Rüstəmov Q.Ə., Fərhadov V. Q., Rüstəmov R. Q

Loqarifmik faza tezlik xarakteristikası (LFTX). 
Bu  xarakteristika  adi 
)
(


   (FTX)  ilə  eyni  olub,  yalnız  absis  oxunun  Loqarifmik 
miqyasda  olması  ilə  fərqlənir.  Loqarifmik  tazlik  xarakteristikaları  Bode  diaqramları 
adlanır.  Bu  diaqramları  Matlabda  qurmaq  üçün  bode  (.)  funksiyasından  istifadə  olunur. 
Loqarifmik amplitud-faza tezlik xarakteristikasını (LAFTX) qurmaq  üçün isə nyquist (.) 
funksiyasından istifadə olunur.  
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
51 
 
 
2. Nümunə  
 
 
1.Adi tezlik xarakteristikalarının qurulması 
 
Şəkil  1.1  -də  obyektin  verilmiş 
)
5
.
0
2
/(
5
.
0
)
(
2
3




s
s
s
s
W
   ötürmə  funksiyası 
əsasında    adi  tezlik  xarakteristikalarının  qurulmasının  Matlab  proqramı  və  müvafiq 
xarakteristikalar göstərilmişdir. 
 
 
            
 
                                  
 
HTX 
XTX 
ATX 
FTX 

 

 
 
 
 
 
 
52 
 
 
                                   
 
 
Şəkil 1.1 
 
 
Tezliyin  əl  ilə  müxtəlif  qiymətlərini  daxil  etmək  üçün  proqramın  2-ci  sətrini  dəyişmək 
lazımdır. Məsələn, 


.
...
5
.
4
2
0

w
 
            Bundan başqa, adi (yəni xətti miqyasda) tezlik xarakteristikalarını qurmaq üçün freqs (

) 
(ATX) və angle(

) (FTX) MATLAB funksiyalarından istifadə etmək olar 
 
Aşağıda W=(0.6s+1)/(s
2
+0.4s+1) obyekti üçün ATX və FTX göstərilmişdir. 
                                
         
 
                                         
                
     
  
 
     
 
Amplitud-faz  tezlik  xarakteristikasını  qurmaq  üçün  plot  (freqs  (b,a))  funksiyasından 
istifadə etmək olar. Aşağıda müvafiq tezlik xarakteristikaları göstərilmişdir. 

 
 
 
 
 
 
53 
 
 
                                
 
 
            2. Loqarifmik tezlik xarakteristikalarının qurulması 
 
1. Obyektin modeli ötürmə funksiyası şəklində verilmişdir: 
5
.
0
2
5
.
0
)
(
2
3




s
s
s
s
W
. 
 
Şəkil 1.2-də müvafiq Matlab proqramı, bode və nyquist diaqramları göstərilmişdir. 
 
 
 
 
 
Şəkil 1.2 
 
 

 
 
 
 
 
 
54 
 
 
          Əvvəldə  W=(0.6s+1)/(s
2
+0.4s+1)  obyekti  üçün  qurulmuş  addi  tezlik  xarakteristikalarını 
bode  və  nyquist  funksiyalarının  köməyi  ilə  qurulmuş  loqorifmik  tezlik  xarakteristikaları  ilə 
müqayisə edək.Bu xarakteristikalar aşağıda ğüstərilmişdir. 
 
 
Göründüyü  kimi  loq.  xarakteristikaların  dikliyi  addi  xarakteristikalara  nisbətən  oiduqca 
azdir.Bu onları yüksək dəqiqliklə xəttiləşdirməyə imkan verir. 
2. Obyektin tənliyi vəziyyət modeli şəklində verilmişdir: 
 
.
0
),
0
1
(
,
1
0
,
2
5
.
0
1
0
.
,
/






















D
C
B
A
Du
Cx
y
Bu
Ax
dt
dx
 
 
 
Şəkil 1.3-də müvafiq Matlab proqramı, bode və nyquist diaqramları göstərilmişdir. 
 
