.595 – gecikməyə görə dayanıqlıq ehtiyatı (kritik gecikmə); 
 
Closed Loop Stable? Yes – qapalı kontur dayanıqlıdırmı? Hə. 
2. Açıq ATS dayanıqsızdır. Açıq sistemin ötürmə funksiyası: 
.
)
2
5
4
)(
1
(
10
)
(
2
3





s
s
s
s
s
W
A
 
 

 
 
 
 
 
 
70 
 
 
Sağ köklər 
2
,
1
4
3
2





s
s
s
. Deməli m=3. 
 
Şəkil 1.8-də Matlab proqramı və Naykvist hodoqrafı göstərilmişdir. 
 
 
 
 
Şəkil 1.8 
 
Göründüyü kimi, Naykvist qodoqrafı (-1; j0) nöqtəsini müsbət istiqamətdə ½ dəfə, yəni 
1·π rad əhatə edir. Tərifə görə ATS-in dayanıqlı olması üçün m/2=3/2=1.5 dəfə, yəni 2π+ π=3 π 
rad  (tam  və  yarım)  əhatə  etməlidir.  Deməli,  uyğun  qapalı  ATS  dayanıqsızdır.  Bu  nəticə 
menyunun köməyi ilə alınmış pəncərədə də göstərilmişdir. 
3. Açıq ATS neytraldır. 
3.1.  Astatik hal (aperiodik dayanıqlıq sərhəddi).  
 
Açıq astatik sistemin ötürmə funksiyası: 
 
.
)
1
01
.
0
)(
1
025
.
0
(
)
1
88
.
2
(
)
1
2
.
0
(
4000
)
(
2
2





s
s
s
s
s
s
W
A
 
 
Bu halda astatizm dərəcəsi  

=1. 
Şəkil 1.9-da Matlab proqramı və Naykvist diaqramı göstərilmişdir. 
 

 
 
 
 
 
 
71 
 
 
 
              Şəkil 1.9 
 
 
Göründüyü  kimi,   

=1  qiymətində  Naykvist  hodoqrafı  (-1;  j0)  nöqtəsini  əhatə  etmir. 
Deməli  qapalı  ATS  dayanıqlıdır.  Bu  nəticə  menyunun  köməyi  ilə  alınmış  1-ci  və  2-ci 
pəncərələrdə  təsdiqlənmişdir  –  Closed  Loop  Stable?  Yes  (Qapalı  kontur  (yəni  qapalı  ATS) 
dayanıqlıdırmı? Hə).  
 
Qeyd! Naykvist kriterisini nyquist (W
A
 ) kimi yazdıqda absis və ordinat oxlarında olan 
miqyas  çox  böyük  olduğundan  diaqramın  görünüşü  başa  düşülmür.  Bu  xüsusiyyəti  aradan 
qaldırmaq  məqsədi  ilə  tezliyi  əlverişli  diapazonda  vermək  lazımdır  (adətən  kiçik  interval 
götürülür). Bu əməliyyat logspace  (n
1
,  n
2
  ,  N)  funksiyasının köməyi  ilə  yerinə  yetirilir. Uyğun 
tezliklər     
2
1
10
10
n
n

 ,  rad/s,  N  –  bölgülərin  sayı.  Yuxarıdakı  proqramda  n  =1,  n  =3,  N=100 
qəbul  edilmişdir.  Bu  səbəbdən  Naykvist  diaqramı  ω  =10÷1000  rad/s  tezlik  diapazonunda 
alınmışdır. 
 
Bundan başqa (-1; 0) intervalında qodoqrafı aydın görmək üçün menyuda olan Zoom on 
(-1; 0) sətrinə sol “click” etmək olar. 
 
3.1.2. Açıq astatik ATS-in ötürmə funksiyası: 
.
)
1
1
.
0
(
2
)
(
2


s
s
s
W
A
 
 
Bu halda  

=2.  
 
Şəkil 1.10-da Matlab proqramı və Naykvist hodoqrafı göstərilmişdir. 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
72