Sh. Maxmudov «statistika» fanidan o’quv uslubiy majmuasi

Dinamika trendini kichik kvadratlar (yoki analitik) usulda aniqlash



Dinamika tendensiyasini aniqlash maqsadida qatorlarga ishlov berish usullari ichida eng mukammali trend tenglamasini tuzish va unga asosan tekislangan darajalarni hisoblashdir. Bu holda dastlab haqiqiy qator ma’lumotlariga qarab rivojlanish tendensiyasini ifodalash uchun eng bop qator darajalarining vaqtga nisbatan funksiyasi ya’ni, saralab olinadi va u approksimatsiyalovchi (ya’ni, taqriban ifodalovchi) funksiya deb ataladi, so‘ngra bu funksiya kichik kvadratlar usuli yordamida yechiladi, olingan natijalar asosida esa tekislangan qator tuziladi. Quyida eng sodda trend tenglamalari keltirilgan:

1. 
   To‘g‘ri chiziqli funksiya shaklidagi tenglama
   
2. 
   Ko‘rsatkichli funksiya shaklidagi tenglama
   
3. 
   Ikkinchi tartibli parabolasimon tenglama
   

Bu yerda: - qatorning nazariy darajalari (“t bo‘yicha tekislangan igrek” deb o‘qiladi)
t - vaqtning shartli belgisi, odatda davrlar tarib soni bilan belgilanadi, ya’ni t : 1, 2, 3, ….. n .
a₀, a₁ va a₂ - analitik funksiya ko‘rsatkichlari (tenglama noma’lum hadlari).


To‘g‘ri chiziqli trend tenglamasi

Qator darajalari o‘rtasidagi mutlaq farqlar (mutlaq o‘sishlar) deyarlik o‘zgarmas miqdor (konstanta) bo‘lsa yoki bir biridan juda kam tafovutlansa, ya’ni darajalar arifmetik progressiya yoki unga yaqin shaklda o‘zgarsa, ularni vaqtining to‘g‘ri chiziqli funksiyasi deb qarash mumkin.

U = a₀ + a₁t
Bu izlanayotgan to‘g‘ri chiziqning a₀ va a₁ parametrlari (tenglama noma’lum hadlari) kichik kvadrat usul yordamida normal tenglamalar tizimini tuzib yechish yo‘li bilan aniqlanadi:
Na₀ + a₁t = Y
a₀t + a₁t² = Yt (10.12.)
Bu yerda: Y – berilgan qator darajalari;
N – ularning soni;
t – davr (yoki vaqt momenti)ning tartib soni.
Vaqt sanog‘ini qator markazidan boshlab, bu (10.12.) tenglama tizimini birmuncha soddalashtirish mumkin. Darajalar soni toq bo‘lsa, qator o‘rtasidagi markaziy nuqta - davrni (oy, yil va h.k.) nol deb qabul qilsak, u holda undan oldin o‘tgan davrlar tegishlicha -1, -2, -3, va h.k. manfiy oshkorali tartib sonlari orqali belgilanadi, markazdan keyin keladigan davrlar esa +1, +2, +3, va h.k.musbat ishorali tartib sonlari bilan ifodalanadi. Qator darajalari juft bo‘lsa, u holda qatorning o‘rtasidagi ikkita davr - nuqta -1 va +1 orqali, barcha boshqa davrlar esa ikkiga ko‘payib boruvchi sonlar bilan ifodalanadi, jumladan -1 bilan belgilangan davrdan yuqoridagilar -3, -5, -7 va h.k. manfiy ishorali ikkiga ko‘payuvchi sonlar bilan, pastdagilar esa 3, 5, 7 va h.k. musbat ishorali ikkiga ko‘payuvchi sonlar bilan belgilanadi. Vaqt sanog‘ini noldan boshlaganda t=0 bo‘ladi, shuning uchun normal tenglamalar tizimi quyidagi ko‘rinishni oladi:
(10.12a.)
Bundan
O‘zbekistonda paxta tolasi va ip gazlamasini ishlab chiqarish misolida to‘g‘ri chiziqli trend tenglamasini tuzish va qator darajalarini tekislash tartibini ko‘rib chiqamiz.
10.4-jadval.