 
Şəkil 1.3 
Lazım gələrsə Naykvist  diaqramının mənfi 

 tezliklərinə aid olan qolunu ləğv etmək 
olar. Bu əməliyyat sağ  “clik” etməklə meydana çıxan menyuda Show/Neqative Frequencies 

 
 
 
 
 
 
55 
 
 
sətrinə sol “clik” etməklə yerinə yetirilir. Şəkil 1.4-də uyğun Naykvist diaqramı və menyü 
göstərilmişdir.  
 
Şəkil 1.4 
 
3. Tapşırıq və işin yerinə yetirilməsi qaydası 
 
1. Hər bir variant 2-5 nəfərdən ibarət qruplar üçün nəzərdə tutulub. 
 
2.  Variantlar  üzrə  obyektin  W(s)  ötürmə  funksiyasını  (A,  B,  C,  D)  vəziyyət  modelini 
seçməli. 
 
3. Nümunə 1-ə əsasən (şəkil 1.1) W(s) üçün  adi tezlik xarakteristikalarını qurmaq. 
 
4. Nümunə 2-yə əsasən (şəkil 1.2) W(s) və (A, B, C, D) vəziyyət modeli üçün (şəkil 1.3)   
Loqarifmik tezlik xarakteristikalarını qurmalı. 
 
4. Hesabatın məzmunu 
 
Hesabat 2-5 nəfərdən ibarət qrup üçün tərtib olunur. 
1.  İşin adı və məqsədi. 
2.  Variant üzrə verilmiş modellər. 
3.  Adi tezlik xarakteristikalarının qurulması üçün Matlab proqramı və xarakteristikalar. 
4.  Loqarifmik  tezlik  xarakteristikalarını  qurmaq  üçün  Matlab  proqramı  və 
xarakteristikalar. 
 
5. Yoxlama suallar 
 
1. Tezlik xarakteristikalarının təyinatı. 
 
2. Xətti sistemlərdən harmonik siqnalın keçmə xüsusiyyəti. 
 
3. Adi tezlik xarakteristikaları. 
 
4. Loqarifmik tezlik xarakteristikaları. 
 
5. Loqarifmik tezlik xarakteristikalarının üstünlüyü. 
 
6. Matlabda istifadə olunan funksiyalar. 
 
6. Variantlar 
 
№ 
Obyektin ötürmə funksiyası, W(s) 
Vəziyyət modeli, (A, B, C, D) 
1. 
 
 
1
8
.
0
2
1
2
3



s
s
s
 
0
),
0
1
(
,
2
0
,
2
.
0
1
1
0


















D
C
B
A
 

 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
2. 
 
 
 
)
1
2
)(
1
6
.
0
(
1


s
s
 
1
),
0
2
(
,
2
1
,
1
4
2
0


















D
C
B
A
 
3. 
 
 
 
1
1
7
.
0
2


s
s
 
5
.
0
),
3
2
1
(
,
2
3
4
,
4
3
1
0
2
3
1
2
0





























D
C
B
A
 
4. 
 
 
 
100
15
100
2


s
s
 
2
),
4
1
(
,
6
0
,
2
0
1
0

















D
C
B
A
 
5. 
 
 
 
8
6
8
2



s
s
s
 
1
),
1
0
(
,
2
1
,
2
4
1
0


















D
C
B
A
 
6. 
 
 
 
)
4
)(
2
(
)
8
(
30



s
s
s
s
 
0
),
0
1
(
,
1
1
,
3
10
1
0


















D
C
B
A
 
7. 
 
 
 
1
2
.
0
10

s
 
2
.
0
),
1
1
(
,
1
0
,
2
0
1
0

















D
C
B
A
 
8. 
 
 
 
)
7
.
340
)(
3
.
45
(
2572


s
s
 
0
),
0
1
(
,
0
3
,
2
2
1
0


















D
C
B
A
 
9. 
 
 
 
)
100
20
)(
1
(
100
2




s
s
s
s
 
0
),
0
1
(
,
1
0
,
6
10
1
0


















D
C
B
A
 
10. 
 
 
 
1
4
.
0
5

s
 
1
.
0
),
0
1
(
,
2
0
,
5
.
0
2
1
0


















D
C
B
A
 
 
 
Ədəbiyyat 
1. Rüstəmov Q.Ə. Avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsi. 1-ci hissə. Bakı, 2003, 404 s. 
2. Əlizadə A.N., Namazov M.B., Aslanov M.S. Matlab tətbiqi proqramlar paketi və 
    simvollu riyaziyyat. Dərs vəsaiti. Bakı, 2005, 280 s. 
            3. Seyidov M.İ., Qardaşova L.A., Səlimov V.H. Kompüter riyaziyyatı. Metodik vəsait, 
 Bakı, “Təhsil” EİM, 2010, 188 s.    
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
57 
 
 
LABORATORİYA İŞİ №8 
(2 saat) 
 
XƏTTİ SİSTEMLƏRİN DAYANIQLIĞININ KÖKLƏR VƏ HURVİS KRİTERİSİ 
ƏSASINDA TƏDQİQİ 
 
 
İşin  məqsədi:  İdarəetmə  obyektlərinin  dayanıqlığının  köklər  üsulu  və  Hurvis  kriterisi 
əsasında təyin olunma üsullarının öyrənilməsi və kompüter modelləşdirilməsi. 
 
1. N
əzəri məlumat 
 
İdarəetmə  sisteminin  normal  fəaliyyət  göstərməsi  üçün  o,  ilk  növbədə  dayanıqlı 
olmalıdır.  Obyektin  özü  dayanıqsız  da  ola  bilər.  Məsələn,  atom  reaktorları,  su  çəni,  çevrilmiş 
rəqqas, uçuş aparatları və s. 
 
Dayanıqlıq obyektin (sistemin) məxsusi (daxili) xüsusiyyəti olub xarici qüvvələrdən asılı 
deyil. Bu səbəbdən dayanıqlığı tədqiq etdikdə xarici qüvvələrin təsirini sıfır qəbul edib obyektin 
sərbəst hərəkətinə baxılır. 
 
Riyazi  mənada  bu,  obyektin  diferensial  tənliyində  u=f=0  qəbul  edib  onu  sıfra  bərabər 
olmayan  başlanğıc  şərtlərində  həll  etmək  deməkdir.  Əgər  n  tərtibi  tənlikdə  bütün 
)
(
),...,
(
),
(
)
1
(
t
y
t
y
t
y
n


 həlləri üçün 
                                  
0
)
(
lim
,....,
0
)
(
lim
,
0
)
(
lim
)
1
(











t
y
t
y
t
y
n
t
t
t
                            (1) 
                                                                                                                                            
şərti  ödənilirsə  belə  obyekt  dayanıqlı  hesab  olunur.  Yəni  zaman  artdıqca  bütün  həllər  tarazlıq 
vəziyyəti  olan 0 nöqtəsinə yığılır. (1)  bərəbərliyi assimptotik dayanıqlıq şərti adlanır. 
 
Xətti obyektin sərbəst hərəkəti vəziyyət modeli şəklində aşağıdakı şəkildə verilir: 
.
0
)
0
(
,
0



x
x
Ax
dt
dx
 
 
Burada 
T
n
x
x
x
x
)
,...,
,
(
2
1

 -  vəziyyət  vektorudur.  Tarazlıq  nöqtəsində  sürət  dx/dt=0 
olduğundan  Ax=0  ödənilməlidir.  Matris 
0

A
 olduğundan  x=0  olmalıdır.  Deməli,  xətti 
obyektlərin  yeganə  tarazlıq  vəziyyəti  (nöqtəsi)  olub  o,  da  vəziyyət  fəzasının  koordinat 
başlanğıcında yerləşir. 
 
Tarazlıq vəziyyəti iki tip olur: 
-  dayanıqlı tarazlıq vəziyyəti. 
-  dayanıqsız tarazlıq vəziyyəti. 
Sistemin  dayanıqlı  olması  üçün  A  matrisi  dayanıqlı  matris  olmalıdır.  Yəni  həll 
0
)
(
x
e
t
x
At

  aşağıdakı şərti ödəməlidir: 
.
0
)
(
lim



t
x
t
 
           Dayanıqlı  matris üçün  
0
)
det(


A
sI
   xarakteristik  tənliyinin  s
i
  kökləri   (A matrisinin 
məxsusi ədədləri) Re(s
i
)  <0 şərtini ödəməlidir. 
 
Bundan başqa, xətti sistem o vaxt dayanıqlı olur ki, onun çəki  
)
(t

 funksiyasının sonsuz 
intervalda inteqralı   

-dan kiçik olsun: 
                                                                       




0
.
)
( dt
t

                                                    (2) 
                                                                      
Sahənin  məhdud  olması  üçün 
0
)
(

t

 sıfra  yaxınlaşmalıdır.  Məsələn,  inteqrallayıcı 
W=k/s  bəndinin  çəki  funksiyası   
k
t

)
(

olduğundan  (2)  inteqralı 

-a  bərabərdir.  Bu 
inteqrallayıcı bəndin dayanıqsız obyekt olduğunu göstərir. 

 
 
 
 
 
 
58 
 
 
Praktiki  baxımdan,  giriş  siqnalı  az  dəyişdikdə  çıxış  siqnalı  da  az  dəyişərsə  belə 
obyekt dayanıqlı hesab olunur. 
Avtomatik  tənzimləmə  nəzəriyyəsində  obyektin  dayanıqlığı  onun  riyazi  modeli  (tənliyi) 
əsasında təyin olunur. Dinamik obyektlər adətən diferensial tənliklərlə yazılır. 
Dayanıqlığın təyin olunmasının əsas üsulları: 
1. Obyektin (sistemin) tənliyinin bilavasitə həlli və (1)(və ya (2)) assimptotik dayanıqlıq 
şərtinin yoxlanılması. 
2. Xarakteristik tənliyin köklərinə əsasən- köklər üsulu. 
3. Cəbri dayanıqlıq kriteriləri -Hurvis, Raus və s. 
4. Tezlik kriteriləri -Mixaylov, Naykvist və s.  
Laboratoriya işində 2 və 3 üsullar tədqiq olunur. 
1.  Köklər üsulu. Xətti obyektin və ya ATS-in dayanıqlı olması üçün onun 
  
                                         
0
...
)
(
1
1
0






n
n
n
a
s
a
s
a
s
D
  .                                                  (3) 
xarakteristik  tənliyinin  (ötürmə  funksiyasının  məxrəci)  köklərinin  (sistemin  qütbləri)  həqiqi 
hissələri  (Real)  sıfırdan  kiçik  olmalıdır,  yəni 
0
)
Re(

i
s
olmalıdır.  Başqa  sözlə  dayanıqlı 
obyektin  xarakteristik  tənliyinin  bütün  kökləri  köklər  müstəvisinin  sol  tərəfində  yerləşməlidir. 
Yəni köklər sol köklər olmalıdır. 
 
Dayanıqlığın  zəruri  şərti  isə  (3)  tənliyinin  bütün 
i
a  əmsallarının  sıfırdan  böyük 
olmasıdır 
 
Aydındır ki, köklər üsulundan istifadə etmək üçün verilmiş (3) xarakteristik tənliyini həll 
edib köklər üçün  
0
)
Re(

i
s
 şərtinin ödənilməsini yoxlamaq lazımdır. 
 
MATLAB-da  polinomun  köklərini  təyin  etmək  üçün  roots  (.)  funksiyasından  istifadə 
olunur. 
 
2. Nümunə 1 
 
 
Xarakteristik  tənlik:   
0
300
160
17
8
)
(
2
3
4






s
s
s
s
s
D
.  Bütün  əmsallar  sıfırdan 
böyük olduğundan dayanıqlığın zəruri  şərti ödənilir. Kafi şərti  yoxlayaq. Bu məqsədlə  aşağıda 
MATLAB proqramı verilmişdir. 
 
 
 
Qoşma  kompleks  köklərin  həqiqi  hissələri  0.9079  olub 
0
)
Re(
3
,
2

s
 şərtini 
ödəmədiyindən verilmiş xarakteristik tənliklə yazılan obyekt dayanıqsızdır. 
 Köklər müstəvisində yerləşmə sxemini görmək üçün pzmap (W) funksiyasından istifadə 
etmək olar. 

 
 
 
 
 
 
59 
 
 
 
 
Köklərin paylanma sxemi şəkil 1.1-də göstərilmişdir. 
 
 
Şəkil 1.1 
 
Göründüyü  kimi,  köklərin  ikisi 
3
2
, s
s
 sağ  yarımmüstəvidə  yerləşdiyindən  obyekt 
dayanıqsızdır. 
  
Açıq  ATS-in 
A
W ötürmə  funksiyası  verilərsə  uyğun  qapalı  ATS-in  ötürmə  funksiyasını 
W
=feedback(
A
W ,  -1)  funksiyasının  köməyilə  təyin  etmək  olar.  Sonra  pole(
W
)  funksiyasının 
köməyilə sistemin qütblərini, yəni
0
)
(

s
D
 xarakteristik tənliyinin kökləri hesablanır.  
 
Şəkil  1.2-də  ATS-in  sxemi  (a),  keçid  xarakteristikası  (b)  və  Matlab  proqramı 
göstərilmişdir.  
Y
G
E
WA
1
s  +s  +2s+23
3
2
Transfer Fcn
Step
Scope
 
(a) 
                                          
             
                                                                 
b) 
Şəkil 1.2 
s
4
 
s
1
 
s
2
 
s
3
 
y
 
t
 

 
 
 
 
 
 
60 
 
 
                                            
  
0
9551
.
0
)
Re(
3
,
2


s
 olduğundan  baxılan  ATS  dayanıqsızdır.  ATS-in  dayanıqsız  olması 
y
 
keçid xarakteristikasından da aydın görünür.  
 
Obyektin sərbəst hərəkəti vəziyyət modeli 
Ax
dt
dx

/
 
 şəklində verilərsə uyğun xarakteristik tənliyi aşağıdakı ifadənin köməyi ilə almaq olar: 
.
0
...
)
det(
1
1







n
n
n
a
s
a
s
A
sI
 
 
I
n
n


ölçülü  vahid  matris  A  xarakteristik  matris  adlanır.  MATLAB  proqramı 









2
5
.
0
1
0
A
 matrisi üçün aşağıda göstərilmişdir. 
 

 
 
 
 
 
 
61 
 
 
 
   
Göründüyü  kimi  hər  iki  kök  üçün  Re(s
1
)=-1.707<0,  Re(s
2
)  =-0.293<0  şərti 
ödənildiyindən  obyekt  dayanıqlıdır.  Bu  halda  ilkin  D  polinomu  aşkar  şəkildə  alındığından 
sadələşmə expand(.) baş verməmişdir. 
 
D(s
i
)=0  xarakteristik  tənliyinin  s
i
    kökləri  A  matrisinin  məxsusi  ədədləri  olduğundan 
bunları  bilavasitə tapmaq mümkündür. Bu  əməliyyat  eig  (.)  funksiyasının köməyi  ilə cox sadə 
yerinə yetirilir 
 
 
 
 
Nəticə əvvəlki üsul ilə eynidir. 
 
2.  Hurvis  dayanıqlıq  kriterisi.  Bu  kriteri  (meyar)  1895-ci  ildə  alman  riyaziyyatçısı 
A.Hurvis  tərəfindən  təklif  edilmişdir.  Bu  kriteridən  isitifadə  etmək  üçün  obyektin  xarakteristik 
çoxhədlisi verilməlidir: 
                                                   
.
...
)
(
1
1
0
n
n
n
a
s
a
s
a
s
D





                                          (4) 
 
 
Bu polinomun  
i
a  əmsallarından xüsusi matris tərtib olunur: 
 
                                                    
.
...
0
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
...
0
0
...
0
...
5
3
1
6
4
2
0
7
5
3
1

















n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
H
                                             
(5)